1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio

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1 Indice 1 Probabilità Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio Probabilità condizionata, indipendenza e teorema di Bayes....

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3 1 Probabilità 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio Esercizio 1 Tre carte vengono estatte in blocco da un mazzo da 52 (4 semi, 1 ranghi. Calcolare la probabilità che a siano tutte di cuori; b siano tutte dello stesso seme; c siano dello stesso rango; d siano due di cuori e una di quadri; e siano due di quadri e una di cuori; I modi di estrarre carte da un mazzo da da 52 sono dati dal coefficiente binomiale di 52 su, ( 52 = 22100, perciò a la probabilità di estartte tre carte di cuori è (1 ( 52 = b la probabilità di estrarre tra carte dello stesso seme, significa che si possono estrarre tre carte di cuori oppure tre carte di fiori, oppure tre carte di picche oppure tre carte di quadri quindi i casi favorevoli sono ( 1 ( 1 ( 1 ( 1 = 4 ( 1 = Quindi, la probabilità di estarre tre carte dello steso seme è = c la probabilità di estrarre tre carte dello stesso rango è data i casi possibili che sono dati da, i casi di avere tre assi, oppure tre due, oppure... tre di un qualsiasi rango. In tal modo, la probabilità è pari a 1 (4 ( 52 = d la probabilità che ci siano due carte di cuori e una di quadri si calcola nel seguente modo ( 1 1 ( 1 2 ( 52 =

4 2 Capitolo 1 e per simmetria, la probabilità di avere di avere due carte di quadri e una di cuori è esattamente uguale alla probabilità di avere due caret di cuori ed una di quadri e quindi il valore calcolato al passo precedente. Esercizio 2 Un progammatore vuole implementare un codice su una calcolatore parallelo costituito da 10 processori: {A, B, C,..., L}. Il codice elaborato richiede l utilizzo di 8 processori. a Quante sono le possibili 8-uple di processori che la macchina può scegliere per svolgere il compito assegnato? b Quale è la probabilità che venga usato il processore A? a È chiaro che il numero di k-tuple che si possono formare da un insieme di n oggetti si calcola utilizzando il coefficiente binomiale di ( n k, quindi nel caso particolare del nostro esercizio, il numero di 8-tiple che si possono formare è dato dal coefficiente binomiale ( 10 8 = 10! 8!2! = = 45. b Per contare quante 8-tuple contengono il processore A si può procedere nel seguente modo: un processore è fissato (è A quindi posso scegliere 7 tra i 9 processori rimanenti e lo posso fare in ( 9 7 modi diversi. La probabilità che venga usato il processore A è data quindi dal rapporto tra i casi favorevoli e i ( casi possibili: 9 7 ( 10 8 = 4 5. Esercizio Il mondiale di Lippi. Per le partite di qualificazione al prossimo mondiale, possiamo ipotizzare che il commissario tecnico della Nazionale Lippi convocherà i seguenti giocatori, divisi per ruolo: Portieri : Abbiati, Amelia, Buffon. Difensori : Barzagli, Pasqual, Cannavaro, Grosso, Zambrotta, Bonera, Santon, Chiellini. Centrocampisti : Aquilani, Camoranesi, De Rossi, Gattuso, Maggio, Montolivo, Perrotta, Pirlo. Attaccanti : Del Piero, Di Natale, Gilardino, Inzaghi, Rossi, Toni. Ipotizziamo, inoltre, che Lippi voglia giocare con un 4--. a Quante possibili squadre potrebbe mettere in campo? b Nell ipotesi in cui i giocatori di uno stesso ruolo abbiano la stessa probabilità di giocare, qual è la probabilità che Toni giochi? E che Toni e De Rossi giochino insieme? a Ragionando in un modo irragionevole, cioè non distinguendo i ruoli dei giocatori, i modi possibili di scegliere 11 atleti tra i 25 possibili sono dati da ( = Ragionando in maniera più reale, invece, i modi possibili di

5 Probabilità disporre i giocatori in campo, oltre al 4-- prescelto da Lippi, possono essere 4-4-2, 4-5-1, -4- e -5-2, così che, il numero di modi possibili diventa pari a ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( = Considerando unicamente il 4-- Lippi può metter in campo solo ( ( ( ( = squadre. b Ragionando come nell esercizio precedente, possiamo dire che, avendo deciso di far giocare Toni, Lippi può sceglire due attaccanti sui 5 che gli rimangono, per cui i casi favorevoli sono ( ( 4( ( 2, mentre i casi possibili sono ( ( 8 ( 8 ( 6 1 4, per cui la probabilità che giochi Toni, avendo fissato lo schema 4-- è data da ( 1( 8 4( 8 ( 5 2 ( 1( 8 4( 8 ( 6 = 0.5. Per calcolatre la probabilità che giochino insieme Toni e De Rossi bisogna calcolare i casi favorevoli a questo evento (i casi possibili sono ( ( 4( (. Se Lippi volesse schierare in campo Toni, avrebbe ancora due attaccanti da scegliere sui 5 rimanenti e, se volesse far giocare De Rossi, avrebbe da scegliere ancora due centrocampisti dei 7 rimanenti, per cui il numero delle formazioni 4-- con Toni e De Rossi sicuramente presenti in campo è ( ( 4( 2( 2 e la probabilità che giochino Toni e De Rossi è data da ( 1( 8 4( 7 2( 5 2 ( 1( 8 4( 8 ( 6 = Probabilità condizionata, indipendenza e teorema di Bayes Esercizio 4 Un fruttivendolo al mercato è decisamente furbo: nasconde i difetti delle mele che vende rivolgendo al cliente la parte migliore della buccia. Così a guardare le cassette di mele che espone, tutte sembrano perfette. Ma sappiamo che nella prima il 70% delle mele è intatto, nella seconda il 20%, nella terza il 50%. Le cassette contengono, ognuna, 0 mele. Decido di comprare una sola mela, e per decidere da quale cassetta estrarla, tiro un dado: se esce un numero minore di scelgo dalla prima, tra e 5 (escluso dalla seconda, altrimenti dalla terza. a Qual é la probabilità che la mela scelta sia buona? b Qual è la probabilitá che il dado abbia restituito 4 se ho trovato invece una mela marcia? Definiamo i seguenti eventi: B = {la mela scelta è buona}; M = {la mela scelta è marcia}; I = {si estrae la mela dalla prima cassetta}; II =

6 4 Capitolo 1 {si estrae la mela dalla seconda cassetta}; III = {si estrae la mela dalla terza cassetta}; per rispondere alla prima domanda occorre calcolare, con la legge delle probabilità totali P (B = P (B IP (I P (B IIP (II P (B IIIP (III = = = ; Osserviamo ora che la probabilità di ottenere 4 lanciando un dado è chiaramente 1/6, pertanto si ha P (4 M = P (M 4P (4 P (M = 0.8 1/6 1 7/15 = 1 4. Esercizio 5 Supponiamo di avere due urne, ognuna con 50 palline. Nella prima 20 sono rosse e le restanti bianche, nella seconda 10 sono bianche e le restanti rosse. Estraggo una pallina dalla prima urna: se è bianca la reinserisco ed estraggo una pallina dalla seconda, altrimenti la reinserisco e riestraggo una pallina dalla prima. a Qual è la probabilità di ottenere una rossa alla seconda estrazione. b Se si ottiene una pallina bianca alla seconda estrazione, qual è la probabilità che anche la prima fosse bianca? c Qual è la probabilità che si siano ottenute due palline dello stesso colore? a La probabilità di avere una pallina rossa alla seconda estrazione si ottiene applicando la legge delle probabilità totali; pertanto, denotando con ir ed ib, i = 1, 2, rispettivamente gli eventi la i-esima pallina estratta è rossa e la i-esima pallina estratta è bianca, Inoltre, poiché P (2R = P (2R 1RP (1R P (2R 1BP (1B = = = P (2B = P (2B 1RP (1R P (2B 1BP (1B = = = 9 25 = 1 P (2R, per il teorema di Bayes si ha

7 Probabilità 5 b P (1B 2B = = P (2B 1BP (1B P (2B 1/5 /5 = 1 9/25 ; = c dal momento che le estrazioni avvengono in ogni caso con reinserimento, la probabilità richiesta vale P (1R 2R = = Esercizio 6 Supponiamo di avere due urne, ognuna con 40 palline. Nella prima, il 20% sono rosse e le restanti bianche, nella seconda 5% sono bianche e le restanti rosse. Estraggo una pallina dalla prima urna: se è bianca tiro una moneta truccata con trucco p = 1/ (cioè la probabilità di ottenere testa è 1/. Se esce testa, reinserisco la pallina estratta ed estraggo una pallina dalla seconda urna, se esce croce, reinserisco ed estraggo una seconda pallina dalla prima urna. Se la pallina estratta è invece rossa, non la reinserisco e ne estraggo una seconda dalla prima urna. a Qual è la probabilità di ottenere una rossa alla seconda estrazione. b Se si ottiene una pallina bianca alla seconda estrazione, qual è la probabilità che anche la prima fosse bianca? c Qual è la probabilità che sia abbia ottenuto due palline dello stesso colore? d Per avere due palline dello stesso colore, mi conviene usare la moneta truccata o una moneta equa? a Con la medesima notazione dell esercizio precedente, calcolando le seguenti probabilità P (2R 1R = 7/9, P (1R = 8/40, P (1B = 2/40, per la legge delle probabilità totali vale che P (2R = P (2R 1RP (1R P (2R 1BP (1B. Rimane da valutare la P (2R 1B, sempre con la legge delle probabilità totali, ma con un dfferente evento condizionante: P (2R 1B = P ({2R 1B} T P (T P ({2R 1B} CP (C = = = 9 20.

8 6 Capitolo 1 Pertanto la P (2R richiesta, vale P (2R = P (2R 1RP (1R P (2R 1BP (1B = = = = b Con il teorema di Bayes si calcola P (1B 2B = P (2B 1BP (1B ; P (2B ma occorre valutare anche e P (2B 1B = P ({2B 1B} T P (T P ({2B 1B} CP (C = = = 11 20, Quindi P (2B = P (2B 1BP (1B P (2B 1RP (1R = = = P (1B 2B = P (2B 1BP (1B P (2B = c Vale che: P (1R 2R = P (1RP (2R = ; P (1B 2B = P (1BP (2B = d Ripetendo gli stessi calcoli utilizzando una moneta equa, si ottiene che P (1R 2R ; P (1B 2B , e quindi, rimanendo invariata la seconda probabilità (perché non dipende dal lancio della moneta, la prima migliora con l utilizzo della moneta equa.

9 Probabilità 7 Esercizio 7 Il test ELISA è una tecnica biochimica utilizzata in immunologia per svelare la presenza di un anticorpo o un antigene in un campione, ed generalmente utilizzato come strumento diagnostico per l AIDS. Uno dei suoi maggiori problemi, è la sua specificità (probabilità che un campione sano risulti negativo al test non perfetta. Si sa che questo test da esito negativo se è effettivamente presente il virus (falso negativo con probabilità , mentre da esito positivo anche se il virus non è presente (falso positivo con probabiltià È anche stimata in 2 casi su 1000 individui la presenza di portatori del virus HIV. a Calcolare la probabiltà che un paziente con un test positivo sia malato; b Calcolare la probabiltà che un paziente con un test positivo sia sano; c Calcolare la probabiltà che un paziente con un test negativo sia malato; d Calcolare la probabiltà che un paziente con un test negativo sia sano; Siano gli eventi - = {il test è negativo}, = {il test è positivo}, V = {il paziente è malato}, V c = {il paziente è sano}; vale quindi che a P ( V = , P ( V c = 0.014, P (V = P (V = = P ( V P (V P ( V P (V P ( V c P (V c = / / / , dove evidentemente P ( V = 1 P ( V = b Vale banalmente che c P (V = = d Di conseguenza P (V c = 1 P (V 0.876, P ( V P (V P ( V P (V P ( V c P (V c = / /1000 ( / P (V c = 1 P (V = Esercizio 8 Gioco alla roulette americana (8 numeri: {00, 0, 1,..., 6} e decido di puntare sul rosso o sul nero a seconda che il lancio di una moneta di trucco 1/4 (che eseguo di nascosto mi dia testa o croce.

10 8 Capitolo 1 a Qual è la probabilità di vincere ad ogni giocata? b Se ho perso alla prima giocata, posso ritenere che la mia moneta sia ingannevole nell indirizzarmi la seconda puntata? c E se invece ho vinto, posso continuare tranquillamente a credere nel potere divinatorio della mia moneta? a La roulette è costituita da 18 numeri neri, 18 rossi, lo 0 ed il 00, dunque la probabilità di vincere ad ogni giocata è p = ; osserviamo che la probabilità di perdere ad ogni lancio è 1 p = 20 8 ; ad ogni giocata, se si suppone che la vincita consista soltanto nel recuperare il valore della giocata, il gioco non è equo, perché il valore atteso della vincita è minore di zero. Supponendo infatti di giocare g, e che l evento V rappresenti la vincita, con una simbologia che risulterà chiara nel seguito possiamo scrivere, per ogni giocata E(V = g 18 8 g = 20 8 g. La roulette dovrebbe garantire una vincita ad ogni giocata di 8/ volte la posta, per rendere il gioco equo ad ogni scommessa. b La probabilità di perdere la seconda giocata dato che si è già persa la prima, risulta uguale sempre a 1 p, indipendentemente dal colore che gioco, e quindi dal trucco della moneta. Per convincercene utilizziamo la definizione di probabilità condizionata: P (perdere II lancio perso al I lancio = P (perdere II lancio perso al I lancio. P (perdere I lancio Il valore del denominatore, in dipendenza dalla giocata, dovrebbe essere per la legge delle probabilità totali P (perdere I lancio = P (perdere I lancio giocato rossop (rosso P (perdere I lancio giocato nerop (nero = = = 20 8, che, come si vede, in realtà è indipendente dalla giocata che si compie. Per quanto riguarda il numeratore, la probabilità può essere visualizzata utilizzando il seguente albero:

11 Probabilità 9 Esercizio 9 Un dado equilibrato viene lanciato due volte. a Qual è la probabilità che il punteggio ottenuto sia maggiore di 9, ammesso che uno dei due dadi mostri la faccia 5? b Qual è la probabilità di ottenere un punteggio maggiore di 9 se con il primo lancio il punteggio ottenuto è 5? c Qual è la probabilità di ottenere un punteggio maggiore di 9 se con il secondo lancio il punteggio ottenuto è 5? Esercizio 10 Decido di lanciare 10 monete finchè non ottengo 8 teste (cioè: annullo il lancio e lo ripeto se non sono uscite almeno 8 teste. Che probabilità ho di ottenere testa su tutte le 10 monete? L esperimento consiste nel lancio di 10 monete a priori indipendenti; ognuna ha probabilità 1/2 di presentare testa dopo il lancio. Pertanto P (10 teste = ( 1 10 = Esercizio 11 In un paese lontano la popolazione è costituita solo da donne. Il 50% ha i capelli neri, il 0% i capelli biondi, il 20% rossi. Le nere sono sempre in ritardo agli appuntamenti, il 60% delle bionde arriva in ritardo, mentre le rosse ritardatarie sono il 90%. Diamo un appuntamento ad una ragazza del paese, senza sapere nulla di lei. a Con quale probabilità arriverà in ritardo? b È in ritardo: con quale probabilità è bionda? a Per la legge delle probabilità totali si ha P (ritardo = P (ritardo morap (mora P (ritardo biondap (bionda P (ritardo rossap (rossa = = = b Direttamente dal teorema di Bayes si ottiene P (ritardo biondap (bionda P (bionda ritardo = = P (ritardo = Esercizio 12 Un urna contiene 10 palline bianche e 10 rosse. Estraggo una pallina: se è bianca la reinserisco nell urna con una dello stesso colore, se è rossa lancio una moneta equilibrata e reinserisco la pallina estratta con 2 dello stesso colore se esce testa, con se esce croce.

12 10 Capitolo 1 a Qual è la composizione dell urna dopo un estrazione? E dopo due? b.1 Dopo la procedura descritta, decido di estrarre due palline in sequenza. Qual è la probabilità di estrarre una rossa come seconda? b.2 Se ho estratto una pallina rossa come seconda, qual è la probabilità che la prima fosse bianca? E che fosse rossa? Esercizio 1 Abbiamo due urne: una composta da palline bianche e 2 nere, la seconda composta da 4 palline bianche e nere. Lancio una moneta equa (la probabilità di avere testa è uguale alla probabilità di avere croce ed è pari ad un mezzo: se esce testa estraggo dalla prima urna, se esce croce estraggo dalla seconda urna. a Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia nera; b Calcolare la probabilità che la moneta abbia dato croce sapendo che è uscita una pallina bianca. Definiamo i seguenti eventi T= esce testa nel lancio della moneta ; C= esce croce nel lancio della moneta ; N= viene estratta una pallina nera; B= viene estratta una pallina bianca. a La probabilità di avere una pallina nera si calcola usando il teorema della probabilità totali, cioè la probabilità di avere una nera e testa nel lancio della moneta più la la probabilità di avere una nera e croce nel lancio della moneta P (N = P (N T P (N C. Per il teorema della probabilità condizionata si ha P (N = P (N T P (T P (N C P (C = =... = La situazione è ben descritta in Figura 1.1. b Viene richiesto di calcolare P (C B. Si usa il teorema di Bayes come segue P (C B = P (B C P (B = P (B C P (C P (B C P (C P (B T P (T = = = Esercizio 14 (Urne di Polya Un urna contiene palline bianche 5 rosse. Si estrae una pallina a caso: se è bianca la si rimette nell urna insieme ad altre due bianche; se esce una rossa la si rimette nell urna insieme ad un altra bianca. Si procede quindi in altre due estrazioni seguendo sempre la stessa legge.

13 Probabilità 11 P (T = 1 2 P (C = P (B = 5 P (N = 2 5 P (B = 4 P (N = Figura 1.1 Figura ad albero relativa all Esercizio 1 a Qual è la probabilità che le tre palline estratte siano tutte rosse? b Qual è la probabilità che le tre palline estratte siano tutte dello stesso colore? In Figura 1.2 son schematizzate le tre estrazioni successive. Indichiamo con R i l evento all i-esima estrazione la pallina è rossa B, 5R... B 1 R 1 5B, 5R.. 4B, 5R B 2 R 2 R 2 B 2 6B, 5R. 6B, 5R 6B, 5R 5B, 5R R B R B R B R B Figura 1.2 Figura ad albero relativa all Esercizio 14