Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa.

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1 Una sperimentazione Probabilità Si sta sperimentando l efficacia di un nuovo farmaco per il morbo di Parkinson. Duemila pazienti partecipano alla sperimentazione: metà di essi vengono trattati con il nuovo farmaco, metà con un placebo. Raccolti i dati sui risultati ottenuti, si vuole decidere se il nuovo farmaco è veramente efficace. ciano Faggiano Nucleo di ricerca in Didattica della Matematica 1 Di solito non abbiamo dati che possano essere direttamente interpretati in modo univoco. Quello che è vero per 000 persone sarà anche vero per tutti i malati Ci sono sempre errori di rilevazione. Un numero più o meno limitato di persone può avere risultati contraddittori. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa. Lo strumento matematico che consente di trattare problemi come questi, si chiama Calcolo delle probabilità Una previsione Matematica del certo, matematica del probabile. Tanti ambiti di applicazione. Indispensabile il trattamento di dati statistici In un anno ci sono (o ) giorni. Secondo voi, la circostanza che in questa stanza vi siano persone che hanno il compleanno nello stesso giorno è: a) quasi impossibile b) poco probabile c) molto probabile d) quasi certo

2 1) Domani pioverà ) La situazione economica del paese migliorerà entro poco tempo ) Se lancio una moneta, è più facile che venga testa o croce ) È più probabile che l autobus sia in orario o arrivi in ritardo ) Chi vincerà il prossimo campionato di calcio ) Se estraggo una carta da un mazzo, è più facile che sia un re o una carta di denari tipi di probabilità Probabilità sperimentale (frequenza) Probabilità matematica (a priori) Probabilità soggettiva Probabilità sperimentale L autobus per la scuola dovrebbe passare alle in punto. Per 0 giorni prendiamo nota dell orario in cui arriva: e m, e m, e m, em, e m, e m, e m, e m, e m, e m, e m, e m, e m, em, e m, e m, e m, e m, e m, e m. tra le e le e m è arrivato volte su 0 dopo le e m è arrivato 1 volte su 0 La frequenza Prima delle e : La frequenza assoluta è (volte) La frequenza relativa è su 0 Dopo le e : La frequenza assoluta è 1 (volte) La frequenza relativa è 1 su 0 1 = 0,1 = 0, 0 0 La frequenza relativa come percentuale y 0 y = = = 0,1 = y 0, Calcolare la frequenza relativa Le frazioni equivalenti (uguali): o anche 0 = = = 0, = % : 11 1

3 Più rapidamente Tabelle di proporzionalità diretta = 0 Quindi basta fare la divisione 0 : 0 = 0, Percentuali % vuol dire ogni cento. Quanti su 0 Lo sconto La cartoleria fa il 0% di sconto su tutte le penne 0,0 0,0 0 0 : y = = y 1 Prezzo iniziale Sconto y = = 0, 0 Prezzo iniziale Prezzo finale y = = 0, 0 1 = 0, = 0, Sono tutte tabelle di proporzionalità diretta: se aumentano i numeri di una colonna aumentano anche quelli dell altra. Nella proporzionalità inversa succede il contrario: quando i numeri di una colonna aumentano, quelli dell altra diminuiscono. = 1 1

4 Costruiamo rettangoli che hanno la stessa area Che cosa vuol dire simile Se aumenta la base, deve diminuire l altezza: Area 0 base altezza 1 0 y = 1 Il prodotto su ogni riga deve essere 0 y = È simile Sono simili 1 esercizio Da che cosa è data la forma di un triangolo E quella di un rettangolo Costruisci un rettangolo simile a questo, in cui il lato verticale misuri

5 Costruisci un rettangolo simile a questo, in cui il lato verticale misuri / / Quali sono simili Magia: basta moltiplicare per Perché siano simili Non basta che abbiano angoli della stessa ampiezza Devono avere lati corrispondenti di lunghezza proporzionale (sempre con lo stesso fattore di proporzionalità) Torniamo alla frequenza (relativa) La Lega Nord ha preso l,% dei voti 1 = 00 0,0 0,0 vuol dire che a 0 corrispondono, (o anche che a 00 corrispondono ) 0

6 Nelle tabelle di proporzionalità diretta è costante il rapporto tra numeri che stanno sulla stessa riga Nelle tabelle di proporzionalità indiretta è costante il prodotto tra numeri che stanno sulla stessa riga Proprietà della frequenza relativa È un numero frazionario (decimale) che sta tra 0 e 1 (compresi) Quando è 0 vuol dire che il fenomeno non si è mai verificato (0 %) Quando è 1 vuol dire che il fenomeno si è verificato sempre (0 %) Se un fenomeno ha frequenza, il fenomeno opposto ha frequenza 1- I fenomeni aleatori (o casuali) Sono quelli in cui crediamo che i possibili esiti non dipendano da fatti fisici ma solo dal caso. È indispensabile che i singoli esiti del fenomeno abbiano tutti la stessa possibilità di verificarsi. Probabilità a priori (matematica) Da quale scatola conviene pescare per vincere una rossa A) B) Probabilità a priori (matematica) Da quale scatola conviene pescare per vincere una rossa A) B) C)

7 È una questione di rapporti! < < 0% = 0,0 < 0,0 = 0% < 1 0% = 0,0 < 0, =,% < 0,0 = 0% Come confrontare le frazioni Basta trasformarle: 0 1 = = < < 1 = = La teoria Ci interessano i fenomeni di cui possiamo osservare gli esiti, per esempio a) Lancio di un dado b) Estrazione di una carta da un mazzo c) Estrazione di un numero da un urna d) Lancio di una moneta e) Eventi Ogni possibile esito del fenomeno si dice evento elementare L insieme formato da tutti gli eventi elementari si chiama spazio degli eventi Ogni sottinsieme dello spazio degli eventi si dice evento 0 Lo spazio degli eventi Esempi Lancio di un dado: Spazio degli eventi {1,,,,, } Eventi elementari 1,,,,, Eventi Ø, {1}, {}, {}, {1, }, {1, }, {1,, }, {1,, }, {1,,, }, {,,,, },. {1,,,,, } esce pari = {,, } esce un numero < = {1,,, } 1

8 Lancio di monete Eventi elementari TT, TC, CT, CC Spazio degli eventi {TT, TC, CT, CC} Eventi Ø, {TT}, {TC}, {CT}, {CC}, {TT, TC}, {TT, CT}, {TT, TC, CT}, {TT, TC, CT, CC} esce almeno una testa = {TT, TC, CT} neanche una testa = {CC} Probabilità a priori (matematica) Nell ipotesi fondamentale che tutti gli eventi elementari abbiano la stessa possibilità di verificarsi, la probabilità di un evento è il rapporto numero degli elementi dell'evento numero degli eventi elementari o anche numero dei casi favorevoli numero dei casi possibili La corsa dei cavalli Basta allora contare i casi favorevoli e quelli possibili e poi fare il rapporto di questi due numeri. Nei casi semplici, ciò può essere fatto facilmente (combinatoria) I casi possibili : caso : 1+, +, +, +1 casi : 1+, +, +, +, +1 casi : 1+, +, +, +, +, +1 casi : +, +, +, +, + casi 11: +, + casi 1: + 1 caso

9 Ma quello che succede coincide con la previsione La legge dei grandi numeri Esercizio Se ne prendo a caso, conviene puntare su due verdi o un rosso e un verde 0 Contiamo V V1 V1 V R1 V R1 V R R VV casi VR 1 casi su 0 possibili 1

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