= variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del 2000 = 500; PIL del 2001 = 520:

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1 Fig. 10.bis.1 Variazioni percentuali Variazione percentuale di x dalla data zero alla data uno: x1 x 0 %x = 100% x 0 = variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del 2000 = 500; PIL del 2001 = 520: % PIL = 100 = 100% = 0,04 100% = 4% % = 0,01 = 1/100 4% = 0,04 = 4/100 = 1/25 5% = 0,05 = 5/100 = 1/20 10% = 0,1 =1/10 20% = 0,2 = 2/10 = 1/5 25% = 0,25 = 1/4 50% = 0,5 = ½ 75% = 0,75 = 3/4. L uso delle percentuali elimina il problema dell unità di misura.

2 Fig. 10.bis.2 Tassi di crescita La variazione percentuale di una grandezza x nel tempo si chiama anche tasso di crescita (g = growth). x1 x 0 g = g x 0 = x1 x 0 x1 = x 0 + g x 0 = x 0 ( 1 + g) x 0 dunque: x 1 = x 0 (1 + g) (1 + g) = fattore di crescita. Dopo due periodi, se il tasso di crescita rimane lo stesso: x 2 = x 1 (1 + g) = x 0 (1 + g) (1 + g) = x 0 (1 + g) 2 Dopo n periodi: x n = x 0 (1 + g) n

3 Fig. 10.bis.3 Elasticità Se Y dipende da X, il valore marginale è Y / X. Il valore marginale misura come Y varia quando X varia di una unità. Ma c è il problema delle unità di misura. Sarebbe meglio sapere come Y varia in percentuale quando X varia dell 1%: Elasticità. Elasticità = Variazione % di Y Variazione % di X Rilevante è l elasticità della domanda al prezzo = %Q / %P = ε. Quando il prezzo aumenta dell 1%, la quantità domandata diminuisce di ε 1% (ε moltiplicato per 1%). Esempio: ε = 1,5. Se %P = 10% allora %Q = 1,5 10% = 15% (Se il prezzo aumenta del 10% allora la quantità diminuisce del 15%).

4 Fig. 10.bis.4 Elasticità e spesa totale Spesa = Prezzo Quantità. Se prezzo aumenta di x% e quantità diminuisce dello STESSO x%, allora la spesa non varia (per x non grande). Questo è il caso di elasticità della domanda al prezzo pari a uno. Se elasticità al prezzo > 1 (domanda elastica ): prezzo aumenta x% quantità diminuisce più di x% spesa diminuisce Se elasticità al prezzo < 1 (domanda rigida ): prezzo aumenta x% quantità diminuisce meno di x% spesa aumenta Esempio: elasticità = 1,5; P=100; Q=20; spesa = P Q = P aumenta 10% P=110; Q diminuisce 15% Q=17; P Q = 1870.

5 Fig. 10.bis.5 Capitalizzazione e sconto Avere 100 euro oggi non è come avere 100 euro domani. 100 euro oggi equivalgono a 100 (1 + i) euro domani, dove i è il tasso di interesse: posso infatti prestare quei 100 euro e ottenere interessi. Dopo due anni, i 100 iniziali diventano 100 (1+i) (1+i) = 100 (1+i) 2. Dopo n anni diventano 100 (1+i) n capitalizzazione. Se avrò 100 euro domani, ma oggi non ho niente, quanto posso prendere a prestito al massimo oggi? Una cifra che capitalizzata valga 100, cosicché io possa restituirla. Questa cifra si chiama valore attuale di 100. Valore attuale di 100 = x in modo che x (1+i) = 100, cioè: valore attuale di 100 = 100 / (1+i) sconto 100 euro disponibili fra n anni hanno valore attuale = 100 / (1+i) n.

6 Fig. 10.bis.6 Variabili casuali Certe relazioni sono deterministiche. Esempio: ruotando una manopola in varie posizioni la luminosità di una lampada varia in modo ben preciso e prevedibile. In molti casi il valore assunto da una variabile non è prevedibile a priori: essa può assumere valori diversi pur in presenza di condizioni ambientali uguali. Esempio: lanciando una moneta il risultato può essere testa o croce. (Nota bene: descrizione di comodo, dovuta al fatto che non riusciamo a controllare tutte le condizioni). VARIABILI CASUALI: una variabile casuale può assumere, in ogni data circostanza, uno solo tra diversi valori possibili, ciascuno con una certa probabilità. Probabilità = grado di possibilità della realizzazione di ognuno dei casi. La somma delle probabilità dei diversi casi deve essere 1. Esempio: prob. di testa = prob. di croce = ½; e ½ + ½ = 1.

7 Fig.10. bis.7 Valore atteso Per descrivere in modo sintetico le variabili casuali la statistica insegna diversi trucchi, che consistono nel fornire indicatori sintetici. Il primo indicatore sintetico di una v. c. è il valore atteso. Per comprenderlo, partiamo dal concetto di media (voti in decimi): media fra 2 e 8 = (2+8)/2 = 5; media fra 4 e 6 = (4+6)/2 = 5 Graficamente (primo dei due casi): La media sta a metà strada. Ma ciò è vero solo nel caso particolare. Se invece io ho preso due 2 e un 8, la media è (2+2+8)/3 = 4. Grafico: 2 4 8

8 Fig. 10.bis.8 Ancora valore atteso Altro esempio per generalizzare (voti in trentesimi). Se ho preso questi voti: 20, 24, 29, 24, 30, 21, 21, 24, 23, la media è: ( ) / 9 = 24. Ma anche ( ) / 9 = 24. Anche 20 1/9+(21+21) 1/9+23 1/9+( ) 1/9+29 1/9+30 1/9 = 24. Cioè: 20 1/ / / / / /9 = 24. Ogni diverso valore va moltiplicato per la sua FREQUENZA (= quante volte capita fratto numero totale dei casi), e poi si somma tutto. Media è un concetto riferito a valori già osservati. Valore atteso è un concetto a priori, quando conosco le probabilità senza bisogno di osservare esperimenti e frequenze.

9 Fig. 10.bis.9 Ancora valore atteso Lancio una moneta: se esce testa vinco , se croce vinco 0. Vincita attesa (calcolabile a priori) = / /2 = Compro dieci biglietti, dei venti milioni di essi in circolazione, della lotteria Italia: se estratto vinco , altrimenti vinco 0. Vincita attesa = (10/ ) + 0 ( / ) = , , = 2,5 (quanto costa comprare dieci biglietti? come cambia il risultato se compro venti biglietti anziché dieci?)

10 Fig. 10. bis.10 Varianza Torniamo al primissimo esempio di medie. media fra 2 e 8 = (2+8)/2 = 5; media fra 4 e 6 = (3+7)/2 = 5 Se si tratta di vincite ottenibili con due diverse scommesse sul lancio di una moneta, le due vincite attese sono uguali. Ma le due situazioni ci appaiono diverse: nel primo posso vincere molto più del valore atteso (3 in più), ma anche vincere molto meno. Nella seconda scommessa i risultati sono invece molto vicini al valore atteso. Supponiamo che partecipare alla scommessa costi 5 in entrambi i casi (una lotteria dove il costo di partecipazione è pari alla vincita attesa si dice EQUA). Nel primo caso i risultati netti sono +3 e 3; nel secondo caso +1 e 1. Il primo caso è più RISCHIOSO. La VARIANZA serve a dare una misura del rischio.

11 Fig. 10. bis.11 Ancora varianza La varianza è una media degli scostamenti dei possibili valori dal loro valore atteso. Ma se prendo la media degli scostamenti mi viene zero (esempi precedenti: la media fra +3 e 3, così come la media fra +1 e 1, è zero!). Allora: varianza = media degli scostamenti di ogni valore dal valore atteso, e- levati al quadrato (il quadrato enfatizza gli scostamenti ampi, che per me sono fastidiosi in quanto implicano rischio): Varianza della prima scommessa (8 5) 2 0,5 + (2 5) 2 0,5 = 3 2 0,5 +( 3) 2 0,5 = 9 Varianza della seconda scommessa (6 5) 2 0,5 + (4 5) 2 0,5 = 1 2 0,5 +( 1) 2 0,5 = 1 CVD

12 Fig. 10. bis.12 Rappresentazione grafica di una v. c. Una variabile casuale si descrive con due grandezze: i diversi valori che essa può assumere, e le probabilità di essi. Dunque si può rappresentare la v. c. su assi cartesiani: in ascissa i possibili valori della v. c. e in ordinata le corrispondenti probabilità (numeri non superiori a uno). Esempio delle due precedenti lotterie (2 e 8, oppure 4 e 6, con probabilità ½; il grafico della prima è a pallini, della seconda a crocette): Probabilità 1/ Valori

13 Fig. 10. bis.13 Ancora varianza Come sappiamo la varianza della prima è maggiore della varianza della seconda lotteria, e ciò corrisponde al fatto che i valori della seconda sono più interni (più vicini al valore atteso) rispetto alla prima. Immaginiamo ora una moneta a tre facce : ciascuna è equiprobabile (probabilità = 1/3) e le tre vincite alternative sono 2, 5, 8. È chiaro che la vincita attesa è ancora 5 = 2 1/ / /3 = 15/3. Calcoliamo la varianza: (2 5) 2 1/3 + (5 5) 2 1/3 + (8 5) 2 1/3 = 9 1/ / /3 = 18/3 = 6. La varianza è minore rispetto alla prima delle due vecchie lotterie: infatti ora i valori estremi (2 e 8) sono meno probabili (1/3), mentre esiste anche la probabilità di avere un esito prossimo (in realtà uguale) al valore atteso; dunque il rischio diminuisce. Facciamo il grafico di questa lotteria (riferirsi ai soli pallini).

14 Fig. 10. bis.14 Ancora varianza probabilità 2/3 1/3 1/ Valori Immaginiamo ora una scommessa che consiste nel lanciare un dado: se esce la faccia Uno vinco 2, se esce la faccia Sei vinco 8, e in ogni altro caso vinco 5. È ovviamente il grafico a crocette della figura sopra.

15 Fig. 10. bis.15 Ancora varianza Se calcolate la vincita attesa troverete che è ancora 5. La varianza è invece: (2 5) 2 1/6 + (5 5) 2 4/6 + (8 5) 2 1/6 = 9 1/ / /3 = 18/6 = 3. Perché la varianza è ulteriormente diminuita? Semplicemente perché i valori estremi sono divenuti ancora meno probabili (1/6) mentre è divenuto più probabile il valore centrale 5 (probabilità = 4/6=2/3); il rischio diminuisce ulteriormente.