= variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del 2000 = 500; PIL del 2001 = 520:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "= variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del 2000 = 500; PIL del 2001 = 520:"

Transcript

1 Fig. 10.bis.1 Variazioni percentuali Variazione percentuale di x dalla data zero alla data uno: x1 x 0 %x = 100% x 0 = variazione diviso valore iniziale, il tutto moltiplicato per 100. \ Esempio: PIL del 2000 = 500; PIL del 2001 = 520: % PIL = 100 = 100% = 0,04 100% = 4% % = 0,01 = 1/100 4% = 0,04 = 4/100 = 1/25 5% = 0,05 = 5/100 = 1/20 10% = 0,1 =1/10 20% = 0,2 = 2/10 = 1/5 25% = 0,25 = 1/4 50% = 0,5 = ½ 75% = 0,75 = 3/4. L uso delle percentuali elimina il problema dell unità di misura.

2 Fig. 10.bis.2 Tassi di crescita La variazione percentuale di una grandezza x nel tempo si chiama anche tasso di crescita (g = growth). x1 x 0 g = g x 0 = x1 x 0 x1 = x 0 + g x 0 = x 0 ( 1 + g) x 0 dunque: x 1 = x 0 (1 + g) (1 + g) = fattore di crescita. Dopo due periodi, se il tasso di crescita rimane lo stesso: x 2 = x 1 (1 + g) = x 0 (1 + g) (1 + g) = x 0 (1 + g) 2 Dopo n periodi: x n = x 0 (1 + g) n

3 Fig. 10.bis.3 Elasticità Se Y dipende da X, il valore marginale è Y / X. Il valore marginale misura come Y varia quando X varia di una unità. Ma c è il problema delle unità di misura. Sarebbe meglio sapere come Y varia in percentuale quando X varia dell 1%: Elasticità. Elasticità = Variazione % di Y Variazione % di X Rilevante è l elasticità della domanda al prezzo = %Q / %P = ε. Quando il prezzo aumenta dell 1%, la quantità domandata diminuisce di ε 1% (ε moltiplicato per 1%). Esempio: ε = 1,5. Se %P = 10% allora %Q = 1,5 10% = 15% (Se il prezzo aumenta del 10% allora la quantità diminuisce del 15%).

4 Fig. 10.bis.4 Elasticità e spesa totale Spesa = Prezzo Quantità. Se prezzo aumenta di x% e quantità diminuisce dello STESSO x%, allora la spesa non varia (per x non grande). Questo è il caso di elasticità della domanda al prezzo pari a uno. Se elasticità al prezzo > 1 (domanda elastica ): prezzo aumenta x% quantità diminuisce più di x% spesa diminuisce Se elasticità al prezzo < 1 (domanda rigida ): prezzo aumenta x% quantità diminuisce meno di x% spesa aumenta Esempio: elasticità = 1,5; P=100; Q=20; spesa = P Q = P aumenta 10% P=110; Q diminuisce 15% Q=17; P Q = 1870.

5 Fig. 10.bis.5 Capitalizzazione e sconto Avere 100 euro oggi non è come avere 100 euro domani. 100 euro oggi equivalgono a 100 (1 + i) euro domani, dove i è il tasso di interesse: posso infatti prestare quei 100 euro e ottenere interessi. Dopo due anni, i 100 iniziali diventano 100 (1+i) (1+i) = 100 (1+i) 2. Dopo n anni diventano 100 (1+i) n capitalizzazione. Se avrò 100 euro domani, ma oggi non ho niente, quanto posso prendere a prestito al massimo oggi? Una cifra che capitalizzata valga 100, cosicché io possa restituirla. Questa cifra si chiama valore attuale di 100. Valore attuale di 100 = x in modo che x (1+i) = 100, cioè: valore attuale di 100 = 100 / (1+i) sconto 100 euro disponibili fra n anni hanno valore attuale = 100 / (1+i) n.

6 Fig. 10.bis.6 Variabili casuali Certe relazioni sono deterministiche. Esempio: ruotando una manopola in varie posizioni la luminosità di una lampada varia in modo ben preciso e prevedibile. In molti casi il valore assunto da una variabile non è prevedibile a priori: essa può assumere valori diversi pur in presenza di condizioni ambientali uguali. Esempio: lanciando una moneta il risultato può essere testa o croce. (Nota bene: descrizione di comodo, dovuta al fatto che non riusciamo a controllare tutte le condizioni). VARIABILI CASUALI: una variabile casuale può assumere, in ogni data circostanza, uno solo tra diversi valori possibili, ciascuno con una certa probabilità. Probabilità = grado di possibilità della realizzazione di ognuno dei casi. La somma delle probabilità dei diversi casi deve essere 1. Esempio: prob. di testa = prob. di croce = ½; e ½ + ½ = 1.

7 Fig.10. bis.7 Valore atteso Per descrivere in modo sintetico le variabili casuali la statistica insegna diversi trucchi, che consistono nel fornire indicatori sintetici. Il primo indicatore sintetico di una v. c. è il valore atteso. Per comprenderlo, partiamo dal concetto di media (voti in decimi): media fra 2 e 8 = (2+8)/2 = 5; media fra 4 e 6 = (4+6)/2 = 5 Graficamente (primo dei due casi): La media sta a metà strada. Ma ciò è vero solo nel caso particolare. Se invece io ho preso due 2 e un 8, la media è (2+2+8)/3 = 4. Grafico: 2 4 8

8 Fig. 10.bis.8 Ancora valore atteso Altro esempio per generalizzare (voti in trentesimi). Se ho preso questi voti: 20, 24, 29, 24, 30, 21, 21, 24, 23, la media è: ( ) / 9 = 24. Ma anche ( ) / 9 = 24. Anche 20 1/9+(21+21) 1/9+23 1/9+( ) 1/9+29 1/9+30 1/9 = 24. Cioè: 20 1/ / / / / /9 = 24. Ogni diverso valore va moltiplicato per la sua FREQUENZA (= quante volte capita fratto numero totale dei casi), e poi si somma tutto. Media è un concetto riferito a valori già osservati. Valore atteso è un concetto a priori, quando conosco le probabilità senza bisogno di osservare esperimenti e frequenze.

9 Fig. 10.bis.9 Ancora valore atteso Lancio una moneta: se esce testa vinco , se croce vinco 0. Vincita attesa (calcolabile a priori) = / /2 = Compro dieci biglietti, dei venti milioni di essi in circolazione, della lotteria Italia: se estratto vinco , altrimenti vinco 0. Vincita attesa = (10/ ) + 0 ( / ) = , , = 2,5 (quanto costa comprare dieci biglietti? come cambia il risultato se compro venti biglietti anziché dieci?)

10 Fig. 10. bis.10 Varianza Torniamo al primissimo esempio di medie. media fra 2 e 8 = (2+8)/2 = 5; media fra 4 e 6 = (3+7)/2 = 5 Se si tratta di vincite ottenibili con due diverse scommesse sul lancio di una moneta, le due vincite attese sono uguali. Ma le due situazioni ci appaiono diverse: nel primo posso vincere molto più del valore atteso (3 in più), ma anche vincere molto meno. Nella seconda scommessa i risultati sono invece molto vicini al valore atteso. Supponiamo che partecipare alla scommessa costi 5 in entrambi i casi (una lotteria dove il costo di partecipazione è pari alla vincita attesa si dice EQUA). Nel primo caso i risultati netti sono +3 e 3; nel secondo caso +1 e 1. Il primo caso è più RISCHIOSO. La VARIANZA serve a dare una misura del rischio.

11 Fig. 10. bis.11 Ancora varianza La varianza è una media degli scostamenti dei possibili valori dal loro valore atteso. Ma se prendo la media degli scostamenti mi viene zero (esempi precedenti: la media fra +3 e 3, così come la media fra +1 e 1, è zero!). Allora: varianza = media degli scostamenti di ogni valore dal valore atteso, e- levati al quadrato (il quadrato enfatizza gli scostamenti ampi, che per me sono fastidiosi in quanto implicano rischio): Varianza della prima scommessa (8 5) 2 0,5 + (2 5) 2 0,5 = 3 2 0,5 +( 3) 2 0,5 = 9 Varianza della seconda scommessa (6 5) 2 0,5 + (4 5) 2 0,5 = 1 2 0,5 +( 1) 2 0,5 = 1 CVD

12 Fig. 10. bis.12 Rappresentazione grafica di una v. c. Una variabile casuale si descrive con due grandezze: i diversi valori che essa può assumere, e le probabilità di essi. Dunque si può rappresentare la v. c. su assi cartesiani: in ascissa i possibili valori della v. c. e in ordinata le corrispondenti probabilità (numeri non superiori a uno). Esempio delle due precedenti lotterie (2 e 8, oppure 4 e 6, con probabilità ½; il grafico della prima è a pallini, della seconda a crocette): Probabilità 1/ Valori

13 Fig. 10. bis.13 Ancora varianza Come sappiamo la varianza della prima è maggiore della varianza della seconda lotteria, e ciò corrisponde al fatto che i valori della seconda sono più interni (più vicini al valore atteso) rispetto alla prima. Immaginiamo ora una moneta a tre facce : ciascuna è equiprobabile (probabilità = 1/3) e le tre vincite alternative sono 2, 5, 8. È chiaro che la vincita attesa è ancora 5 = 2 1/ / /3 = 15/3. Calcoliamo la varianza: (2 5) 2 1/3 + (5 5) 2 1/3 + (8 5) 2 1/3 = 9 1/ / /3 = 18/3 = 6. La varianza è minore rispetto alla prima delle due vecchie lotterie: infatti ora i valori estremi (2 e 8) sono meno probabili (1/3), mentre esiste anche la probabilità di avere un esito prossimo (in realtà uguale) al valore atteso; dunque il rischio diminuisce. Facciamo il grafico di questa lotteria (riferirsi ai soli pallini).

14 Fig. 10. bis.14 Ancora varianza probabilità 2/3 1/3 1/ Valori Immaginiamo ora una scommessa che consiste nel lanciare un dado: se esce la faccia Uno vinco 2, se esce la faccia Sei vinco 8, e in ogni altro caso vinco 5. È ovviamente il grafico a crocette della figura sopra.

15 Fig. 10. bis.15 Ancora varianza Se calcolate la vincita attesa troverete che è ancora 5. La varianza è invece: (2 5) 2 1/6 + (5 5) 2 4/6 + (8 5) 2 1/6 = 9 1/ / /3 = 18/6 = 3. Perché la varianza è ulteriormente diminuita? Semplicemente perché i valori estremi sono divenuti ancora meno probabili (1/6) mentre è divenuto più probabile il valore centrale 5 (probabilità = 4/6=2/3); il rischio diminuisce ulteriormente.

Tasso di interesse e capitalizzazione

Tasso di interesse e capitalizzazione Tasso di interesse e capitalizzazione Tasso di interesse = i = somma che devo restituire dopo un anno per aver preso a prestito un euro, in aggiunta alla restituzione dell euro iniziale Quindi: prendo

Dettagli

Per poter affrontare il problema abbiamo bisogno di parlare di probabilità (almeno in maniera intuitiva). Analizziamo alcune situazioni concrete.

Per poter affrontare il problema abbiamo bisogno di parlare di probabilità (almeno in maniera intuitiva). Analizziamo alcune situazioni concrete. Parliamo di probabilità. Supponiamo di avere un sacchetto con dentro una pallina rossa; posso aggiungere tante palline bianche quante voglio, per ogni pallina bianca che aggiungo devo pagare però un prezzo

Dettagli

Un modello matematico di investimento ottimale

Un modello matematico di investimento ottimale Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011 Outline 1 Preliminari di calcolo delle probabilità

Dettagli

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado) L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello

Dettagli

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita?

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 00 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Osserviamo che il valore della vincita dipende dal risultato dell esperimento

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

Probabilità discreta

Probabilità discreta Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che

Dettagli

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa.

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa. Una sperimentazione Probabilità Si sta sperimentando l efficacia di un nuovo farmaco per il morbo di Parkinson. Duemila pazienti partecipano alla sperimentazione: metà di essi vengono trattati con il nuovo

Dettagli

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a)

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a) Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B Eventi indipendenti: un evento non influenza l altro Eventi disgiunti: il verificarsi di un evento esclude l altro Evento prodotto:

Dettagli

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi

Dettagli

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita NOTA 1 Gli esercizi sono presi da compiti degli scorsi appelli, oppure da testi o dispense di colleghi. A questi ultimi

Dettagli

Capitolo 4 Probabilità

Capitolo 4 Probabilità Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 4 Probabilità Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara Docenti: Dott.

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità

Dettagli

LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di

LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di STATISTICA LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di oggetti; cerca, attraverso l uso della matematica

Dettagli

Una percentuale di una certa importanza nel mondo economico è il tasso di interesse. Il tasso di

Una percentuale di una certa importanza nel mondo economico è il tasso di interesse. Il tasso di Capitalizzazione e attualizzazione finanziaria Una percentuale di una certa importanza nel mondo economico è il tasso di interesse. Il tasso di interesse rappresenta quella quota di una certa somma presa

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 19 marzo 2007 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio 1 Un urna contiene due palle nere e una rossa. Una seconda urna ne contiene una bianca

Dettagli

Scelte in condizioni di rischio e incertezza

Scelte in condizioni di rischio e incertezza CAPITOLO 5 Scelte in condizioni di rischio e incertezza Esercizio 5.1. Tizio ha risparmiato nel corso dell anno 500 euro; può investirli in obbligazioni che rendono, in modo certo, il 10% oppure in azioni

Dettagli

Aspetti probabilistici del gioco d azzardo

Aspetti probabilistici del gioco d azzardo Università degli Studi di Genova Scuola di Scienze Sociali Dipartimento di Economia Perché il banco vince sempre? Aspetti probabilistici del gioco d azzardo Enrico di Bella (edibella@economia.unige.it)

Dettagli

Probabilità e statistica

Probabilità e statistica Indice generale.probabilità ed eventi aleatori....come si può definire una probabilità....eventi equiprobabili....eventi indipendenti, eventi dipendenti....eventi incompatibili....eventi compatibili....probabilità

Dettagli

Matematica Applicata. Probabilità e statistica

Matematica Applicata. Probabilità e statistica Matematica Applicata Probabilità e statistica Fenomeni casuali Fenomeni che si verificano in modi non prevedibili a priori 1. Lancio di una moneta: non sono in grado di prevedere con certezza se il risultato

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7 CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 7 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Calcolo delle probabilità Il Sig. Rossi abita nella città X e lavora nella città Y, poco distante.

Dettagli

Probabilità II Variabili casuali discrete

Probabilità II Variabili casuali discrete Probabilità II Variabili casuali discrete Definizioni principali. Valore atteso e Varianza. Teorema di Bienaymé - Čebičev. V.C. Notevoli: Bernoulli e Binomiale. Concetto di variabile casuale Cos'è una

Dettagli

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.unige/pls_statistica Responsabili scientifici M.P. Rogantin e E. Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ -

Dettagli

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo.

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo. Corso di Matematica Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Pisa Maria Luisa Chiofalo Scheda 18 Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità I testi degli esercizi sono

Dettagli

Incertezza, assicurazioni, deterrenza

Incertezza, assicurazioni, deterrenza Incertezza, assicurazioni, deterrenza (anche questo è adattato da altri pezzi per mancanza di tempo) Scelta sotto incertezza come scelta tra lotterie L esperienza ci insegna che in generale le conseguenze

Dettagli

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che:

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che: Esercizi Esercizio 4. Un urna contiene inizialmente 2 palline bianche e 4 palline rosse. Si effettuano due estrazioni con la seguente modalità: se alla prima estrazione esce una pallina bianca, la si rimette

Dettagli

Ulteriori problemi di fisica e matematica

Ulteriori problemi di fisica e matematica Facoltà di Medicina e Chirurgia Università degli Studi di Firenze Agosto 2010 Ulteriori problemi di fisica e matematica Giovanni Romano Perché un raggio di luce proveniente dal Sole e fatto passare attraverso

Dettagli

COMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 8 Febbraio 2013. - Come cambia il REA atteso se l'obbligazione sarà ancora in vita dopo le prime tre estrazioni?

COMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 8 Febbraio 2013. - Come cambia il REA atteso se l'obbligazione sarà ancora in vita dopo le prime tre estrazioni? UNIVERSITA DEGLI STUDI DI URBINO (Sede di Fano) COMPITO DI MATEMATICA FINANZIARIA 8 Febbraio 2013 1) L'impresa Gamma emette 250 obbligazioni il cui VN unitario è pari a 100. Il rimborso avverrà tramite

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

PROBABILITA CONDIZIONALE

PROBABILITA CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,

Dettagli

Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 12 Cfu - A.A. 2010/2011 1

Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 12 Cfu - A.A. 2010/2011 1 Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 1 Cfu - A.A. 010/011 1 Esercitazione 1: 4/09/010 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: log a) f() = 5 ( 1). b) g() = log 3 (3 6) log 13.

Dettagli

L'impulso di una forza che varia nel tempo

L'impulso di una forza che varia nel tempo Lezione 13 approfondimento pag.1 L'impulso di una forza che varia nel tempo Un riassunto di quel che sappiamo Riprendiamo in esame il solito carrellino che si trova sopra la rotaia a basso attrito. Se

Dettagli

Vincere a testa o croce

Vincere a testa o croce Vincere a testa o croce Liceo B. Russell - Cles (TN) Classe 3D Insegnante di riferimento: Claretta Carrara Ricercatrice: Ester Dalvit Partecipanti: Alessio, Christian, Carlo, Daniele, Elena, Filippo, Ilaria,

Dettagli

Equivalenza economica

Equivalenza economica Equivalenza economica Calcolo dell equivalenza economica [Thuesen, Economia per ingegneri, capitolo 4] Negli studi tecnico-economici molti calcoli richiedono che le entrate e le uscite previste per due

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I)

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) 1. Si supponga di avere un urna con 15 palline di cui 5 rosse, 8 bianche e 2 nere. Immaginando di estrarre due palline con reimmissione, si dica con quale probabilità:

Dettagli

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:

Dettagli

I punteggi zeta e la distribuzione normale

I punteggi zeta e la distribuzione normale QUINTA UNITA I punteggi zeta e la distribuzione normale I punteggi ottenuti attraverso una misurazione risultano di difficile interpretazione se presi in stessi. Affinché acquistino significato è necessario

Dettagli

2 CERTAMEN NAZIONALE DI PROBABILITA E STATISTICA FELICE FUSATO Fase di Istituto 15 febbraio 2011

2 CERTAMEN NAZIONALE DI PROBABILITA E STATISTICA FELICE FUSATO Fase di Istituto 15 febbraio 2011 2 CERTAMEN NAZIONALE DI PROBABILITA E STATISTICA FELICE FUSATO Fase di Istituto 15 febbraio 2011 1) Non sfogliare questo fascicolo finché l insegnante non ti dice di farlo. 2) E ammesso l utilizzo di calcolatrici

Dettagli

Facciamo qualche precisazione

Facciamo qualche precisazione Abbiamo introdotto alcuni indici statistici (di posizione, di variabilità e di forma) ottenibili da Excel con la funzione Riepilogo Statistiche Facciamo qualche precisazione Al fine della partecipazione

Dettagli

1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero

1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero 1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero Nel gioco del Nim, se semplificato all estremo, ci sono due giocatori I, II e una pila di 6 pedine identiche In ogni turno di gioco I rimuove una

Dettagli

PROVE D'ESAME DI CPS A.A. 2009/2010. 0 altrimenti.

PROVE D'ESAME DI CPS A.A. 2009/2010. 0 altrimenti. PROVE D'ESAME DI CPS A.A. 009/00 0/06/00 () (4pt) Olimpiadi, nale dei 00m maschili, 8 nalisti. Si sa che i 4 atleti nelle corsie centrali hanno probabilità di correre in meno di 0 secondi. I 4 atleti delle

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

Capitolo Terzo Valore attuale e costo opportunità del capitale

Capitolo Terzo Valore attuale e costo opportunità del capitale Capitolo Terzo Valore attuale e costo opportunità del capitale 1. IL VALORE ATTUALE La logica di investimento aziendale è assolutamente identica a quella adottata per gli strumenti finanziari. Per poter

Dettagli

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0 Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice

Dettagli

CP110 Probabilità: Esame del 3 giugno 2010. Testo e soluzione

CP110 Probabilità: Esame del 3 giugno 2010. Testo e soluzione Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 2009-2010, II semestre 8 luglio, 2010 CP110 Probabilità: Esame del 3 giugno 2010 Testo e soluzione 1. (6 pts 12 monete da 1 euro vengono distribuite tra

Dettagli

Inflazione. L indice dei prezzi al consumo ci consente quindi di introdurre anche il concetto di inflazione:

Inflazione. L indice dei prezzi al consumo ci consente quindi di introdurre anche il concetto di inflazione: Il potere di acquisto cambia nel tempo. Un euro oggi ha un potere di acquisto diverso da quello che aveva 5 anni fa e diverso da quello che avrà fra 20 anni. Come possiamo misurare queste variazioni? L

Dettagli

La distribuzione Gaussiana

La distribuzione Gaussiana Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Biotecnologie Corso di Statistica Medica La distribuzione Normale (o di Gauss) Corso di laurea in biotecnologie - Corso di Statistica Medica La distribuzione

Dettagli

MICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti. Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza

MICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti. Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza MICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza 1 Dotazioni iniziali Il consumatore dispone ora non di un dato reddito monetario ma di un ammontare

Dettagli

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 29-Analisi della potenza statistica vers. 1.0 (12 dicembre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca

Dettagli

PROBABILITA CONDIZIONALE

PROBABILITA CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,

Dettagli

Epoca k Rata Rk Capitale Ck interessi Ik residuo Dk Ek 0 S 0 1 C1 Ik=i*S Dk=S-C1. n 0 S

Epoca k Rata Rk Capitale Ck interessi Ik residuo Dk Ek 0 S 0 1 C1 Ik=i*S Dk=S-C1. n 0 S L AMMORTAMENTO Gli ammortamenti sono un altra apllicazione delle rendite. Il prestito è un operazione finanziaria caratterizzata da un flusso di cassa positivo (mi prendo i soldi in prestito) seguito da

Dettagli

LEZIONE 3. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010

LEZIONE 3. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010. Ing. Andrea Ghedi AA 2009/2010 LEZIONE 3 "Educare significa aiutare l'animo dell'uomo ad entrare nella totalità della realtà. Non si può però educare se non rivolgendosi alla libertà, la quale definisce il singolo, l'io. Quando uno

Dettagli

Scelta sotto incertezza

Scelta sotto incertezza Scelta sotto incertezza 1. Introduzione Nei capitoli 1 e 2 della microeconomia standard si studia la scelta dei consumatori e dei produttori, che hanno un informazione perfetta sulle circostanze che caratterizzano

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

Soluzione dell esercizio del 2 Febbraio 2004

Soluzione dell esercizio del 2 Febbraio 2004 Soluzione dell esercizio del 2 Febbraio 2004 1. Casi d uso I casi d uso sono riportati in Figura 1. Figura 1: Diagramma dei casi d uso. E evidenziato un sotto caso di uso. 2. Modello concettuale Osserviamo

Dettagli

FACOLTÀ DI ECONOMIA Soluzione della Prova di autovalutazione 2012 (primi 6 CFU) ANALISI STATISTICA PER L IMPRESA

FACOLTÀ DI ECONOMIA Soluzione della Prova di autovalutazione 2012 (primi 6 CFU) ANALISI STATISTICA PER L IMPRESA FACOLTÀ DI ECONOMIA Soluzione della Prova di autovalutazione 2012 (primi 6 CFU) ANALISI STATISTICA PER L IMPRESA NB Come potete vedere facendo la somma dei punteggi il numero di quesiti è superiore a quello

Dettagli

Cosa dobbiamo già conoscere?

Cosa dobbiamo già conoscere? Cosa dobbiamo già conoscere? Insiemistica (operazioni, diagrammi...). Insiemi finiti/numerabili/non numerabili. Perché la probabilità? In molti esperimenti l esito non è noto a priori tuttavia si sa dire

Dettagli

LEZIONE n. 5 (a cura di Antonio Di Marco)

LEZIONE n. 5 (a cura di Antonio Di Marco) LEZIONE n. 5 (a cura di Antonio Di Marco) IL P-VALUE (α) Data un ipotesi nulla (H 0 ), questa la si può accettare o rifiutare in base al valore del p- value. In genere il suo valore è un numero molto piccolo,

Dettagli

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La definizione di probabilità che abbiamo finora considerato è anche nota come probabilità a priori poiché permette di prevedere l'esito di un evento

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2014-2015 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

COMPLEMENTI SULLE LEGGI FINANZIARIE

COMPLEMENTI SULLE LEGGI FINANZIARIE COMPLEMENI SULLE LEGGI FINANZIARIE asso di rendimento di operazioni finanziarie in valuta estera La normativa vigente consente di effettuare operazioni finanziarie, sia di investimento che di finanziamento,

Dettagli

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2

24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2 Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6

Dettagli

Un modello matematico di investimento ottimale

Un modello matematico di investimento ottimale Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011 Outline 1 Investimento per un singolo agente

Dettagli

Tabella 7. Dado truccato

Tabella 7. Dado truccato 0 ALBERTO SARACCO 4. Compiti a casa 7novembre 200 4.. Ordini di grandezza e calcolo approssimato. Esercizio 4.. Una valigia misura 5cm di larghezza, 70cm di lunghezza e 45cm di altezza. Quante palline

Dettagli

Macroeconomia, Esercitazione 2. 1 Esercizi. 1.1 Moneta/1. 1.2 Moneta/2. 1.3 Moneta/3. A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo.

Macroeconomia, Esercitazione 2. 1 Esercizi. 1.1 Moneta/1. 1.2 Moneta/2. 1.3 Moneta/3. A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo. acroeconomia, Esercitazione 2. A cura di Giuseppe Gori (giuseppe.gori@unibo.it) 1 Esercizi. 1.1 oneta/1 Sapendo che il PIL reale nel 2008 è pari a 50.000 euro e nel 2009 a 60.000 euro, che dal 2008 al

Dettagli

Paperone e Rockerduck: a cosa serve l antitrust?

Paperone e Rockerduck: a cosa serve l antitrust? Paperone e Rockerduck: a cosa serve l antitrust? Paperone Anna Torre, Rockerduck Ludovico Pernazza 1-14 giugno 01 Università di Pavia, Dipartimento di Matematica Concorrenza Due imprese Pap e Rock operano

Dettagli

Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici. Università degli Studi di Bari Aldo Moro. Corso di Macroeconomia 2014

Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici. Università degli Studi di Bari Aldo Moro. Corso di Macroeconomia 2014 Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici Università degli Studi di Bari Aldo Moro Corso di Macroeconomia 2014 1. Assumete che = 10% e = 1. Usando la definizione di inflazione attesa

Dettagli

Capitolo 10 Z Elasticità della domanda

Capitolo 10 Z Elasticità della domanda Capitolo 10 Z Elasticità della domanda Sommario Z 1. L elasticità della domanda rispetto al prezzo. - 2. La misura dell elasticità. - 3. I fattori determinanti l elasticità. - 4. L elasticità rispetto

Dettagli

COEFFICIENTI BINOMIALI

COEFFICIENTI BINOMIALI COEFFICIENTI BINOMIALI Michele Impedovo micheleimpedovo@uni-bocconiit Una definizione insiemistica Se n è un numero naturale e è un numero naturale compreso tra e n, si indica con il simbolo il coefficiente

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

STATISTICA E PROBABILITá

STATISTICA E PROBABILITá STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano

Dettagli

Esercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione)

Esercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Esercitazione #5 di Statistica Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Dicembre 00 1 Esercizi 1.1 Test su media (con varianza nota) Esercizio n. 1 Il calore (in calorie per grammo) emesso

Dettagli

Analisi dei residui. Test Esatto di Fisher. Differenza fra proporzioni

Analisi dei residui. Test Esatto di Fisher. Differenza fra proporzioni Statistica Economica Materiale didattico a cura del docente Analisi dei residui Test Esatto di Fisher Differenza fra proporzioni 1 Analisi dei residui Il test statistico ed il suo p-valore riassumono la

Dettagli

Esercizio 1. Svolgimento

Esercizio 1. Svolgimento Esercizio 1 Vengono lanciate contemporaneamente 6 monete. Si calcoli: a) la probabilità che si presentino esattamente 2 testa ; b) la probabilità di ottenere almeno 4 testa ; c) la probabilità che l evento

Dettagli

matematica probabilmente

matematica probabilmente IS science centre immaginario scientifico Laboratorio dell'immaginario Scientifico - Trieste tel. 040224424 - fax 040224439 - e-mail: lis@lis.trieste.it - www.immaginarioscientifico.it indice Altezze e

Dettagli

Scelta intertemporale: Consumo vs. risparmio

Scelta intertemporale: Consumo vs. risparmio Scelta intertemporale: Consumo vs. risparmio Fino a questo punto abbiamo considerato solo modelli statici, cioè modelli che non hanno una dimensione temporale. In realtà i consumatori devono scegliere

Dettagli

Statistica e biometria. D. Bertacchi. Variabili aleatorie. V.a. discrete e continue. La densità di una v.a. discreta. Esempi.

Statistica e biometria. D. Bertacchi. Variabili aleatorie. V.a. discrete e continue. La densità di una v.a. discreta. Esempi. Iniziamo con definizione (capiremo fra poco la sua utilità): DEFINIZIONE DI VARIABILE ALEATORIA Una variabile aleatoria (in breve v.a.) X è funzione che ha come dominio Ω e come codominio R. In formule:

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli

Note su quicksort per ASD 2010-11 (DRAFT)

Note su quicksort per ASD 2010-11 (DRAFT) Note su quicksort per ASD 010-11 (DRAFT) Nicola Rebagliati 7 dicembre 010 1 Quicksort L algoritmo di quicksort è uno degli algoritmi più veloci in pratica per il riordinamento basato su confronti. L idea

Dettagli

Università di Milano Bicocca. Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza. 14 Maggio 2015

Università di Milano Bicocca. Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza. 14 Maggio 2015 Università di Milano Bicocca Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza 14 Maggio 2015 Esercizio 1 Un agente presenta una funzione di utilitá u(x) = ln(1 + 6x). Egli dispone di un progetto incerto che

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Capitolo 4. Elasticità. Principi di economia (seconda edizione) Robert H. Frank, Ben S. Bernanke. Copyright 2007 - The McGraw-Hill Companies, srl

Capitolo 4. Elasticità. Principi di economia (seconda edizione) Robert H. Frank, Ben S. Bernanke. Copyright 2007 - The McGraw-Hill Companies, srl Capitolo 4 Elasticità In questa lezione introdurremo il concetto di elasticità: un indicatore dell entità con cui domanda e offerta reagiscono a variazioni di prezzo, reddito ed altri elementi. Nella lezione

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 21 marzo 2013 Categoria Junior Per studenti di seconda e terza della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 21 marzo 2013 Categoria Junior Per studenti di seconda e terza della secondaria di secondo grado Kangourou Italia Gara del 21 marzo 2013 Categoria Junior Per studenti di seconda e terza della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno 1. Il numero 200013 2013

Dettagli

Capitolo 6 Economia dell informazione e scelta in condizioni di incertezza

Capitolo 6 Economia dell informazione e scelta in condizioni di incertezza Capitolo 6 Economia dell informazione e scelta in condizioni di incertezza ECONOMIA DELL INFORMAZIONE L informazione è un fattore importante nel processo decisionale di consumatori e imprese Nella realtà,

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine nel Seicento in riferimento a questioni legate al gioco d azzardo e alle scommesse. Oggi trova tante applicazioni in ambiti anche

Dettagli

1 Probabilità condizionata

1 Probabilità condizionata 1 Probabilità condizionata Accade spesso di voler calcolare delle probabilità quando si è in possesso di informazioni parziali sull esito di un esperimento, o di voler calcolare la probabilità di un evento

Dettagli

Teoria dei Giochi non Cooperativi

Teoria dei Giochi non Cooperativi Politecnico di Milano Descrizione del gioco Egoismo Razionalità 1 L insieme dei giocatori 2 La situazione iniziale 3 Le sue possibili evoluzioni 4 I suoi esiti finali I Giochi della teoria Perché studiare

Dettagli

Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione

Dettagli

Statistica. Lezione 6

Statistica. Lezione 6 Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 6 a.a 011-01 Dott.ssa Daniela Ferrante

Dettagli

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche Slide Cerbara parte1 5 Le distribuzioni teoriche I fenomeni biologici, demografici, sociali ed economici, che sono il principale oggetto della statistica, non sono retti da leggi matematiche. Però dalle

Dettagli

Inferenza statistica I Alcuni esercizi. Stefano Tonellato

Inferenza statistica I Alcuni esercizi. Stefano Tonellato Inferenza statistica I Alcuni esercizi Stefano Tonellato Anno Accademico 2006-2007 Avvertenza Una parte del materiale è stato tratto da Grigoletto M. e Ventura L. (1998). Statistica per le scienze economiche,

Dettagli

Criteri di Valutazione della scheda - Solo a carattere indicativo -

Criteri di Valutazione della scheda - Solo a carattere indicativo - Criteri di Valutazione della scheda - Solo a carattere indicativo - Previsioni Sono state fatte le previsioni e discussi i valori attesi con il ragionamento con cui sono stati calcolati E stata usata la

Dettagli

STATISTICA IX lezione

STATISTICA IX lezione Anno Accademico 013-014 STATISTICA IX lezione 1 Il problema della verifica di un ipotesi statistica In termini generali, si studia la distribuzione T(X) di un opportuna grandezza X legata ai parametri

Dettagli

Un po di statistica. Christian Ferrari. Laboratorio di Matematica

Un po di statistica. Christian Ferrari. Laboratorio di Matematica Un po di statistica Christian Ferrari Laboratorio di Matematica 1 Introduzione La statistica è una parte della matematica applicata che si occupa della raccolta, dell analisi e dell interpretazione di

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 1

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 1 CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 1 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Distribuzione di probabilità, funzione di ripartizione di una v.c. discreta Il tasso di cambio

Dettagli

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 5-Indici di variabilità (vers. 1.0c, 20 ottobre 2015) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca

Dettagli

Cluster. Vicino alla temperatura critica gli spin formano grandi gruppi (cluster)

Cluster. Vicino alla temperatura critica gli spin formano grandi gruppi (cluster) Cluster Vicino alla temperatura critica gli spin formano grandi gruppi (cluster) all interno di ogni gruppo è molto improbabile riuscire a flippare uno spin perché ci sarebbe una grande perdita di energia,

Dettagli

Se si insiste non si vince

Se si insiste non si vince Se si insiste non si vince Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Valutare la probabilità in diversi contesti problematici. Distinguere tra eventi indipendenti e non. Valutare criticamente le informazioni

Dettagli