Scelte in condizioni di rischio e incertezza

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1 CAPITOLO 5 Scelte in condizioni di rischio e incertezza Esercizio 5.1. Tizio ha risparmiato nel corso dell anno 500 euro; può investirli in obbligazioni che rendono, in modo certo, il 10% oppure in azioni che rendono con probabilità 1/2 lo 0% ovvero, sempre con probabilità 1/2 il 20%. Le preferenze di Tizio sono rappresentate dalla funzione di utilità u = lg W. (i) Si ricavino le alternative possibili per Tizio. (ii) Si ricavi il costo opportunità della scelta di tizio. (iii) Si ricavi la scelta razionale di Tizio. Soluzione. (i) La ricchezza di Tizio è un bene contingente in quanto il suo valore dipende dal verificarsi o meno dell evento che determina un rendimento elevato o scarso delle azioni; pertanto se indichiamo con B il risparmio che Tizio investe in obbligazioni, cioè nell attività finanziaria con rendimento certo, e con E il risparmio impiegato da Tizio in azioni, cioè l attività finanziaria rischiosa, possiamo scrivere anzitutto il vincolo di bilancio: La ricchezza sarà pertanto pari a: { W 1 = 1, 1B + (500 B)1, 2 W = W 2 = 1, 1B + (500 B) cioè: W = B + E = 500 (5.1) { W 1 = 600 0, 1B W 2 = , 1B (5.2) (5.3) dove abbiamo indicato con W 1 la ricchezza di Tizio se le azioni rendono il 20% e con W 2 la ricchezza di Tizio se le azioni rendono lo 0%. Dalla definizione della ricchezza W come bene contingente si ricava che Tizio può ridurre il rischio, cioè la potenziale variabilità del valore della ricchezza, spostando il risparmio dalla attività rischiosa alla attività certa. Supponiamo, per esempio, che inizialmente Tizio abbia deciso di impiegare tutto il risparmio in azioni, B = 0; la ricchezza di Tizio è: { W 1 = 600 W = W 2 = 500 Supponiamo ora che decida di impiegare 100 euro in obbligazioni, B = 100; si ricava allora che il valore della ricchezza diminuisce di 10 euro, W 1 = 0, 1 B = 10, nel caso in cui le azioni rendano molto ma aumenta di 10 euro, W 2 = 0, 1 B = 10 nel caso in cui le azioni abbiano reso poco. La ricchezza di Tizio in questo caso è: { W 1 = 590 W = W 2 = 510 e quindi presenta una minore variabilità. L insieme delle alternative possibili è rappresentato geometricamente dal segmento ab della figura 1. 41

2 42 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA Figura 1 (ii) Il costo opportunità della scelta di Tizio è rappresentato, geometricamente, dalla pendenza del segmento che rappresenta l insieme delle alternative possibili (ottenute modificando la parte di risparmio investita in obbligazioni). Dalla analisi precedente si ricava che: W 2 = 1100 W 1 e quindi il costo opportunità della scelta di tizio è pari a 1. Supponiamo che Tizio decida di impiegare 100 euro in più in obbligazioni. Dai dati del problema sappiamo che il suo reddito aumenta, in misura certa, di 10 euro se le azioni hanno un rendimento basso (cioè rendono lo 0 per cento) mentre diminuisce di 10 euro se le azioni dovessero rendere il 20 per cento. Possiamo allora dire che Tizio scambia un euro in più di rendimento nella situazione sfavorevole con un euro in meno di rendimento nella situazione favorevole. (iii) Tizio ordina le diverse alternative in base all utilità attesa ad esse associata. L utilità attesa è definita da: Eu = 1 2 lg W lg W 2 cui corrisponde il saggio marginale di sostituzione (in valore assoluto): dw 2 dw 1 = W 2 W 1 La scelta razionale di Tizio è quella che massimizza l utilità attesa e quindi soddisfa il seguente sistema di equazioni: W 2 /W 1 = 1 W 2 = 1100 W 1 Dalla soluzione del sistema si ricava W 1 = W 2 = 550; pertanto la decisione razionale di Tizio è di avere un patrimonio che non dipende dall evento che influisce sul valore delle azioni. Tizio deciderà di investire il suo risparmio interamente in obbligazioni, B = 500. La figura 2 rappresenta geometricamente la determinazione della scelta razionale di Tizio.

3 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA 43 Figura 2 Esercizio 5.2. Tizio ha un risparmio di 100 euro che può investire nell acquisto di Buoni del Tesoro (BOT) o in azioni. I BOT danno un rendimento annuo certo del 10%; il rendimento atteso delle azioni è del 2% se la congiuntura economica internazionale è sfavorevole, del 18% se invece la situazione economica internazionale è positiva. La probabilità che la situazione economica internazionale sia favorevole è pari a 1/2. Le preferenze di Tizio sono rappresentate dalla funzione di utilità u = lg W, con W che indica la ricchezza (in euro) di Tizio. Si determini come investirà Tizio il suo risparmio. Soluzione. Indichiamo con B il risparmio impiegato in Buoni del Tesoro e con E quello investito in azioni; sarà 0 B 100 e 0 E 100 ed inoltre: B + E = 100 Il rendimento delle azioni non è certo; con probabilità 1/2 renderanno il 2% e con probabilità 1/2 renderanno il 18%. Se Tizio decide, quindi, di investire in azioni la sua ricchezza, alla fine dell anno, dipenderà dalla situazione economica internazionale che si è verificata; se la situazione economica internazionale è positiva (p.e. in termini di saggi di crescita della produzione) la ricchezza di Tizio sarà pari a: W g = B 1, 1 + 1, 18 E mentre se la situazione internazionale è negativa la ricchezza di Tizio sarà pari a: W b = B 1, 1 + 1, 02 E Un euro investito in BOT rende il 10% certo; se Tizio ha acquistato BOT per un importo di B euro si troverà in portafoglio (in attivo) un valore complessivo di 1, 1B. Un euro investito in azioni rende il 2% se la situazione economica non è buona oppure il 18% se la situazione economica è favorevole; se Tizio ha investito in azioni per un importo di E euro si troverà in portafoglio, alla fine dell anno, un valore complessivo di 1, 02E in caso di andamento negativo del corso delle azioni o 1, 18E in caso di andamento positivo. Poichè siamo in una situazione di incertezza, nel momento in cui la decisione deve essere presa, il criterio razionale di scelta è quello della massimizzazione della utilità attesa: Eu = u a = π b lg ( W b) + π g lg (W g ) con π b 0 probabilità del verificarsi della situazione sfavorevole (le azioni rendono il 2%), π g 0 probabilità del verificarsi della situazione favorevole (le azioni rendono

4 44 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA il 18%) e con π b +π g = 1. Nel nostro caso π b = π g = 1/2 e quindi possiamo scrivere l utilità attesa nella maniera seguente: Eu = u a = 1 2 lg ( W b) lg (W g ) La decisione razionale di Tizio scaturisce dalla soluzione del seguente problema: con i vincoli: max u a = 1 W b,w g 2 lg ( W b) lg (W g ) (5.4) B + E = 100 (5.5) W b = B 1, 1 + 1, 02 E (5.6) W g = B 1, 1 + 1, 18 E (5.7) La (5.5) è il vincolo di bilancio; la (5.6) e la (5.7) definiscono la ricchezza di Tizio alla fine dell anno a seconda dell evento economico (sfavorevole o favorevole) verificatosi. Possiamo sostituire la (5.5) nella (5.6) e nella (5.7): E = 100 B W b = B 1, 1 + 1, 02 (100 B) W g = B 1, 1 + 1, 18 (100 B) Il problema di Tizio può allora essere scritto nel modo seguente: max B ua = 1 2 lg (B 1, 1 + 1, 02 (100 B)) + 1 lg (B 1, 1 + 1, 18 (100 B)) 2 (5.8) L ammontare di risparmio che Tizio deve investire nell acquisto di BOT (per massimizzare l utilità attesa della sua decisione di investimento) si ottiene dalla soluzione dell equazione: cioè (svolgendo i calcoli): e quindi: du a db = 0 = 1 [ ] 2 0, , 08B 0, , 08B 118 0, 08B = , 08B 16 = 0, 16B cioè B = 100 (5.9) La scelta razionale per Tizio è quella di investire tutti i 100 euro di risparmio nell acquisto di BOT, cioè della attività finanziaria con rendimento certo. Oss 1. In base alle preferenze Tizio è avverso al rischio; inoltre il rendimento atteso delle azioni: r a = 1 2 0, , 18 = 0, 1 2 è pari al 10% e coincide con il rendimento certo dei BOT. In questo caso sappiamo che la condotta razionale è quella di non investire nella attività rischiosa. Esercizio 5.3. Tizio ha un risparmio di 100 euro che può investire nell acquisto di BOT, con un rendimento certo del 5%, oppure di quote di un fondo azionario che può rendere l 1% oppure il 7% a seconda che il Governo decida di aumentare o diminuire l imposta sui redditi da capitale. La probabilità che il Governo decida di diminuire l imposta sui redditi da capitale è pari a 2/3. Le preferenze di Tizio sono rappresentate dalla funzione u = lg W, con W che indica la ricchezza di Tizio. Si determini la scelta ottimale di Tizio.

5 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA 45 Soluzione. Il vincolo di bilancio di Tizio è: B + E = 100 La ricchezza che si ritrova alla fine dell anno è: W b = 1, 05 B + 1, 01 (100 B) (5.10) se il Governo aumenta l imposta sui redditi da capitale e: W g = 1, 05 B + 1, 07 (100 B) (5.11) se, al contrario, il Governo riduce l imposta sui redditi da capitale. Dalla (5.10) si ricava: B = W b 101 (5.12) 0, 04 dalla (5.11) si ricava: Pertanto: B = 107 W g 0, 02 W b 101 0, 04 = 107 W g 0, 02 (5.13) cioè: W b = 315 2W g (5.14) Se Tizio investe tutto il suo risparmio nell acquisto dei BOT si ricava che W b = W g = 105, mentre se acquista solo azioni W b = 101 e W g = 107. La (5.14) definisce quindi la ricchezza che Tizio si ritrova nelle due situazioni (aumento oppure diminuzione dell imposta sui redditi da capitale da parte del Governo) a seconda di come ripartisce il suo risparmio fra BOT e azioni; in altri termini definisce le possibili alternative. Una rappresentazione geometrica è fornita nella figura 1. Il coefficiente angolare della (5.14) definisce il costo opportunità dell investimento in azioni, cioè la quantità di euro che è disposto a pagare in termini di minor rendimento se le cose vanno male per ogni euro in più in termini di maggior rendimento se le cose vanno bene. Per incrementare la ricchezza di un euro quando

6 46 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA la situazione è favorevole Tizio deve aumentare l investimento in azioni di 50 euro (così facendo il suo rendimento aumenta di due punti percentuali, passando dal 5% al 7% se l imposta sui redditi da capitale viene ridotta; due punti percentuali su una somma di 50 euro equivalgono ad 1 euro) e quindi ridurre l investimento in BOT in pari misura (se le cose vanno male per Tizio ci sarà una perdita di quattro punti percentuali, dal 5% dei BOT all 1% delle azioni; su una somma di 50 euro ciò equivale ad una riduzione della ricchezza di 2 euro) Tizio è in una situazione di incertezza per quanto riguarda il rendimento del suo risparmio; decide quindi in base alla utilità attesa. dalla definizione della utilità attesa: u a = 1 3 lg W b lg W g possiamo ricavare la generica curva di indifferenza (nel piano W b, W g ): ū a = 1 3 lg W b lg W g dove u a = ū a indica un valore costante dell utilità attesa. Dalla curva di indifferenza possiamo ricavare il saggio marginale di sostituzione: SMS W b W g = dw b dw g = 2 d lg W g 3 dw g 1 3 d lg W b dw b = 2W b W g (5.15) Il significato del saggio marginale di sostituzione è il seguente: quanto è disposto a pagare Tizio, in termini di minor ricchezza in euro se le cose vanno male (cioè viene aumentata l imposta sui redditi da capitale e le azioni rendono solamente l 1%) per avere un europ in più se le cose vanno bene. Supponiamo, p.e., che Tizio stia investendo il suo risparmio interamente in BOT. Dalla (5.15) si ricava che SMS W b W = 2; per ogni euro che può ottenere in più, investendo in azioni, se g le cose vanno bene, è disposto a perdere due euro, investendo in azioni, se le cose vanno male. La decisione razionale di Tizio si ottiene dalla soluzione del problema seguente: max u a = 1 W b,w g 3 lg W b lg W g (5.16) W b = 315 2W g (5.17) e con 105 W g 107. La scelta razionale si ottiene dalla soluzione del sistema di equazioni: cioè: 2W b W g = 2 (5.18) W b = 315 2W g (5.19) W b = W g W b = 315 2W g Si ricava W b = W g = 105. La scelta razionale per Tizio è quindi quella che gli consente di avere la medesima ricchezza in entrambe le situazioni; quindi quella in cui acquista solamente BOT (come si ricava sostituendo il risultato nella (5.12) oppure nella (5.13). La figura 2 fornisce una rappresentazione geometrica.

7 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA 47 Esercizio 5.4. Tizio dispone di un risparmio di 100 euro che può depositare in banca sul conto corrente guadagnando il 10%, oppure investire in azioni della società XY. Con probabilità 1/2 la società XY non distribuisce dividendi e con probabilità 1/2 distribuisce un dividendo pari al 21, 5% del valore delle azioni. Le preferenze di Tizio sono rappresentate dalla funzione di utilità u = lg W. Si determini la scelta ottimale di Tizio. Soluzione. Ripartendo il risparmio fra il deposito in conto corrente e le azioni della società XY la ricchezza di Tizio può assumere i seguenti valori: se la società non distribuisce dividendo e: W b = 1, 1 B + (100 B) = , 1B (5.20) W g = 1, 1 B + (100 B) 1, 215 = 121, 5 0, 115B (5.21) dove con B indichiamo ora il risparmio depositato in banca. Dalla (5.20) e dalla (5.21) si ricava, eliminando B: W b = W g (5.22) cioè l insieme delle possibili alternative per Tizio. Dalla funzione di utilità attesa: u a = 1 2 lg W b lg W g si ricava il saggio marginale di sostituzione: SMS = dw b dw g = W b W g

8 48 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA La scelta ottimale si ottiene dalla soluzione del seguente sistema di equazioni: W b W g = 20 (5.23) 23 W b = W g (5.24) La (5.23) è la condizione di ottimo (uguaglianza fra il saggio di sostituzione ed il costo opportunità della decisione) mentre la (5.24) è il vincolo che deve rispettare Tizio (in altri termini l insieme di alternative fra cui può scegliere). Si ricava: W b = W g e quindi: W b = W g W g = = 473 = 118, 25 4 W b = = , Utilizzando la (5.20) (oppure la (5.21)) si ricava che B 28, 26 e E = 71, 74. Tizio investe pertanto parte del suo risparmio anche nella attività rischiosa. Si noti che Tizio è avverso al rischio (le curve di indifferenza sono convesse) e ciò nonostante investe solo una parte del suo risparmio nella attività con rendimento certo (il deposito bancario).iil rendimento atteso delle azioni è: r a = , 215 = 0, cioè il 10, 75% superiore al 10% del deposito in conto corrente; ciò incentiva Tizio a rischiare (impiegando parte del suo risparmio in azioni). La figura 3 rappresenta geometricamente la situazione.

9 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA 49 Esercizio 5.5. Tizio ha un risparmio di euro da investire. Può scegliere di depositarli su un libretto di risparmio che rende il 4% in modo certo, ovvero acquistare acquistare azioni che possono rendere il 2% con probabilità 1/3 oppure il 5% con probabilità 2/3. (i) Si calcoli il rendimento atteso della quota di risparmio impiegato in azioni. (ii) Che decisione prenderà Tizio sapendo che è avverso al rischio? Si commenti. Soluzione. (i) Il rendimento atteso del risparmio investito in azioni è pari alla media ponderata dei possibili rendimenti (associati alle diverse situazioni di rischio): = 4 L impiego del risparmio in azioni rende in media il 4% esattamente come il risparmio depositato sul libretto. (ii) Sappiamo che: (a) Tizio è avverso al rischio; (b) le due alternative sono equivalenti (sono attuarialmente eque), dal momento che rendono entrambe il 4%. L ipotesi (a) e la proprietà (b) delle due alternative implicano che Tizio deciderà di impiegare tutti i euro nel libretto di risparmio. Esercizio 5.6. Tizio ha un risparmio di 1000 euro che può impiegare in due modi: i) in titoli a reddito fisso che rendono il 4%, ii) in azioni che possono rendere il 6% se la situazione economica internazionale è favorevole, oppure il 2% se la situazione economica internazionale è sfavorevole. Le preferenze di Tizio sono rappresentate dalla funzione di utilità u = W, con W che indica la ricchezza di Tizio; vi è la medesima probabilità che la situazione economica internazionale sia favorevole oppure sfavorevole. (i) Supponiamo che Tizio decida di investire 200 euro in azioni; si calcoli la ricchezza di Tizio. (ii) Si scrivano le condizioni che definiscono la scelta razionale di Tizio e se ne dia l interpretazione economica. Si commenti. (iii) Quanto risparmio deciderà di impiegare in azioni? Si commenti. Soluzione. (i) Tizio ha un vincolo di bilancio da rispettare: 1000 = E + B con E che indica il risparmio impiegato in azioni e B = 1000 E quello impiegato in titoli a reddito fisso. La ricchezza di Tizio è, in una situazione di rischio, un bene contingente, dipende, cioè dal verificarsi o meno di un determinato evento. La ricchezza di Tizio può quindi essere posta in funzione del risparmio impiegato in azioni e assume il valore: W g = (1000 E) 1, 04 + E 1, 06 se la situazione economica internazionale è favorevole e quindi le azioni in portafoglio rendono il 6 % ovvero il valore: W b = (1000 E) 1, 04 + E 1, 02 se la situazione economica internazionale è favorevole e quindi le azioni in portafoglio rendono solamente il 2%. Il problema ci dice che Tizio decide di investire 200 euro in azioni e quindi E = 200; pertanto: W g = 1044, W b = 1036

10 50 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA (ii) Le condizioni che definiscono la scelta razionale di Tizio definiscono il seguente sistema di equazioni: SMS Eu = dw b dw g (5.25) W g = B 1, 04 + E 1, 06 (5.26) W b = B 1, 04 + E 1, 02 (5.27) 1000 = B + E (5.28) La (5.25) definisce la condizione di ottimo, cioè l uguaglianza fra saggio marginale di sostituzione fra beni e ragione di scambio (o prezzo relativo) dei beni. La (5.26) e la (5.27) definiscono i beni rispetto ai quali Tizio deve decidere, cioè la ricchezza (intesa come bene contingente). La (5.28) è il vincolo di bilancio di Tizio. Osserviamo anzitutto che possiamo sostituire la (5.28) nella (5.27) e nella (5.26). La (5.26) diventa: La (5.27) diventa: W g = B 1, 04 + (1000 B) 1, 06 = , 02B W b = B 1, 04 + (1000 B) 1, 02 = , 02B Dalle espressioni così ricavate si ricava immediatamente che un euro investito in più in titoli a reddito fisso aumenta la ricchezza di Tizio, nella situazione sfavorevole, di 2 centesimi di euro mentre riduce la ricchezza di Tizio, nella situazione favorevole, di 2 centesimi di euro; pertanto dw b /dw g = 1. Poichè stiamo considerando una situazione di rischio le alternative a disposizione di Tizio vanno valutate in termini di utilità attesa: Eu = 1 W b + 1 W b 2 2 Si ricava, pertanto, che SMS Eu = W b / W g. Possiamo così finalmente scrivere le condizioni che definiscono la scelta razionale di Tizio: W b W g = 1 (5.29) W g = B 1, 04 + E 1, 06 (5.30) cioè: W b = B 1, 04 + E 1, 02 (5.31) 1000 = B + E (5.32) W b W g = 1 (5.33) W g = , 02 B (5.34) W b = , 02 B (5.35) (iii) Dal sistema di equazioni (5.33)-(5.35) si ricava che B = 1000 e quindi E = 0, W b = W g = 1040; Tizio impiega tutto il risparmio nei titoli a reddito fisso. Esercizio 5.7. Sempronio deve scegliere fra due alternative: un biglietto di una lotteria che consente di vincere la somma di 64 euro con probabilità 1/4 e di vincere nulla con probabilità 3/4; il diritto ad una somma certa di 16 euro. Sempronio decide in base al criterio dell utilità attesa. Indichiamo con W la ricchezza di Sempronio.: (i) Quale sarà la sua scelta se le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilità u = u(w ) = W?

11 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA 51 (ii) Quale sarà la sua scelta se le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilità u = u(w ) = W? (iii) Quale sarà la sua scelta se le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilità u = u(w ) = W 2 Soluzione. Il criterio dell utilità attesa stabilisce che Sempronio sceglie, fra le diverse alternative possibili, quella cui è associata l utilità attesa più elevata. Indichiamo con W g L = 64 la ricchezza di Sempronio nel caso possegga il biglietto vincente della lotteria e con WL b = 0 la ricchezza di Sempronio qualora possegga un biglietto diverso da quello vincente. Indichiamo con W g M = W M b = 16 la ricchezza di Sempronio quando dispone del diritto alla somma certa di 16. L utilità attesa della lotteria (L) è definita dall espressione: u a (L) = 1 4 u(64) u(0) L utilità attesa del diritto a disporre della somma certa di 16 euro è: u a (M) = 1 4 u(16) + 3 u(16) = u(16) 4 Si osservi che il valore atteso della lotteria è: W a L = = 16 cioè è uguale al valore della somma certa rappresentato dalla seconda alternativa. (i) Consideriamo il caso in cui la funzione di utilità è u = W. In questo caso otteniamo: e: Si consideri la figura seguente. u a (L) = = = 2 u a M = = 16 = 4 Sempronio preferisce il diritto ad avere in modo certo 16 euro. Si noti che le due alternative hanno lo stesso valore atteso, pari a 16; poichè delle due sceglie quella meno rischiosa (nel nostro esempio l alternativa certa) si dice che Sempronio è avverso al rischio. La funzione di utilità u = W è crescente e concava (e quindi

12 52 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA ha utilità marginale positiva ma decrescente) e descrive le preferenze di un soggetto avverso al rischio. (ii) Consideriamo il caso in cui la funzione di utilità è u = W. In questo caso otteniamo: u a (L) = = 16 e: u a M = = 16 4 Si consideri la figura seguente. Sempronio è indifferente fra le due alternative. Si noti che, in questo caso, la massimizzazione dell utilità attesa equivale alla scelta dell alternativa che massimizza il valore atteso. In questo caso si dice che il soggetto è neutrale al rischio; le preferenze di un soggetto neutrale al rischio sono rappresentate da una funzione di utilità crescente (utilità marginale positiva) e lineare (utilità marginale costante), u = W. (iii) Consideriamo il caso in cui la funzione di utilità è u = W 2. In questo caso otteniamo: u a (L) = 1 4 (64) = 1024 e: u a M = 1 4 (16) (16)2 = (16) 2 = 256 La situazione è rappresentata nella figura seguente.

13 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA 53 Sempronio, in questo caso, preferisce l alternativa rischiosa, cioè il possesso del biglietto della lotteria. Poichè le due alternative hanno lo stesso valore atteso si dice che Sempronio è propenso al rischio. La funzione di utilità che rappresenta le preferenze di un soggetto propenso al rischio è crescente (utilità marginale positiva) e convessa (utilità marginale crescente), come, p.e., u = W 2. Esercizio 5.8. Supponiamo che le preferenze di Tizio siano rappresentate dalla funzione di utilità u = W, con W che rappresenta la ricchezza di Tizio. Supponiamo, inoltre, che Tizio abbia una ricchezza W = 100 e che con probabilità pari ad 1/2 possa subire un danno D = 36. Tizio può assicurarsi per l intero danno presso una compagnia di assicurazione pagando un premio p = 18. Si determini la scelta di Tizio. Cambia la decisione di Tizio se la compagnia di assicurazione chiede un premio p = 20, sempre per assicurare l intero danno? Soluzione. Tizio deve scegliere fra due alternative. La prima alternativa è quella di non assicurarsi, e quindi correre il rischio di subire la perdita di 36. In questo caso si ritrova un patrimonio pari a: W g L = 100 se l evento negativo che provoca il danno non si verifica, ed un patrimonio pari a: W b L = 100 D = = 64 se invece l evento dannoso si verifica. La seconda alternativa è quella di assicurarsi per l intero danno pagando un premio p = 18. In questo caso il patrimonio di Tizio è pari a: W g A = 100 p = = 82 se l evento negativo che provoca il danno non si verifica, ed un patrimonio pari a: W b A = 100 D + D p = = 82 se invece l evento dannoso si verifica. Assicurandosi per l intero danno Tizio si ritrova un patrimonio il cui valore è certo anche se, dovendo in ofni caso pagare il premio, sarà inferiore al patrimonio iniziale di 100.

14 54 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA Calcoliamo l utilità attesa associata alle due alternative. L utilità attesa dell alternativa di non assicurarsi (l alternativa rischiosa, nel nostro caso) è: u a (L) = = 9 L utilità attesa dell alternativa di assicurarsi (l alternativa certa, nel nostro caso) è: u a (A) = = 82 Poichè 82 > 9 si ricava che Tizio sceglie di assicurarsi. La situazione è descritta geometricamente nella figura seguente. Si noti che le due alternative hanno lo stesso valore atteso (pari a 82); poichè Tizio decide di assicurarsi, quindi di scegliere l alternativa non rischiosa, è avverso al rischio. Consideriamo ora la situazione nel caso in cui il premio chiesto dalla compagnia di assicurazione sia p = 20, sempre per assicurare l intero danno. L alternativa di assicurarsi determina ora una ricchezza pari a: W g A se l evento dannoso non si verifica e: = 100 p = 80 W b A = 100 D + D p = = 80 se invece l evento dannoso si verifica. Il valore certo del patrimonio diminuisce, quindi, rispetto alla situazione precedente (ed è ovvio, visto che Tizio paga un premio più alto per assicurare sempre la medesima somma). Se ora calcoliamo l utilità attesa dell alternativa di assicurarsi troviamo che: u a (A) = = 80 Poichè 80 < 9 Tizio ora deciderà di non assicurarsi. La situazione è rappresentata nella figura seguente.

15 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA 55 Tizio è avverso al rischio e tuttavia se il premio che gli viene chiesto è troppo alto decide di non assicurarsi e di correre il rischio di subire il danno. Esercizio 5.9. Tizio dispone di 1000 euro, risparmiati nel corso dell anno. Può impiegarli in titoli a reddito fisso che rendono il 3% in modo certo oppure in azioni che rendono il 2% se la situazione economica internazionale è sfavorevole oppure l 8% se la situazione economica internzionale evolve positivamente. Le azioni possono essere acquistate in tagli di 500 euro (o multipli di 500). Supponiamo che la situazione economica internazionale sia sfavorevole con probabilità 2/3. Le preferenze di Tizio sono rappresentate dalla funzione di utilità u = W, con W che indica il valore del risparmio. (a) Si definiscano le possibili alternative a disposizione di Tizio in termini di valore del risparmio e le si rappresenti geometricamente. (b) Si determini come Tizio impiegherà il suo risparmio comportandosi in modo razionale. (c) Per quale livello del saggio di interesse dei titoli a reddito fisso le alternative a disposizione di Tizio sono indifferenti? Si commenti. Soluzione (a) Indichiamo con B il risparmio impiegato in titoli a reddito fisso e con E il risparmio impiegato in azioni. Tizio eve rispettare il vincolo di bilancio: B + E = 1000 Poichè inoltre le azioni possono essere acquistate in tagli di 500 euro, le alternative a disposizione di Tizio sono tre: acquistare solamente titoli a reddito fisso: B 1 = 1000, E 1 = 0; acquistare il taglio minimo di azioni e impiegare il risparmio rimanente in titoli a reddito fisso: B 2 = 500, E 2 = 500; acquistare solamente azioni: B 3 = 0, E 3 = Possiamo rappresentare le conseguenze di tali scelte in termini di risparmio. Poichè simo in una situazione di incertezza, dovuta al fatto che il rendimento delle azioni dipende dalla situazione economica internazionale, il risparmio di Tizio è un bene contingente; indichiamo con W g il risparmio di Tizio se la situazione economica internazionale è favorevole e con W b il risparmio di Tizio se la situazione economica internazionale è sfavorevole.

16 56 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA Consideriamo la prima alternativa, B 1 = 1000, E 1 = 0. In questo caso abbiamo: Se consideriamo la seconda alternativa abbiamo: W g = , 03 = 1030 (5.36a) W b = , 03 = 1030 (5.36b) W g = 500 1, , 08 = 1055 (5.37a) W b = 500 1, , 02 = 1025 (5.37b) Se, infine, consideriamo l alternativa in cui impiega tutti i risparmi in azioni otteniamo: W g = , 08 = 1080 (5.38a) W b = , 02 = 1020 (5.38b) Possiamo rappresentare geometricamente la situazione con l ausilio della figura 1. Fig.1 (b) Per determinare la scelta razionale di Tizio dobbiamo calcolare l utilità attesa associata a ciascuna alternativa: Se consideriamo l alternativa 1 si ricava: Se consideriamo l alternativa 2 abbiamo: u a = 1 3 W g W b u a (A 1 ) = = u a (A 2 ) = = Infine l utilità attesa associata all alternativa 3 è: u a (A 3 ) = = Poichè u a (A 3 ) > u a (A 2 ) > u a (A 1 ) Tizio si comporta in modo razionale investendo tutti i risparmi nell acquisto di azioni. Si consideri la figura 2.

17 5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA 57 Fig.2 (c) È sufficiente considerare la condizione seguente: 1000(1 + r) = 1040 cioè la condizione di uguaglianza fra le utilità attese delle due alternative estreme (quella in cui Tizio acquista solo titoli a reddito fisso e quella in cui acquista solo azioni); si ricava: r = 40 = 0,