ESERCITAZIONE novembre 2012

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1 ESERCITAZIONE 1 Economia dell Informazione e dei Mercati Finanziari C.d.L. in Economia degli Intermediari e dei Mercati Finanziari (8 C.F.U.) C.d.L. in Statistica per le decisioni finanziarie ed attuariali (6 C.F.U.) 15 novembre Premessa In questa esercitazione, si propongono alcuni esempi di domande-esercizio relative agli argomenti: utilità attesa, scelte in condizioni di incertezza, teoria dei giochi, modello principale-agente standard con azzardo morale, estensioni al modello di agenzia, contratti impliciti (cap.1-4 del testo "Economia dei contratti"). 2 Utilità attesa, scelte in condizioni di incertezza, teoria dei giochi Exercise 1 Sia data una funzione di utilità di un agente del tipo u = x 1/4. La remunerazione dell agente è data dal seguente prospetto incerto: w h = 1800$ con probabilità p = 0.25 w L = 1200$ con probabilità 1 p = 0.75 a. Si calcoli il valore monetario atteso (VMA), l equivalente certo (EC) e il premio per il rischio (PR) di questa scommessa. Il VMA è dato da: = 1350 Il EC si calcola dalla funzione di utilità, ed è il valore w che restituisce la stessa utilità attesa della scommessa. 1

2 L Utilità attesa è calcolata come: 0.25 (1800) 1/ /4 = 6.04, da cui il EC è il valore w che soddisfa l equazione: w 1/4 = 6.04 w = Il PR è la differenza tra VMA e EC: PR= = b. Si dia una definizione ed intuizione di questi concetti Il VMA è il valore oggettivo della scommessa, cioè ciò che in media si può ottenere partecipando alla scommessa. Il EC è, invece, il valore soggettivo, che dipende dalla funzione di utilità dell individuo: è l ammontare che rende l individuo indifferente tra ottenere il CE con certezza e partecipare alla scommessa con guadagno aleatorio pari al VMA. Il PR è l ammontare massimo che l individuo pagherebbe per liberarsi dal rischio della scommessa. c. E l agente avverso, propenso o neutrale al rischio? Poichè il PR è positivo, l individuo è avverso al rischio. Exercise 2 Ad un individuo viene proposta la seguente scommessa: vincere 500 mila euro oppure vincere 10 mila euro con la stessa probabilità. Se l individuo non accetta la scommessa, ottiene 100 mila euro con certezza. Si indichi: a. il valore monetario atteso della scommessa. V MA = = b. la scelta che farebbe un individuo neutrale al rischio. Un individuo neutrale al rischio accetterebbe 100 mila euro se questo valore fosse superiore al VMA della scommessa; in questo caso, non accetta la scommessa. c. la scelta che farebbe un individuo con utilità u = x 1/2 L utilità attesa di tale individuo dalla scommessa rischiosa è = Da qui, il certo equivalente della scommessa è il valore X tale che X = X = Tale individuo sarebbe indifferente tra la scommessa e ricevere con certezza euro, quindi rifiuta i 100 mila euro. d. il valore minimo che il secondo giocatore sarebbe disposto ad accettare invece di giocare la scommessa. Tale valore minimo è il certo equivalente della scommessa, dunque euro. 2

3 Exercise 3 Il proprietario di un auto che vale 20 mila euro ha una probabilità del 2% (0.02) che la sua auto gli sia rubata. a. Qual è il valore atteso se il proprietario non ha un assicurazione? Il valore atteso VA senza assicurazione è dato da: = euro b. Un assicurazione gli offre il seguente contratto: un rimborso (R) pari al valore dell auto se questa viene rubata, in cambio di un premio (P) di 500 euro. Se l individuo è neutrale al rischio, conviene assicurarsi? Per un individuo neutrale al rischio, il VA della seconda scommessa è: 0.02 ( ) ( ) = < 19600: per questo individuo non conviene assicurarsi. c. E se l individuo è avverso al rischio, con utilità u = x 1/2? L utilità attesa della scommessa senza assicurazione è: = , mentre con l assicurazione, l utilità attesa è = per tale individuo, è conveniente assicurarsi, in quanto l utilità attesa senza assicurazione è minore dell utilità attesa con assicurazione. d. Qual è il premio assicurativo massimo che l individuo del punto c vorrà pagare? Fin tanto che, pagando il premio P e ricevendo il valore della macchina come bonus, l utilità attesa con assicurazione resta maggiore dell utilità attesa senza assicurazione, l individuo sarà contento di assicurarsi. Il premio massimo è allora trovato in modo che sia rispettata questa condizione: P Pmax = = [Nota: l utilità attesa con assicurazione è la radice del valore dell auto al netto del premio, perché l assicurazione è completa, e dunque la ricchezza nei due stati del mondo è la stessa] [Nota 2: il premio max. corrisponde alla differenza tra valore dell auto e certo equivalente senza assicurazione] Exercise 4 Un agente deve scegliere tra due contratti: contratto A: w L = 500$ con probabilità p = 0.3 e w H probabilità 1 p = 0.7 contratto B: w L = 200$ con probabilità p = 0.4 e w H probabilità 1 p = 0.6 = 1000$ con = 1500$ con 3

4 a. Si calcoli il valore monetario atteso da ciascun contratto V MA(A) = = 850 V MA(B) = = 980 b. Quale contatto è scelto se l agente è neutrale al rischio? Il secondo, perché ha maggiore valore atteso. c. Quale contratto è preferibile se l agente è avverso al rischio, con u = w? L utilità attesa dal contratto A è = L utilità attesa dal contratto B è = Anche l individuo avverso al rischio sceglie il contratto B. Exercise 5 Si consideri la seguente matrice di pay-off, in cui l ordine del gioco è: principale sceglie se accordare fiducia, l agente risponde cooperando oppure defezionando. L ordine dei pay-off è: c>a>d>b. a. Si spieghi perchè la coppia di strategie "fiducia-coopero" non è un equilibrio di Nash. b. Cosa succede se il gioco può ripetersi infinite volte e il principale adotta una trigger strategy? Si scriva e si commenti la condizione per cui vale il Teorema di Folk, data la matrice dei pay-off Agente coopero non coopero Principale fiducia a,a b,c non fiducia d,d d,d 3 Azzardo morale, modello di agenzia standard Exercise 6 Un dipendente di un impresa deve realizzare l output y = 20e+ε, dove e è l effort e ε è una variabile casuale a media 0 e varianza σ 2. Il costo dell effort per l agente è c(e) = (1/2)e 2. a. Si calcoli lo sforzo ottimale (first best). Lo sforzo ottimale è quello che massimizza il benessere complessivo (S) della relazione: 4

5 S = E(y) c(e) = 20e e 2 /2 Da cui, lo sforzo ottimale è quello che rende nulla la derivata prima si S rispetto ad e: S/ e = 20 e = 0 e F B = 20 b. Se l effort non è osservabile, viene proposta una remunerazione all agente del tipo w = y. Dato lo schema di incentivazione lineare e una funzione di utilità dell agente del tipo: u = e r[w c(e)], dove r è la misura dell avversione al rischio dell agente, quale sarà l effort ottimale per l agente? Con schema di incentivazione lineare e funzione di utilità del tipo CARA, il certo equivalente (CE), che corrisponde al Valore Monetario Atteso (VMA) meno il premio per il rischio (PR) dell individuo, si può esprimere come: CE(e) = E(w) C(e) P R = (E(y)) C(e) P R = (20e) e 2 /2 P R L effort ottimale per l individuo è quello che rende nulla la derivata prima dell espressione del suo certo equivalente, calcolata rispetto ad e, per cui: CE/ e = e = 0 e = 16 Exercise 7 Sia dato un agente con funzione di utilità del tipo u= w e ed utilità di riserva ū=4. Siano possibili solo due livelli di sforzo, e L = 1 e e H = 5. L output y può assumere solo due valori: y = y L = 10 oppure y = y H = 300. La probabilità con cui si realizza y L o y H dipende dallo sforzo dell agente, secondo le seguenti probabilità: se e = e L, y = y L con p = 0.9 e y = y H con probabilità 1 p = 0.1; se e = e H, y = y L con p = 0.4 e y = y H con probabilità 1 p = 0.6 a. Qual è l azione ottimale se l effort è perfettamente osservabile (first best) e quale contratto è offerto? L effort che massimizza i profitti attesi dell impresa è e H. Infatti, se e = e H, l impresa offre il salario di riserva all individuo (cioè, il salario che, se sostituito nella funzione di utilità dell agente restituisce la sua utilità di riserva ū: w eh = ū w = 81), e i suoi profitti attesi sono: = 103. Se invece si realizza l effort e L e l impresa paga il salario di riserva ( w e L = ū w = 25), i suoi profitti attesi sono = 14, per cui l impresa offrirà un salario pari a zero se osserva e L ed il salario di riserva se osserva e H, cioè 81. 5

6 b. In presenza di asimmetria informativa sull effort, si scriva il vincolo di partecipazione ed il vincolo di compatibilità degli incentivi per incentivare e = e H. Se non si può osservare l effort, l impresa trasferisce parte del rischio sul lavoratore per incentivarlo, offrendo un salario w L se si realizza l output y L e un salario w H se si realizza l output y H. Il vincolo di partecipazione è dato da: 0.6( w H 5) + 0.4( w L 5) w H w L 9 Il vincolo di compatibilità degli incentivi è dato da: 0.6( w H 5) + 0.4( w L 5) 0.1( w H 1) + 0.9( w L 1) 0.5 w H 0.5 w L 4 c. Qual è il salario incentivante in questo caso? Mettendo a sistema i due vincoli, soddisfatti con uguaglianza, otteniamo: dal vincolo di compatibilità degli incentivi: wh = 4/0.5 + w L = 8+ w L. Sostituendo nel vincolo di partecipazione: 0.6(8+ w L )+0.4 w L = 9 w L = 4.2 Da cui: w L = e w H = Estensioni al modello di agenzia Exercise 8 In un torneo con due agenti (i=1, 2), sia w H il salario che un agente ottiene se vince il torneo, w L il salario in caso di sconfitta. La probabilità (P) di vincere il torneo per il generico agente i sia una funzione lineare nell effort e i, tale per cui P/ e i = 3. Il costo dello sforzo sia lo stesso per i due agenti, dato da c(e) = (5e 2 )/2. a. Si derivi la condizione di massimizzazione dell utilità dell agente neutrale al rischio L utilità attesa dell agente neutrale al rischio è il salario atteso: E(U) = E(w e) = P (w H c(e)) + (1 P ) (w L c(e)) = P w H + (1 P ) w L (5e 2 )/2 Nota: P è funzione di e. Tale espressione, valutata rispetto all effort e, è massima quando E(U)/ e = 0 P/ e w H P/ e w L 5e = 0 P/ e(w H w L ) = 5e b. Si determini lo spread salariale (w H w L ) se il principale vuole ottenere uno sforzo pari a e = 12. Sostituendo nella precedente espressione, otteniamo: w H w L = 20 6

7 5 Contratti impliciti Exercise 9 Nel modello di Shapiro e Stiglitz (1984), un lavoratore con funzione di utilità del tipo u = w e può decidere di sforzarsi (e H = 500) oppure di fare shirking (e s = 100), e la probabilità di essere scoperto è p = Il salario di riserva sia w = 300. Si calcoli: a. l utilità dell agente se fa shirking; L utilità attesa dallo fare lo scansafatiche è: u s = 0.75 (w 100) ( ) = 0.75w = 0.75w 25 b. l utilità di comportarsi lealmente; L utilità del comportarsi lealmente è u c = w 500 c. il salario di effi cienza che l impresa deve pagare per disincentivare lo shirking; Imponendo che sia u c u s, otteniamo: w w 25 w = 1900 d. la rendita salariale per il lavoratore. Se l informazione fosse perfetta (cioè, la probabilità di osservare se l individuo fa lo scansafatiche fosse uno), allora l impresa offrirebbe il salario che, al netto dello sforzo, rende l individuo esattamente indifferente tra accettare e rifiutare (il salario netto deve essere pari al salario di riserva): w 500 = 300 w = 800 Da qui, la rendita per il lavoratore è =