ESERCITAZIONE novembre domanda facoltativa per ottenere la lode (solo se si è risposto alle altre parti)

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1 ESERCITAZIONE 1 Economia dell Informazione e dei Mercati Finanziari C.d.L. in Economia degli Intermediari e dei Mercati Finanziari (8 C.F.U.) C.d.L. in Statistica per le decisioni finanziarie ed attuariali (6 C.F.U.) 15 novembre Premessa Lo schema di esame prevede: 2 domande a risposta aperta (con limite di spazio di risposta). Una domanda coprirà la parte 2 del programma (economia dell informazione), una domanda verterà sulla parte 3 (mercati finanziari). Vi sarà chiesto di introdurre un argomento da un punto di vista teorico, dimostrare come si deriva un risultato teorico e valutarne pro e contro. E premiato il ricorso a grafici, ove possibile, e la contestualizzazione con esempi. Ciasuna risposta vale 10 punti (per un totale di massimo 20 pt.). 1 o 2 domande-esercizio, in cui vi sarà chiesto di risolvere un semplice quesito, dare delle definizioni e motivare i passaggi matematici. Questa parte vale 10 pt ai fini della valutazione. 1 domanda facoltativa per ottenere la lode (solo se si è risposto alle altre parti) Saranno coperti tutti gli argomenti previsti da programma. In questa esercitazione, si propongono alcuni esempi di domande-esercizio relative agli argomenti: utilità attesa, scelte in condizioni di incertezza, teoria dei giochi, modello principale-agente standard con azzardo morale, estensioni al modello di agenzia, contratti impliciti (cap.1-4 del testo "Economia dei contratti"). 1

2 2 Utilità attesa, scelte in condizioni di incertezza, teoria dei giochi Exercise 1 Sia data una funzione di utilità di un agente del tipo u = x 1/4. La remunerazione dell agente è data dal seguente prospetto incerto: w h = 1800$ con probabilità p = 0.25 w L = 1200$ con probabilità 1 p = 0.75 a. Si calcoli il valore monetario atteso (VMA), l equivalente certo (EC) e il premio per il rischio (PR) di questa scommessa b. Si dia una definizione ed intuizione di questi concetti c. E l agente avverso, propenso o neutrale al rischio? Exercise 2 Ad un individuo viene proposta la seguente scommessa: vincere 500 mila euro oppure vincere 10 mila euro con la stessa probabilità. Se l individuo non accetta la scommessa, ottiene 100 mila euro con certezza. Si indichi: a. il valore monetario atteso della scommessa b. la scelta che farebbe un individuo neutrale al rischio c. la scelta che farebbe un individuo con utilità u = x 1/2 d. il valore minimo che il secondo giocatore sarebbe disposto ad accettare invece di giocare la scommessa. Exercise 3 Il proprietario di un auto che vale 20 mila euro ha una probabilità del 2% (0.02) che la sua auto gli sia rubata. a. Qual è il valore atteso se il proprietario non ha un assicurazione? b. Un assicurazione gli offre il seguente contratto: un rimborso (R) pari al valore dell auto se questa viene rubata, in cambio di un premio (P) di 500 euro. Se l individuo è neutrale al rischio, conviene assicurarsi? c. E se l individuo è avverso al rischio, con utilità u = x 1/2? d. Qual è il premio assicurativo massimo che l individuo del punto c vorrà pagare? Exercise 4 Un agente deve scegliere tra due contratti: 2

3 contratto A: w L = 500$ con probabilità p = 0.3 e w H probabilità 1 p = 0.7 contratto B: w L = 200$ con probabilità p = 0.4 e w H probabilità 1 p = 0.6 = 1000$ con = 1500$ con a. Si calcoli il valore monetario atteso da ciascun contratto b. Quale contatto è scelto se l agente è neutrale al rischio? c. Quale contratto è preferibile se l agente è avverso al rischio, con u = w? Exercise 5 Si consideri la seguente matrice di pay-off, in cui l ordine del gioco è: principale sceglie se accordare fiducia, l agente risponde cooperando oppure defezionando. L ordine dei pay-off è: c>a>d>b. a. Si spieghi perchè la coppia di strategie "fiducia-coopero" non è un equilibrio di Nash. b. Cosa succede se il gioco può ripetersi infinite volte e il principale adotta una trigger strategy? Si scriva e si commenti la condizione per cui vale il Teorema di Folk, data la matrice dei pay-off Agente coopero non coopero Principale fiducia a,a b,c non fiducia d,d d,d 3 Azzardo morale, modello di agenzia standard Exercise 6 Un dipendente di un impresa deve realizzare l output y = 20e+ε, dove e è l effort e ε è una variabile casuale a media 0 e varianza σ 2. Il costo dell effort per l agente è c(e) = (1/2)e 2. a. Si calcoli lo sforzo ottimale (first best). b. Se l effort non è osservabile, viene proposta una remunerazione all agente del tipo w = y. Dato lo schema di incentivazione lineare e una funzione di utilità dell agente del tipo: u = e r[w c(e)], dove r è la misura dell avversione al rischio dell agente, quale sarà l effort ottimale per l agente? 3

4 Exercise 7 Sia dato un agente con funzione di utilità del tipo u= w e ed utilità di riserva ū=4. Siano possibili solo due livelli di sforzo, e L = 1 e e H = 5. L output y può assumere solo due valori: y = y L = 10 oppure y = y H = 300. La probabilità con cui si realizza y L o y H dipende dallo sforzo dell agente, secondo le seguenti probabilità: se e = e L, y = y L con p = 0.9 e y = y H con probabilità 1 p = 0.1; se e = e H, y = y L con p = 0.4 e y = y H con probabilità 1 p = 0.6 a. Qual è l azione ottimale se l effort è perfettamente osservabile (first best) e quale contratto è offerto? b. In presenza di asimmetria informativa sull effort, si scriva il vincolo di partecipazione e il vincolo di compatibilità degli incentivi per incentivare e = e H. c. Qual è il salario incentivante in questo caso? 4 Estensioni al modello di agenzia Exercise 8 In un torneo con due agenti (i=1, 2), sia w H il salario che un agente ottiene se vince il torneo, w L il salario in caso di sconfitta. La probabilità (P) di vincere il torneo per il generico agente i sia una funzione lineare nell effort e i, tale per cui P/ e i = 3. Il costo dello sforzo sia lo stesso per i due agenti, dato da c(e) = (5e 2 )/2. a. Si derivi la condizione di massimizzazione dell utilità dell agente neutrale al rischio (suggerimento: se l agente è neutrale al rischio, utilità attesa corrisponde al salario atteso) b. Si determini lo spread salariale (w H w L ) se il principale vuole ottenere uno sforzo pari a e = Contratti impliciti Exercise 9 Nel modello di Shapiro e Stiglitz (1984), un lavoratore con funzione di utilità del tipo u = w e può decidere di sforzarsi (e H = 500) oppure di fare shirking (e s = 100), e la probabilità di essere scoperto è p = Il salario di riserva sia w = 300. Si calcoli: 4

5 a. l utilità dell agente se fa shirking; b. l utilità di comportarsi lealmente; c. il salario di effi cienza che l impresa deve pagare per disincentivare lo shirking; d. la rendita salariale per il lavoratore. 5