29 maggio Distinzione importante: giochi simultanei giochi sequenziali: uno dei giocatori ha la prima mossa; l altro deve rispondere.

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1 ESERCITAZIONE 8 29 maggio 204. Premessa. Trattando della teoria dei giochi, bisogna ricordare questi concetti: * strategia dominante: ogni giocatore dispone di una scelta strategica ottima, quale che sia la mossa dell altro giocatore. Se in un gioco vi è una strategia dominante per ciascun giocatore è piuttosto agevole determinare la soluzione di equilibrio; * strategia pura: una strategia che determina quale scelta farà il giocatore in qualsiasi situazione possibile; * strategia mista: una distribuzione di probabilità sull insieme di scelte effettuabili dal giocatore. * equilibrio di Nash in strategie pure. Non sempre nei giochi vi sono equilibri con strategie dominanti. Può invece darsi che la scelta di ciascun giocatore sia quella ottima data la scelta dell altro giocatore (equilibrio di Nash in strategie pure). Il medesimo gioco può avere più equilibri di Nash. * equilibrio di Nash in strategie miste: ciascun giocatore sceglie la frequenza ottima per le proprie strategie, date le frequenze scelte dall altro giocatore. Distinzione importante: giochi simultanei giochi sequenziali: uno dei giocatori ha la prima mossa; l altro deve rispondere. Esercizio A \ B Sinistra Destra Alto, 2 0, Basso 2,, 0.. Per A è sempre più vantaggioso scegliere Basso : una strategia i cui payoff 2 e sono in ogni caso maggiori di quelli derivanti dalla scelta di Alto ( e 0). Analogamente, la scelta migliore per B è Sinistra, i cui payoff (2 e ) sono più alti di quelli che si avrebbero scegliendo Destra ( e 0). Ciascun giocatore dispone cioè di una scelta strategica ottima quale che sia la mossa dell altro. Quindi: per A la strategia dominante è Basso ; per B la strategia dominante è Sinistra..2. Il fatto che ciascun giocatore abbia una strategia dominante fa sì che si crei un equilibrio con strategia dominante: A sceglie Basso, B sceglie Sinistra. Nell equilibrio, i payoff per A e B saranno, rispettivamente, 2 e (casella in basso a sinistra).

2 Esercizio 2 A \ B Sinistra Destra Alto 2, 0, 0 Basso 0, 0, Si consideri che: * quando B sceglie sinistra, A sceglie alto: il payoff per i due giocatori è (2, ); * quando B sceglie destra, A sceglie basso: il payoff per i due giocatori è (, 2); * quando A sceglie alto, B sceglie sinistra: il payoff per i due giocatori è (2, ); * quando A sceglie basso, B sceglie destra: il payoff per i due giocatori è (, 2). Dunque, nessuno dei due giocatori ha una strategia dominante: la scelta di ciascuno dipende da quello che ritiene farà l altro giocatore Senza ulteriori specificazioni, possiamo dire che il gioco ha due equilibri di Nash: * casella in alto a sinistra, payoff (2, ); * casella in basso a destra, payoff (, 2). La scelta di A è ottima data la scelta di B e, viceversa, la scelta di B è ottima data la scelta di A. Esercizio Una strategia dominata è una strategia con pay-off inferiore rispetto alle altre strategie possibili. È la scelta peggiore rispetto a quelle alternative e, quindi, può essere scartata dall'agente razionale. In altre parole, si tratta di una strategia perdente qualsiasi cosa faccia la controparte. Nel nostro caso: \ 2 S2 C2 D2 S 4, 2 0, 0, C 3, 4, 0 2, D 2, 3 2, 2 0, 0 Per il giocatore la strategia D è sempre sconveniente: qualsiasi cosa faccia l agente 2, la strategia D dà sempre un payoff più basso rispetto alle strategie S e C e non verrà perciò mai scelta (D è strettamente dominata dalle strategie S e C). Per il giocatore 2 la strategia D2 è sempre sconveniente: qualsiasi cosa faccia l agente, la strategia D2 dà sempre un payoff più basso rispetto alle strategie S2 o C2. Eliminando le strategie dominate la matrice diventa: \ 2 S2 C2 S 4, 2 0, 0 C 3, 4, 0 Una coppia di strategie è un equilibrio di Nash se la scelta del giocatore è ottima data la scelta del giocatore 2 e, al tempo stesso, la scelta del giocatore 2 è ottima data la scelta del giocatore. 2

3 In questo caso, non esiste un equilibrio di Nash in strategie pure. Infatti: se il giocatore sceglie la strategia S, il giocatore 2 sceglierà C2; se il giocatore sceglie C, il giocatore 2 sceglierà S2; se il giocatore 2 sceglie S2, il giocatore sceglierà S; se il giocatore 2 sceglie C2, il giocatore sceglierà C Per costruire le funzioni di risposta ottima poniamo che: sia p la probabilità che il giocatore giochi S. Allora, ( p) è la probabilità che lo stesso giocatore giochi C; sia q la probabilità che il giocatore 2 giochi S2. Allora, ( q) è la probabilità che lo stesso giocatore 2 giochi C2. Ora, bisogna considerare il payoff atteso dal giocatore in relazione alla strategia S: 4 q + ( q) 0 = 4q Che si interpreta in questo modo: il giocatore può ottenere dalla strategia S il payoff 4 o il payoff 0; in particolare, il giocatore otterrà 4 con probabilità q (è la probabilità che il giocatore 2 giochi S2); il giocatore otterrà 0 con probabilità q (è la probabilità che il giocatore 2 giochi C2). Con un ragionamento analogo si determina il profitto atteso dal giocatore in relazione alla strategia C: 3 q + ( q) 4 = 4 q E, ripetendo il procedimento considerando il giocatore 2, il payoff atteso dalla strategia S2 è ( ): 2 p + ( p) = 3p il payoff atteso dalla strategia C2 è: 0 p + ( p) 0 = 0 Ora si tratta di determinare la funzione di risposta ottima di, R(q) che sarà: I) se q > 4/5, allora p = Questo risultato si ottiene considerando che: se 4q > 4 q, allora p = Cioè, svolgendo i calcoli: 4q > 4 q q > 4/5, Ovvero, se la probabilità q con cui il giocatore 2 gioca S2 è maggiore di 4/5, allora al giocatore conviene sempre giocare S (quindi, p = ): il payoff associato a S è maggiore di quello associato a C e a qualsiasi strategia mista che assegni una qualche probabilità positiva a C. II) se q < 4/5, allora p = 0 Si interpreta in questo modo: il giocatore 2 può ottenere dalla strategia S2 il payoff 2 o il payoff ; in particolare, il giocatore 2 otterrà 2 con probabilità p (è la probabilità che il giocatore giochi S); il giocatore 2 otterrà con probabilità p (è la probabilità che il giocatore giochi C). 3

4 Ovvero, se la probabilità q con cui il giocatore 2 gioca S2 è minore di 4/5, allora al giocatore non conviene giocare S (quindi, p = 0). III) se q = 4/5, allora p [0, ] Ossia, se q = 4/5 allora tutto le strategie, pure e miste p [0, ], danno il medesimo payoff. La funzione di risposta ottima del d giocatore 2, R2(p), sarà: I) se p < /3,, allora q = Risultato che si ottiene considerando che se 3p > 0 allora q = II) se p > /3,, allora q = 0 III) se p = /3,, allora q [0, ] In particolare, se p < /3, allora q = significa: se la probabilità p con cui il giocatore gioca S è minore di /3, allora al giocatore 2 conviene giocare S2 (quindi, q = ). Graficamente: Dal grafico si nota che non esistono equilibri di Nash in strategie pure (ossia, equilibri in cui q e p sono uguali a 0 o a ) ma solo in strategie miste. L equilibrio di Nash in strategie miste: il giocatore gioca con distribuzione di probabilità (/3, 2/3): cioè, il giocatore giocherà S con probabilità p = /3 e C con probabilità p = 2/3; il giocatore 2 gioca con distribuzione di probabilità (4/5, /5): cioè, il giocatore 2 giocherà S2 con probabilità q = 4/5 e C2 con probabilità q = / Albero del gioco in forma estesa: 4

5 Per analizzare il gioco occorre cominciare dalla fine e andare a ritroso: supponiamo cioè che il giocatore abbia già fatto la sua scelta: se ha scelto la strategia S, allora il giocatore 2 sceglie la strategia C2: il payoff è (0, 0); se ha scelto la strategia C, allora il giocatore 2 sceglie la strategia S2: il payoff è (3, ); se ha scelto la strategia D, allora il giocatore 2 sceglie la strategia S2: il payoff è (2, 3). Ora, si consideri la scelta iniziale di, in base a quanto visto relativamente al giocatore 2: se sceglie S, allora il risultato sarà (0, 0) e il suo payoff sarà quindi 0; se sceglie C, allora il risultato sarà (3, ) e il suo payoff sarà quindi 3; se sceglie D, allora il risultato sarà (2, 3) e il suo payoff sarà quindi 2. Di conseguenza, al giocatore conviene scegliere la strategia C, così da ottenere il payoff uguale a 3. In definitiva, l equilibrio sarà dato dalle strategie (C, S2) a cui corrisponde il payoff (3, ). Esercizio La situazione è la seguente. il giocatore (impresa) deve decidere se entrare sul mercato o meno; se l impresa entra, il suo payoff dipende dall eventualità che l impresa 2 la contrasti o meno. In particolare, se l impresa ha scelto di non entrare (strategia N) il gioco termina e il payoff per i due giocatori è (0, 8). Se, al contrario, l impresa ha scelto di entrare (strategia E), allora la risposta dell impresa 2 è accomodare (A2) e il payoff è (3, 3). 5

6 Il giocatore muove per primo e ha convenienza ad entrare (E): in risposta, l incumbent accomoda (A2). Considerando che il giocatore sceglie per primo, l equilibrio (0, 8) non è plausibile: perciò, la minaccia dell incumbent non è reale Nuovo albero del gioco: Ora la minaccia di reazione dell incumbent (giocatore 2) è credibile: se lo sfidante sceglie di entrare (E) al giocatore 2, già presente sul mercato, converrà contrastare (C2): l incumbent ottiene infatti 3 se accomoda, 4 se contrasta: il payoff legato alla strategia del contrasto è più alto. Lo sfidante considera che, in questa nuova situazione, ha convenienza a non entrare: scegliendo N ottiene infatti 0, mentre scegliendo E subirebbe la reazione dell incumbent (payoff 2) \ 2 A2 C2 N 0, 8 0, 8 E 3, 3 2, 0 Sia p la probabilità che il giocatore giochi N e sia q la probabilità che il giocatore 2 giochi A2: se 0 +0 >3 2 p = ossia se 0 >3 2+2 p = 2 >5 p = < p = Allora, R(q) è: p = per q < 2/5 p = 0 per q > 2/5 p [0, ] per q = 2/5 se 8 +3 >8 0 q = ossia se >8 q = Se < q = Allora, R2(p) è: q = per p < q [0, ] per p = 6

7 R2(p) è commentabile nel modo seguente: l incumbent accomoda (cioè q = ) se c è una qualche probabilità positiva (p <, in quanto p è la probabilità che il giocatore giochi N) che lo sfidante entri (ossia, che il giocatore scelga E); qualsiasi strategia q [0, ] dà all incumbent il medesimo payoff se lo sfidante non entra (probabilità di entrata uguale a 0 poiché p, che è la probabilità di giocare N, è uguale a ). Equilibri di Nash (cfr. punti di intersezione nel grafico): (p, q) = 0,,,0 (strategie pure) L equilibrio in strategie miste:, +, < 2 5 Si veda infatti il grafico: nel tratto dove i segmenti rosso e verde si sovrappongono, p (la probabilità che il giocatore giochi N) è uguale a mentre q (la probabilità che il giocatore 2 giochi A2) è inferiore a 2/5. Esercizio Per il giocatore la strategia B è sempre sconveniente: qualsiasi cosa faccia l agente 2, la strategia B dà sempre un payoff più basso rispetto alle strategie A e C (B è strettamente dominata dalle strategie A e C). Dunque si può scrivere: \ 2 A2 B2 A 4, 4 0, 2 C 2, 6, 2 Ora si determinano i payoff attesi, ponendo che p sia la probabilità con cui il giocatore gioca A e che q sia la probabilità con cui il giocatore 2 gioca A2. Giocatore. Payoff atteso dalla strategia A q 4 + ( q) 0 = 4 q Payoff atteso dalla strategia C q 2 + ( q) 6 = 6 4 q 7

8 Giocatore 2. Payoff atteso dalla strategia A2 : p 4 + ( p) ( ) = 5p Payoff atteso dalla strategia B2 ( 2 ): p 2 + ( p) 2 = 2 Funzione di reazione del giocatore, R(q): I) se 4q > 6 4q, allora p = Che risolvendo la disequazione diventa: se q > 3/4, allora p = Ovvero, se la probabilità q con cui il giocatore 2 gioca A2 è maggiore di 3/4, allora al giocatore conviene giocare A (quindi, p = ). II) se q < 3/4, allora p = 0 Ovvero, se la probabilità q con cui il giocatore 2 gioca A2 è minore di 3/4, allora al giocatore conviene giocare C (quindi, p = 0). III) se q = 3/4,, allora q [0, ] Funzione di reazione del giocatore 2, R2(p): I) se 5p > 2, allora q = Che risolvendo la disequazione diventa: se p > 3/5,, allora q = II) se p < 3/5,, allora q = 0 III) II) se p = 3/5,, allora q [0, ] 5.2. Graficamente, le funzioni di reazione: Equilibri di Nash (strategie pure, cfr. punti di intersezione sul grafico): (p, q) = 0,0,, payoff corrispondenti: 2 Ovviamente, il payoff atteso è 2 poiché la strategia B2, qualsiasi sia il corso d azione scelto da A, dà come risultato 2. 8

9 [(6, 2), (4, 4)] Equilibri di Nash (strategie miste): se il giocatore gioca A con probabilità 3/5 e C con probabilità 2/5 e il giocatore 2 gioca A2 con probabilità ¾ e B2 con probabilità /4, allora si ottiene un equilibrio di Nash. Formalmente:,,, Giocatore, payoff atteso in equilibrio (strategie miste): = 3 Giocatore 2, payoff atteso in equilibrio (strategie miste): = Albero del gioco in forma estesa: Per analizzare il gioco occorre procedere a ritroso, supponendo cioè che il giocatore abbia già fatto la sua scelta: se ha scelto la strategia A, allora il giocatore 2 sceglie la strategia A2: il payoff è (4, 4); se ha scelto la strategia B, allora il giocatore 2 sceglie la strategia A2: il payoff è (, 6); se ha scelto la strategia C, allora il giocatore 2 sceglie la strategia B2: il payoff è (6, 2). Ora, si consideri la scelta iniziale di, in base a quanto visto relativamente al giocatore 2: se sceglie A, allora il risultato sarà (4, 4) e il suo payoff sarà quindi 4; se sceglie B, allora il risultato sarà (, 6) e il suo payoff sarà quindi ; se sceglie C, allora il risultato sarà (6, 2) e il suo payoff sarà quindi 6. Di conseguenza, al giocatore conviene scegliere la strategia C, così da ottenere 6. In definitiva, l equilibrio sarà dato dalle strategie (C, B2) a cui corrisponde il payoff (6, 2). 9