= 1. Dall equazione 8.4. z = z = 4 3

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1 Esercizio 8.1 L equazione 8. definisce che il prezzo di vendita del prodotto è dato dal prodotto tra mark-up e costo marginale nel caso del duopolio. Nel caso dell esercizio, possiamo agevolmente calcolare il mark-up (z, definito nell equazione 8.4) in quanto conosciamo sia il valore dell elasticità della domanda al prezzo in valore assoluto (η = 2), sia la relazione tra variazione ( ) della produzione totale e variazione della produzione della singola impresa; dy dyi = 1. Dall equazione 8.4 z = z = 4 dato che il costo marginale dell impresa è costante e pari a, avremo (dall equazione 8.): p = z c p = 4 = 4 Il prezzo di vendita del prodotto sarà pari a 4. 1

2 Esercizio 8.2 Mettiamoci nei panni dell imprenditore dell impresa 1. Secondo le ipotesi di Cournot, questo imprenditore considera la quantità prodotta dall impresa 2 come esogena. La funzione di domanda di mercato per l impresa 1 è allora data da: p = 100 2(y 1 + y 2 ) p = 100 2y 2 2y 1 quindi il ricavo marginale dell impresa 1 è dato da: MR 1 = 100 2y 2 4y 1 Il costo marginale dell impresa 1 è pari a 25. Quindi: 100 2y 2 4y 1 = 25 da cui: y 1 = y 2 che rappresenta la funzione di reazione dell impresa 1, e ci dice quanto è ottimale produrre per l impresa 1 per ogni dato livello di produzione dell impresa 2 Mettiamoci nei panni dell impresa 2. La funzione di domanda per l impresa 2 (che considera esogenamente data la quantità prodotta dall impresa 1), sarà data da: p = 100 2(y 2 + y 1 ) p = 100 2y 1 2y 2 quindi il ricavo marginale dell impresa 2 è dato da: MR 2 = 100 2y 1 4y 2 Il costo marginale dell impresa 1 è pari a 25. Quindi: da cui: 100 2y 1 4y 2 = 25 y 2 = y 1 che rappresenta la funzione di reazione dell impresa 2. Visto che le due imprese hanno gli stessi costi marginali, essa deve essere simmetrica rispetto quella dell impresa 1. L equilibrio nel mercato si raggiunge quando y 1 = y 1 e y 2 = y 2, quando cioè le aspettative di una impresa sulla quantità prodotta da parte dell altra coincidono con la produzione ottimale dell altra. Il sistema tra le funzioni di reazione delle due imprese da luogo a: { y 1 = y 2 y 2 = y 1 sostituendo la seconda equazione nella prima, otteniamo: y 1 = [ ] 2 y 1 4 y 1 = y 1 = 25 2

3 Sostituendo questo risultato nella seconda equazione del sistema, otteniamo: y 2 = Le imprese producono quindi la stessa quantità. Data la curva di domanda, otteniamo il prezzo di vendita del bene: ( 25 p = ) = 50 2 Il profitto di ognuna delle due imprese sarà allora: π i = = 12.5 i = 1,2 Se i due imprenditori colludessero, allora si comporterebbero come un unico monopolista e sceglierebbero la quantità che rende uguale il ricavo marginale relativo all intero mercato e il costo marginale. Il ricavo marginale è dato da: MR = 100 4Y e i costo marginale è 25 per ambedue le imprese: 100 4Y = 25 Y = 75 4 pertanto il prezzo sarebbe: p = = Assumendo che le due imprese si dividano a metà l intera produzione, vale y 1 = y 2 = Y 2 = Il profitto di ognuna delle due imprese sarà allora: π i = = 5625 = 51.5 i = 1,2 16 Pertanto, l incremento di profitto ottenuto grazie alla collusione è pari a: = 9, per ognuna delle due imprese. Si consideri la tabella 8.1 a pagina 58. La tabella sintetizza il prezzo, il livello di produzione e il profitto di ognuna delle due imprese nella situazione di equilibrio. La tabella è valida se la funzione di domanda di mercato è lineare e se la funzione di costo marginale è lineare. Queste due ipotesi risultano verificate nel caso dell esercizio dove: a = 100 b = 2 c = 25 a+2c Dalla tabella 8.1 sappiamo che, in Cournot, il prezzo risulta essere pari a: = = 50, la produzione di equilibrio pari a: a c b = = 25, i profitti pari a: (a c) 2 8b = (100 25)2 18 = = Otteniamo quindi gli stessi risultati. Dalla tabella 8.1 sappiamo che, in collusione, il prezzo risulta essere pari a: a+c = 62.5, la produzione di equilibrio pari a: a c 4b = (100 25)2 16 = = (a c) 2 8b = = =, i profitti pari a:

4 Questo secondo procedimento ci porta ovviamente ad ottenere gli stessi risultati, ma con passaggi analitici molto più rapidi e semplici. Si noti però che la tabella 8.1 generalizza risultati che sono validi solo se la funzione di domanda di mercato è lineare e se la funzione di costo marginale è lineare. 4

5 Esercizio 8. Il testo dell esercizio presenta una funzione di domanda lineare e funzioni di costo marginale uguali per le due imprese e caratterizzate da costo marginale costante. Pertanto, possiamo calcolare prezzo e quantità prodotte da ognuna delle due imprese in equilibrio semplicemente utilizzando i risultati della tabella 8.1 (vedi anche esercizio precedente). Ricordando che, nella tabella 8.1, a rappresenta l intercetta della funzione inversa di domanda, b la pendenza della funzione di domanda in valore assoluto, c il costo marginale costante, abbiamo che: a = 110 b = 1 c = 20 Avremo che: y i = a c b y i = = 0 i = 1,2 p = a + 2c p = = 50 5

6 Esercizio 8.4 Il testo dell esercizio ci propone una situazione in cui due Comuni limitrofi devono decidere il livello degli scarichi industriali, nell ipotesi che il benessere dei cittadini dipenda negativamente sia dagli scarichi del comune in cui abita che dagli scarichi dell altro comune, ma dipenda positivamente dagli scarichi del comune in cui si abita (più si scarica, più si produce..). Gli amministratori di ognuno dei due comuni vorrebbero che l altro comune effettuasse la minore quantità di scarichi possibile. Se il comune di Falconara assume come data la quantità di scarichi del comune di Ancona, si trova di fronte alla seguente funzione di benessere sociale: B(S F,S A ) = 4 S F S A S 2 F la massimizzazione del benessere si ottiene ponendo la derivata prima della funzione di benessere uguale a zero: 4 S A 2S F = 0 pertanto, la scelta ottimale di S F è data da: S F = 2 S A che rappresenta la funzione di reazione del comune di Falconara. Ci dice che, tanto più gli scarichi prodotti dalla città di Ancona sono alti, tanto più, per Falconara, sarà opportuno ridurre i propri scarichi (e quindi la propria attività produttiva) 6

7 Esercizio 8.5 Il costo marginale delle due imprese è crescente, il costo medio presenta invece un minimo. Il modello di Bertrand prevede che la guerra sui prezzi tra le due imprese porti le imprese a fissare prezzi pari al minimo di costo medio. Il costo medio (AC = TC y )è dato da: AC = y + 16 y La sua derivata posta uguale a zero ci permette di calcolare il livello di y cui corrisponde il costo medio minimo: 1 16 y 2 = 0 y = 4 Per y = 4, otteniamo che AC = 8. Quindi ogni impresa produrra 4 e il prezzo di mercato sarà pari a 8. 7

8 Esercizio 8.6 Per far si che l equilibrio Non colludere- Non colludere sia un equilibrio di Nash occorre che il principio del maximin sia rispettato, oppure che la strategia Colludere sia una strategia dominata per ambedue le imprese. Una strategia è dominata se Non colludere permette di ottenere sempre profitti più alti (indipendentemente da cosa giochi l altra impresa). Nel caso dell tabella dell esercizio, la strategia colludere è dominata se vale: Supponiamo ad esempio: A Colludere Non Colludere Colludere π A = 24 π A => 24 B π B = 24 π B =< 18 Non Colludere π A =< 18 π A = 18 π B => 24 π B = 18 A Colludere Non Colludere Colludere π A = 24 π A = 25 B π B = 24 π B = 17 Non Colludere π A = 17 π A = 18 π B = 25 π B = 18 dove i valori di 17 e 25 sono stati scelti in modo del tutto arbitrario, poiché va bene prendere qualunque valore inferiore a 18 e maggiore di 25, come indicato nella prima matrice dei payoff. Data questa matrice dei payoff, per ambedue le imprese la strategia colludere è dominata. Quindi ambedue giocheranno non colludere. Se si volessero inserire le frecce come nelle matrici di payoff presentate nel testo, esse sarebbero tutte o verso il basso o verso destra, individuando un unico equilibrio di Nash per la strategia Non colludere - Non colludere. Si noti che l equilibrio di Nash non è Pareto efficiente, perchè ambedue le imprese otterrebbero payoff più alti se colludessero. 8

9 Esercizio 8.7 L esercizio richiede che il giocatore A abbia una strategia dominante. Dato che se B gioca la strategia 1 il giocatore A ottiene un payoff maggiore se gioca la strategia 2, solo la strategia 1 di A può essere dominata; questo accade se il payoff di A nella cella mancante è superiore al payoff che A otterrebbe giocando la strategia 1 quando B gioca la strategia 2, cioè se è superiore a 15. A Strategia 1 Strategia 2 Strategia 1 π A = 10 π A = 200 B π B = 20 π B = 5 Strategia 2 π A = 15 π A => 15 π B = 10 π B =... Infatti, per qualunque payoff superiore a 15, A giocherà sempre la strategia 2. Per far si che l equilibrio Strategia 2 - Strategia 2 sia un equilibrio di Nash, occorre che B, che sa che per A è sempre razionale giocare la strategia 2, ottenga un payoff più elevato giocando la strategia 2 che non la 1. Cioè, è sufficiente che il payoff che B ottiene giocando 2 sia maggiore di 5 (che è il payoff che B ottiene giocando 1 quando A gioca 2): A Strategia 1 Strategia 2 Strategia 1 π A = 10 π A = 200 B π B = 20 π B = 5 Strategia 2 π A = 15 π A => 15 π B = 10 π B => 5 Per esempio, una matrice dei payoff come quella seguente risponde alle richieste dell esercizio: A Strategia 1 Strategia 2 Strategia 1 π A = 10 π A = 200 B π B = 20 π B = 5 Strategia 2 π A = 15 π A = 16 π B = 10 π B = 6 9

10 Esercizio 8.8 Per Tizio la strategia Attacco è una strategia dominante (indipendentemente dalla giocata dell altro, Tizio ottiene payoff più elevati se attacca). La stessa cosa vale per Caio (attaccando ottiene sempre payoff pari a 00, sempre maggiori di quelli che otterrebbe difendosi, pari a 100 oppure a 0). Quindi ambedue gli agenti giocheranno la strategia Attacco, che rappresenta l equilibrio di Nash. Se si sviluppa l esercizio basandosi sulla metodologia delle frecce (si individua cioè il maximin), si ottiene lo stesso risultato. 10

11 Esercizio 8.9 Dal testo emerge chiaramente che il profitto di ognuna delle due imprese dipende dal proprio comportamento (fare o no pubblicità) ma anche dal comportamento del rivale. Per poter risolvere l esercizio dovremmo calcolare i profitti attesi della Sony e della Philips nei 4 casi possibili, indicati nella matrice dei payoff seguente: Phillips No pubblicità Pubblicità No Pubblicità π Phi = π Phi = Sony π Sony = π Sony = Pubblicità π Phi = π Phi = π Sony = π Sony = Iniziamo dal caso in cui nessuna delle due imprese faccia pubblicità. Conosciamo sia il prezzo di vendita del televisore, uguale per le due imprese e pari a 1500 euro che il costo unitario di produzione pari a 1400 (l utile per televisore venduto è di 100 euro per ambedue le imprese). Sappiamo inoltre che in assenza di pubblicità già che in questa situazione ogni impresa avrà un volume di vendite pari alla metà dell intero mercato La funzione di domanda aggregata, calcolata per p = 1500, ci dice che Y = Quindi, in assenza di pubblicità, ognuna delle due imprese venderà televisori è guadagnera = Di conseguenza sappiamo che: Phillips No pubblicità Pubblicità No Pubblicità π Phi = π Phi = Sony π Sony = π Sony = Pubblicità π Phi = π Phi = π Sony = π Sony = Consideriamo adesso il caso in cui ambedue facciano la pubblicità. Rispetto al caso precedente, le imprese si divederanno ancora a metà il mercato, venderanno al prezzo di 1500, ma guadagneranno quanto guadagnavano prima al netto delle spese sostenute per la campagna pubblicitara, pari a Pertanto possiamo aggiungere alla matrice dei payoff questo risultato: Phillips No pubblicità Pubblicità No Pubblicità π Phi = π Phi = Sony π Sony = π Sony = Pubblicità π Phi = π Phi = π Sony = π Sony = Consideriamo adesso la situazione in cui una impresa fa pubblicità e l altra non la fa (non è rilevante quale sia a farla, perché l equilibrio è simmetrico). Il testo dell esercizio ci dice che l impresa che fa pubblicità ottiene i 4 dell intero mercato se l altra 11

12 impresa non la fa. Dato che al prezzo di 1500 la domanda totale è pari a televisori, l impresa che fa pubblicità venderà televisori, l impresa che non la fa ne venderà I profitti dell impresa che fa pubblicità saranno allora dati dal profitto unitario per la quantità venduta meno i costi della campagna pubblicitaria: = I profitti dell impresa che non fa pubblicità sono dati dal profitto unitario moltiplicato per la quantità venduta: = Questi risultati sono riportati nella matrice dei payoff seguente, che adesso è completa di tutte le informazioni. Phillips No pubblicità Pubblicità No Pubblicità π Phi = π Phi = Sony π Sony = π Sony = Pubblicità π Phi = π Phi = π Sony = π Sony = Abbiamo pertanto ottenuto la matrice dei payoff completa. A questo punto, è evidente che la strategia No pubblicità è dominata per ambedue le imprese, e quindi ambedue le imprese faranno pubblicità. Si noti che la strategia Pubblicità, che rappresenta l equilibrio di Nash, è però un equilibrio non Pareto-efficiente: ambedue le imprese otterrebbero payoff più alti senza fare pubblicità, ma ognuna delle due sa che non facendo pubblicità perderebbe quote di mercato perché l altra impresa avrebbe interesse a fare la campagna pubblicitaria. 12