ECONOMIA APPLICATA ALL INGEGNERIA (Docente: Prof. Ing. Donato Morea)

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1 ESERCIZIO n. 1 - La produzione ed i costi di produzione (1 ) Un impresa utilizza una tecnologia descritta dalla seguente funzione di produzione: I prezzi dei fattori lavoro e capitale sono, rispettivamente, e. Nel breve periodo, la dotazione di capitale è fissa e pari a. a) Determinare l espressione delle curve di costo totale, medio e marginale di breve periodo. b) Determinare la domanda di lavoro nel breve periodo. c) Determinare la combinazione ottima di fattori nel caso in cui si voglia produrre una quantità pari a 100. d) Dimostrare che la stessa scelta ottimale dei fattori può essere ottenuta risolvendo il problema duale di massimizzazione dell output sotto un vincolo di costo, imponendo che l impresa possa sostenere una spesa massima per l acquisto dei fattori pari a e) Determinare l espressione delle curve di costo totale, medio e marginale di lungo periodo. Soluzione a) Determiniamo, tramite la funzione di produzione, l impiego del fattore lavoro in funzione della quantità prodotta, tenendo presente che, nel breve periodo, il capitale è fisso: Quindi, il costo totale di breve periodo è: 1

2 Il costo medio e marginale di breve periodo sono, rispettivamente: b) Per determinare la domanda ottimale di lavoro di breve periodo, occorre impostare la massimizzazione del profitto: Dalla massimizzazione del profitto rispetto al lavoro, si ottiene: Questa è, appunto, la funzione di domanda di lavoro in funzione del prezzo. 2

3 c) La scelta ottimale dell impresa si determina individuando l isocosto più vicino all origine tangente all isoquanto che corrisponde ad una quantità pari a 100. Quindi, occorre risolvere il seguente sistema: in cui, la prima equazione esprime l uguaglianza tra saggio marginale di sostituzione tecnica livello di produzione sia pari a 100. ed il rapporto tra i prezzi dei fattori e la seconda impone che il Dalla prima equazione si ottiene, che, sostituita nella seconda, dà: da cui si ottiene e. I costi totali sostenuti dall impresa sono pari a: d) La stessa scelta ottimale dei fattori può essere ottenuta risolvendo il problema duale di massimizzazione dell output sotto un vincolo di costo, imponendo che l impresa possa sostenere una spesa massima per l acquisto dei fattori pari a Il sistema da risolvere, in questo caso, è: 3

4 da cui si ottiene e. e) Per determinare le curve di costo di lungo periodo, occorre, innanzitutto, determinare come si modifica la domanda ottimale di lavoro e capitale (che nel lungo periodo non è più un input fisso) in funzione del livello di produzione. Riscriviamo, quindi, il sistema utilizzato nel punto c) lasciando, però, indicato come q un generico livello di output. da cui ricaviamo le domande ottimali di K e L in funzione di q: La curva di costo totale di lungo periodo è, quindi: 4

5 Nel lungo periodo,. ESERCIZIO n. 2 - I costi di produzione (2 ) Si consideri un impresa con la seguente funzione di produzione: I prezzi di mercato dei fattori sono ed ed il saggio marginale di sostituzione tecnica, calcolato come rapporto tra la produttività marginale del capitale e la produttività marginale del lavoro, è: a) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di breve periodo, supponendo che nel breve periodo l impresa sia vincolata ad utilizzare una quantità di lavoro. b) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di lungo periodo. Soluzione a) Se il fattore di produzione lavoro è fisso nel breve periodo, la funzione di produzione diventa: Quindi, la domanda dell input variabile K in funzione dell output è : 5

6 Il costo totale di breve periodo è, quindi: Questo è il costo economico per l impresa, ovvero il costo per l acquisto dei fattori variabili nel breve periodo (in questo caso il capitale). La spesa totale nei fattori comprende invece anche il costo per il fattore che nel breve periodo è fisso per l impresa (il lavoro), ma che non rientra nei costi economici in quanto il fattore fisso non ha un impiego alternativo (e quindi un costo opportunità) nel breve periodo. Il costo marginale ed il costo medio di breve periodo sono: b) Nel lungo periodo, tutti gli input sono variabili, quindi, per ricavare la funzione di costo di lungo periodo, occorre determinare prima le funzioni di domanda di entrambi i fattori in funzione dell output: Quindi, dato che, il sistema diventa: 6

7 da cui si ricava che le funzioni di domanda dei due fattori in funzione del livello di produzione sono: Quindi, la funzione di costo di lungo periodo è: I costi marginali e medi associati a questa funzione di costo di lungo periodo sono: 7

8 Il fatto che i costi medi di lungo periodo sono costanti indica che la funzione di produzione in oggetto ha rendimenti di scala costanti. ESERCIZIO n. 3 - Rendimenti di scala Determinare i rendimenti di scala delle seguenti funzioni di produzione: a) b) c) Soluzione I rendimenti di scala indicano come varia il livello di produzione a seguito di una variazione equiproporzionale di tutti gli input. Vediamo, quindi, come varia q se facciamo variare entrambi i fattori nella proporzione. a) 8

9 Quindi questa funzione ha rendimenti di scala costanti, perché moltiplicando entrambi i fattori per si ottiene esattamente volte il livello di produzione iniziale. b) Poiché è inferiore a 1, la funzione presenta rendimenti di scala decrescenti: ad un aumento equiproporzionale degli input, corrisponde un aumento meno che proporzionale dell output. c) Questa funzione di produzione ha rendimenti costanti. ESERCIZIO n. 4 - La combinazione efficiente dei fattori produttivi (minimizzazione del costo di produzione) La tecnologia di un impresa è caratterizzata dalla seguente funzione di produzione: a) Calcolare i rendimenti di scala. b) Dati i prezzi dei fattori ω1= 3 e ω2=4, calcolare la combinazione dei fattori che consente di ottenere un livello di produzione q=6 al minimo costo di produzione. 9

10 c) Determinare come cambia la combinazione efficiente dei fattori quando il prezzo del fattore x1 raddoppia. d) Determinare come cambia la combinazione ottimale dei fattori se l impresa vuole raddoppiare la produzione (ai prezzi dei fattori iniziali). e) Determinare la domanda di ciascun fattore in funzione dell output. f) Determinare la curva dei costi totali di lungo periodo. g) Determinare la curva dei costi totali di breve periodo, quando la disponibilità fissa del fattore x2 è pari a 1. Soluzione a) Per calcolare i rendimenti di scala, moltiplichiamo ciascun fattore produttivo per λ nella funzione di produzione: Quindi questa funzione ha rendimenti di scala crescenti. b) La combinazione ottimale dei fattori che consente di produrre una quantità di output pari a 6 è determinata nel punto di tangenza tra l isoquanto corrispondente alla quantità di 6 e la retta di isocosto più bassa possibile (corrispondente alla spesa per i fattori più bassa possibile). Quindi, occorre porre a sistema un equazione che impone la tangenza tra isoquanto e isocosto e un altra equazione che assicura che tale tangenza avvenga in corrispondenza dell isoquanto : 10

11 La prima equazione impone l uguaglianza tra la pendenza dell isoquanto (rappresentata dal saggio marginale di sostituzione tecnica) e la pendenza dell isocosto (pari al rapporto tra i prezzi di mercato dei fattori). Il saggio marginale di sostituzione tecnica tra i fattori è dato dal rapporto tra la produttività marginale del fattore x1 e la produttività marginale del fattore x2, ovvero: Il sistema diviene, quindi: Sostituendo la prima equazione nella seconda, si ottiene che la combinazione economicamente efficiente dei fattori è: c) Se il prezzo del fattore x1 raddoppia, il sistema da impostare è il seguente: 11

12 da cui si ottiene che la nuova combinazione efficiente dei fattori è: d) Per determinare la combinazione ottimale dei fattori che consente di ottenere la quantità di produzione pari a 12 ai prezzi dei fattori iniziali, occorre impostare il sistema seguente: che dà soluzione: e) Per determinare la domanda dei fattori al variare della quantità di produzione che l impresa desidera ottenere, occorre impostare il sistema iniziale senza specificare un determinato livello di produzione, ma indicando la quantità prodotta con un generico q, ovvero: da cui si ottengono le domande dei fattori in funzione della quantità prodotta: 12

13 f) Per ricavare la curva dei costi totali di lungo periodo, utilizziamo le funzioni di domanda degli input in funzione dell output, e, quindi, la funzione di costo di lungo periodo per questa impresa è: A questa funzione di costo totale, corrisponde una funzione di costo medio pari a: ed una funzione di costo marginale pari a: Si noti che la funzione di costo medio di lungo periodo è decrescente (infatti la derivata prima del costo medio rispetto alla quantità prodotta è ), infatti la funzione di produzione presenta rendimenti di scala crescenti. 13

14 g) Quando la quantità dell input x2 è fissa e pari a 1 (breve periodo), la funzione di produzione per l impresa è: per cui, la domanda per il fattore in funzione del livello di produzione è: Quindi, la funzione di costo di breve periodo per l impresa è: Si noti che questa espressione rappresenta il costo economico per l impresa, mentre in realtà l impresa sostiene anche un costo contabile per il fattore fisso, che non rientra tuttavia nel novero dei costi economici in quanto, poiché il fattore fisso non ha un utilizzo alternativo nel breve periodo, non rappresenta un costo opportunità per l impresa. ESERCIZIO n. 5 - Concorrenza perfetta In un mercato perfettamente concorrenziale, operano, nel breve periodo, 50 imprese identiche caratterizzate dalla seguente funzione di produzione: con e il prezzo dei fattori K e L dato da e, rispettivamente. 14

15 La funzione di domanda di mercato è:. Determinare: a) l offerta di breve periodo dell impresa e del mercato; b) il prezzo e la quantità di equilibrio del mercato, nonché la quantità prodotta e il profitto realizzato dalla singola impresa nel breve periodo; c) il prezzo e la quantità di equilibrio e il numero delle imprese operanti nel mercato nel lungo periodo. Soluzione a) Per ricavare la funzione di offerta della singola impresa occorre innanzitutto determinare la curva di costo di breve periodo di ciascuna impresa. Per fare ciò, sostituiamo il valore fisso di K nella funzione di produzione: Quindi, la funzione di domanda dell input lavoro in funzione della quantità prodotta è: La funzione di costo di breve periodo è: Si noti che tale funzione non include il costo per il capitale, poiché nel breve periodo tale costo, essendo appunto fisso, non entra nel novero dei costi economici, ma piuttosto dei costi contabili. 15

16 Quindi, la funzione di costo marginale di breve periodo è: La condizione di massimizzazione dei profitti richiede nel breve periodo che, ovvero: Quindi, la curva di offerta di breve periodo dell impresa i è: Moltiplicando per il numero delle imprese presenti sul mercato nel breve periodo, otteniamo la curva di offerta aggregata: b) Per trovare l equilibrio di mercato, uguagliamo domanda e offerta di breve periodo: da cui si ottiene e, mentre la quantità prodotta da ciascuna impresa è ed i relativi profitti sono:.8 16

17 c) Poiché nel breve periodo le imprese presenti sul mercato hanno un profitto positivo, nel lungo periodo nuove imprese decideranno di entrare sul mercato finché i profitti non si annulleranno, ovvero finché il prezzo non sarà uguale al costo medio minimo di lungo periodo (questo perché deve valere anche la condizione che il prezzo sia uguale al costo marginale, ma implica che il prezzo sia uguale al costo medio minimo, poiché il costo marginale interseca la curva di costo medio nel suo punto di minimo). Supponiamo che la funzione di costo di lungo periodo sia uguale a quella di breve periodo, ovvero: Quindi, la funzione di costo medio è: Per trovare il punto di minimo di tale curva di costo medio, uguagliamo a zero la derivata prima rispetto a q: da cui si ottiene a cui corrisponde, sostituendo nella funzione di offerta,. Per ricavare il numero delle imprese presenti sul mercato nel lungo periodo, determiniamo la quantità della domanda: 17

18 In equilibrio, deve valere l uguaglianza tra quantità domandata e quantità offerta, ovvero: dove è il numero di imprese che vogliamo determinare. Sostituiamo, quindi, il valore di : da cui si ottiene che: 18