L Analisi Marginale ed il problema della produzione

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1 L Analisi Marginale ed il problema della produzione Massimo Paolucci DIST Università di Genova Il problema della produzione 2 Problemi micro-economici delle aziende: quali prodotti produrre (tra quelli compatibili) in quali quantità produrre i prodotti se introdurre o meno nuovi prodotti come utilizzare le risorse disponibili (limitate) a quale prezzo vendere... Prodotto bene o servizio Il metodo dell analisi marginale: non considera la domanda di prodotti analizza il processo di offerta dei prodotti si basa sulla formalizzazione del processo di trasformazione tecnologica delle risorse in prodotti si basa su considerazioni locali e marginali

2 Il problema della produzione la funzione di produzione 3 Tecnologia Risorse Processo di Trasformazione Prodotti La decisione economica circa l offerta di prodotti richiede la valorizzazione delle risorse e dei prodotti stessi (processo complesso) L analisi dell offerta utilizza un modello semplificato: la funzione di produzione (funzione tecnologica) Funzione di Produzione (FP) Date r risorse e prodotti, la FP è il luogo dei punti di trasformazione efficiente, ossia dei punti corrispondenti alle massima produzione a parità di risorse Il problema della produzione la funzione di produzione 4 Caratteristiche della FP (r) (esempi grafici monodimensionali) Non ammissibile * Ammissibile r * r Andamento generale della FP (rendimento del processo di trasformazione) rendimenti decrescenti zona di inefficienza rendimenti crescenti FP convessa FP concava r il problema è significativo in questa zona

3 Il problema della produzione l analisi marginale 5 L analisi marginale considera la FP (r) monotona crescente e concava (nel seguito considereremo l analisi di un prodotto) Prodotto Marginale (MP) Data la FP f(r) (indicata anche con (r) ) MP i f(r) r i (r) r i r* Indica come varia la produzione al variare della risorsa i-ma con le altre risorse fissate è una proprietà locale (dipende dal punto r * in cui è calcolato) f(r) MP r Il problema della produzione l analisi marginale 6 Nella zona a rendimenti descrescenti MP è descrescente La FP considera una tecnologia fissata: per aumentare la produzione a parità di risorse è necessario cambiare la tecnologia Si produce sempre sulla curva (non si sprecano risorse) L andamento della FP considerato: f(r) r min r ma Nella teoria della produzione l analisi della FP è effettuata: sul breve periodo per stabilire la produzione più economica a disponibilità di risorse fissate sul lungo periodo, per determinare la scala ottima di produzione r

4 Il problema della produzione l analisi marginale 7 Analisi nel lungo periodo: il Rendimento di Scala Rendimento di scala La variazione della produzione quando variano gli input (risorse) di una quantità proporzionale fissata (r λr) Cambia la scala del processo ma non la tecnologia Se f(r) è omogenea di grado m: 0 f(r 0 ) λ m 0 f(λr 0 ) con λ> Si parla di: Rendimenti crescenti per m> Rendimenti costanti per m Rendimenti descrescenti per m< Il problema della produzione l analisi marginale 8 Analisi nel breve periodo: gli Isoquanti di Produzione Isoquanto di produzione Le curve nello spazio delle risorse ( r ) corrispondenti ad una produzione costante Corrispondono alle proiezioni nello spazio delle r delle curve f ( r ) K cost. Definiscono delle relazioni di sostituibilità tra le risorse (più combinazioni efficienti di risorse per produrre) r

5 Il problema della produzione l analisi marginale 9 Il Tasso Marginale di Sostituzione (MRS) Considerando due risorse B A 0 r I punti A e B corrispondono alla stessa produzione 0 ottenuta con una diversa combinazione di risorse Il problema della produzione l analisi marginale 0 Il Tasso Marginale di Sostituzione (MRS) Definito sugli isoquanti Permette di valutare gli effetti di certi cambiamenti di tecnologia Indica di quanto si deve variare l uso di alcune risorse per mantenere la produzione costante a fronte di una diminuizione dell uso di altre risorse Esprime una proprietà marginale e locale (dipende dal punto r * ) E definito per coppie di risorse E sempre negativo f ri i ri B 0 f r + r f r2 0 MP r + MP2 r2 r2 A f(r, )K MRS2 r 2 r MP MP2 r r

6 Il problema della produzione l analisi marginale Il caso lineare (la PL) Il consumo delle risorse è costante a r a 2 r La funzione di produzione (singolo prodotto) è una retta così come la sua proiezione nello spazio r L isoquanto per un singolo prodotto è un punto (non c è sostituibilità) Il problema della produzione l analisi marginale 2 Problema: determinare il livello di produzione ottimale tenendo conto della tecnologia e del costo delle risorse Approccio con risorse monetizzabili: stessa unità di misura del prodotto difficile da applicare (e.g. nel settore pubblico) massimizzare differenza tra il valore dei prodotti ed i costi delle risorse La funzione di produzione f(r) (f vettoriale) Valore delle risorse h(r) Valore dei prodotti (ricavo vendita) v() ma,r { v() h(r) } f(r)

7 Il problema della produzione l analisi marginale 3 Problema: determinare il livello di produzione ottimale tenendo conto della tecnologia e del costo delle risorse Approccio con risorse non monetizzabili: si risolvono due sottoproblemi (soluzione sub-ottima rispetto al caso precedente) le funzioni h(r) e v() hanno diverse unità di misura (a) Minimizzazione del valore delle risorse per una produzione * fissata min h(r) r f(r) * Uso efficiente delle risorse (b) Massimizzazione del valore dei prodotti fissato il valore delle risorse ma v() h(r(*)) H Uso efficace delle risorse dove r()f - () Il problema della produzione l analisi marginale 4 Problema: determinare il livello di produzione ottimale tenendo conto della tecnologia e del costo delle risorse Si risolve (a) provando (in teoria) tutti i livelli di produzione possibili, ottenendo i valori minimi delle risorse necessari Si risolve (b) per i valori di risorse ottenuti cercando la combinazione di prodotti più vantaggiosa Osservazioni: in (b) si può imporre h(r(*)) H la soluzione dei problemi può non essere semplice o attuabile spesso si risolve uno solo problema: fissato il throughput si ricavano le risorse necessarie

8 Il problema della produzione l analisi marginale 5 Soluzione analitica del problema della produzione min h(r) r f(r) * min h(r) + λ( * f(r)) r, λ l(r, λ) h(r) + λ( * f(r)) lagrangiana Caso monodimensionale (singolo prodotto) l r i l λ h f λ ri ri 0 0 f(r) * i,..., n (risorse) n+ equazioni in n+ incognite Il problema della produzione l analisi marginale 6 Soluzione analitica del problema della produzione λ h ri f ri i h ri f ri h rj f rj i, j MPi f(r) ri Costo Marginale (MC) Variazione del costo rispetto alle variazione della risorsa i-ma h(r) MCi ri La condizione all ottimo MC i MPi MC j MPj f(r) * i, j

9 Il problema della produzione l analisi marginale 7 Soluzione analitica del problema della produzione Graficamente Due risorse con costo lineare: h(r, ) c r +c 2 (c,c 2 >0) isocosto isoquanto ottimo f(r, ) * Nel punto di ottimo MC MC 2 MP MP2 r Nel punto di tg per piccole variazioni delle risorse non varia nè il prodotto nè il costo delle risorse Domande: Qual è l andamento di h(r) lineare nello spazio? Cosa succede se h(r) non è lineare? Il problema della produzione l analisi marginale 8 Soluzione analitica del problema della produzione Le curve di isocosto Luogo dei punti dello spazio delle risorse a parità di costo delle risorse Cammino di Espansione isoquanto isocosto r Che significato hanno le isocosto concave o convesse? Cammino di espansione: luogo dei punti nello spazio delle risorse che rappresentano la combinazione ottima (efficiente) delle risorse per produrre il prodotto Rappresenta l evoluzione della produzione quando aumenta (punti soluzione di (b))

10 Il problema della produzione l analisi marginale 9 Approfondimenti Verificare nel caso di FP monodimensionale il significato dell ipotesi di concavità della FP Costi e ricavi lineari Costi lineari e ricavi con saturazione Andamento di una FP in più dimensioni (e.g. f(r, )) concavità efficiente ed andamento degli isoquanti L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 20 Il problema ma c T A b 0 Ipotesi Le variabili j : quantità di uno stesso prodotto prodotte con tecnologie diverse (processi produttivi) Coeff. a ij : differente uso delle risorse dei diversi processi produttivi Coeff. c j : guadagni associati ai processi produttivi (ricavi-costi) Analisi rispetto 2 risorse (possibile l analisi grafica) Due problemi Massimizzare la produzione Massimizzare il guadagno

11 L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 2 La funzione di produzione dei processi Retta nello spazio (e.g., per il processo ) a r r at r2 a2t t a 2 Identifica la combinazione di risorse che permette la realizzazione del processo Un esempio con Ecel... L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 22 La funzione di produzione dei processi La proiezione nel piano delle risorse di più processi 3 a 2 a 22 4 a a 2 Processi efficienti e processi dominati a 22 r regione dominata da a 2 a a 2 r

12 L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 23 Gli isoquanti La pendenza delle rette è a 2i /a i I punti sulle rette rappresentano i diversi livelli di produzione Unendo punti sulle rette a parità di produzione si ottengono dei segmenti che identificano la produzione combinata a b p 3 r r at r a2 v r2 a 2t r2 a 22 v t 2 v r at + a2 v r2 a 2t + a 22 v t + v Isoquanti luogo dei punti a produzione costante la spezzata che unisce i punti a pari produzione L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 24 Gli isoquanti Eliminando t e v si ottiene il segmento dell isoquanto relativo alla combinazione di e r at + a2 v r2 a 2t + a 22 v t + v r2 La curva definisce l uso delle risorse a produzione fissata Gli isoquanti sono formati solo dai segmenti che identificano una combinazione efficienti di coppie di processi r a a 2 + (a 22 a 2) a2 a - 3 è dominato da - e r

13 L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 25 Gli isoquanti Se si varia il livello di produzione si ottiene una spezzata parallela 3 r L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 26 Gli isoquanti Nelle zone A e B la produzione avviene con spreco di risorse A 3 B r R P Le risorse in R: non permettono la produzione di P permettono la produzione di Q con spreco permettono la produzione di N con spreco Q N r

14 L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 27 Gli isoquanti Nelle zone oltre gli ultimi processi divengono paralleli agli assi 3 r L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 28 Il problema della massimizzazione della produzione Si considera la disponibilità delle risorse Si identifica l isoquanto ammissibile associato alla maggior produzione ottimo b 2 3 r b Quali sono i processi prodotti?

15 L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 29 Il problema della massimizzazione del guadagno Si devono costruire le curve di isoguadagno: ai punti sulle le rette dei processi vengono associati i valori di guadagno (scalando con i coeff. c j ) si uniscono i punti a pari guadagno identificando una diversa spezzata C guad () r at r2 a 2t G ct C 2 C3 3 isoguadagno isoquanto r L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 30 Il problema della massimizzazione del guadagno Le curve di isoguadagno devono risultare convesse esempio: non verrà mai prodotto perchè a parità di guadagno consuma più di e 3 G dominata G dominata 3 G r

16 L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 3 Il problema della massimizzazione del guadagno La produzione a guadagno massimo b 2 ottimo 3 r b Cosa accade se si considera un problema di blending (e.g., la dieta)?... un esempio con Ecel L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 32 Il Simplesso nel piano delle risorse Consideriamo il problema di Product-Mi con 2 risorse ma c T A b 0 Le j rappresentano diversi processi con cui produrre un prodotto I guadagni unitari: c j p k j dove p prezzo unitario del prodotto k j costo delle risorse necessarie a produrre un unità di prodotto con il processo j-mo k m j aij pi i p i costo unitario della risorsa i-ma La soluzione di base iniziale produzione nulla, slack in base

17 L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 33 Il Simplesso nel piano delle risorse I passi del Simplesso Chi entra e chi esce di base ad ogni passo? Perchè? ipotesi c >c 2 >c 3 b 2 B C 3 Ottimo isoguadagno A (soluzione iniziale) b r L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 34 Il Simplesso nel piano delle risorse I passi del Simplesso Il ragionamento deve considerare le variabili di slack delle 2 risorse. Esercizi... ipotesi c 3 >c 2 >c 3 b 2 A b r ipotesi c 2 >c >c 3 3 b 2 A b r

18 L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 35 Il Simplesso nel piano delle risorse Il Simplesso cerca le nuove soluzioni in modo da aumentare il guadagno assoluto Si sposta verso guadagni marginali decrescenti (ovvero costi marginali delle risorse crescenti) Ipotizzando il costo lineare h() k +k 2 si può verificare l andamento del costo di una risorsa (e.g., ) in funzione di + A b 2 B il consumo di in A b2 a2 + a O b r L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 36 Il Simplesso nel piano delle risorse Ricaviamo e in funzione di e verifichiamo la forma di h() a 22 b 2 a22 a2 b 2 a2 2 a22 a2 in A b 2 a2 2 0 h() b 2 A B k O b r b2 a2

19 L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 37 Il Simplesso nel piano delle risorse Da A a B e sono entrambe positive e poichè a 22 -a 2 <0 b2 a22 b2 a2 h() k k2 a2 a22 a2 a22 A B coeff. angolare b 2 a 2 a 22 h() a22k a2k + 2 a2 a22 a2 a22 O b r k b2 a2 B L analisi del caso lineare nel piano delle risorse 38 Il Simplesso nel piano delle risorse h() è più ripida andando da A a B, infatti k 2 > k c > c 2 perchè è entrata per prima in base il costo marginale cresce andando verso l ottimo

20 La pianificazione della produzione: modelli lineari 39 Production Planning definire i livelli di produzione su un orizzonte temporale di N periodi nei diversi periodi può variare: la capacità produttiva i costi di produzione, i costi di magazzino, i costi di set-up la domanda (con e senza backlogging) produzione periodo z 0 magazzino iniziale z t t 2 t N z N magazzino finale d domanda periodo La pianificazione della produzione: modelli lineari 40 Production Planning Il modello a singolo prodotto: i produzione nel periodo i z i magazzino nel periodo i (fine periodo) p i costo di produzione nel periodo i h i costo di inventory nel periodo i c i capacità produttiva nel periodo i d i domanda nel periodo i M 0 magazzino iniziale N min ( pii + hizi ) i i + zi zi di i,...,n equazioni di continuità i ci i,...,n (senza backlogging) z0 M0 i 0 zi 0 i,...,n i R zi R i,...,n

21 La pianificazione della produzione: modelli lineari 4 Production Planning Il modello multi-prodotto: con t si indica il periodo (t,...,n) e con i il prodotto (i,...,k) i costi, la domanda sono riferiti a prodotto e periodo la capacità è complessiva del periodo (ipotesi) s it set-up del prodotto i nel periodo t (costo fisso che si produce i in t) y it var. binaria: se produrre i nel periodo t D it produzione massima del periodo t ( big-m) K N min it it i t it + zi,t zit ( p + h z + s y ) dit t, i K it ct t i it Dityit t, i zi0 Mi0 i zit MiT i it 0,zit 0 i, t it R,zit R,yit B i, t it it it it