Fondamenti di Economia Aziendale ed Impiantistica Industriale

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1 Politecnico di Milano IV Facoltà di Ingegneria Fondamenti di Economia Aziendale ed Impiantistica Industriale Impiego della programmazione lineare nella progettazione degli impianti

2 Cosa significa progettare un impianto? Individuare la miglior configurazione di risorse tecniche, umane ed economico-finanziarie (limitate) e le corrispondenti modalità di gestione, finalizzate alla realizzazione di un prodotto/servizio, coerentemente con un obiettivo economico prestabilito. dimensionamento e bilanciamento dei fattori di produzione (impianti, forza lavoro, spazio, infrastrutture, capitale, ecc.) allocazione dei fattori di produzione a prodotti/servizi alternativi accanto all obiettivo economico esistono altri obiettivi non monetizzabili, quali: sicurezza, ambiente, innovazione, ecc. il grado di vincolo sulla limitatezza delle risorse è da valutare in relazione all orizzonte temporale di analisi FEAII - La programmazione lineare -2-

3 Cosa significa progettare un impianto? Formulazione analitica del problema Funzioni di produzione j = quantità di prodotto ( n) f i = fattore di produzione ( m)... n = = ϕ ϕ ( f,..., f ) m ( f,..., f ) m m Funzione Obiettivo P j = prezzo di vendita c j =costo di produzione ma MC tot n = ( P ) j c j j j= Vincoli disponibilità risorse f F... fm Fm FEAII - La programmazione lineare -3-

4 Cosa significa progettare un impianto? Dati del problema: tipo e caratteristiche del prodotto/servizio processo tecnologico di fabbricazione/erogazione Scelte progettuali: definire numero e localizzazione dei centri di produzione; definire la capacità produttiva (pezzi buoni/unità di tempo) dimensionare i fattori di produzione organizzare gli spazi interni alla fabbrica (progettazione del layout) definire le modalità di gestione e organizzazione dei fattori di produzione FEAII - La programmazione lineare -4-

5 Con quali criteri? ) Massimizzazione della redditività / minimizzazione dei costi Criteri di valutazione di investimento: NPV, IRR, PB, etc. Margine di contribuzione : ma MC tot n = j= ( P ) j c j j Costi totali di produzione : min CV tot n = j= c j j FEAII - La programmazione lineare -5-

6 Con quali criteri? 2) Economie di scala Costi C = C 0 P P 0 m * m : fattore di scala (<) C 0 I costi di impianto aumentano meno che proporzionalmente rispetto alla potenzialità (dimensioni) degli stessi P 0 Potenzialità (taglia) FEAII - La programmazione lineare -6-

7 Con quali criteri? 3) Trade-off tra costi di impianto e di esercizio Costi [ /anno] C TOTALI CAE = n V 0 ( i ) k= + k C IMPIANTO (es. fabbricati, macchinari, mezzi, attrezzature, montaggio, etc.) Ottimo C ESERCIZIO (es. energia, materie prime, personale, manutenzione, parti di ricambio, etc.) Prestazione tecnica FEAII - La programmazione lineare -7-

8 Con quali strumenti quantitativi? Programmazione Lineare Teoria delle code Simulazione Intelligenza artificiale (Neural Networks, ) FEAII - La programmazione lineare -8-

9 L azienda Scarpacomoda S.p.A. Modelli: Lusso 4 Casual 3 Margine unitario Magazzino cuoio 800 paia/gg Reparto 000 paia/gg modello Lusso tempo lavorazione doppio rispetto a Casual Finitura Lusso 400 paia/gg Finitura Casual 700 paia/gg Qual è il mi di scarpe Lusso e Casual che massimizza il profitto dell azienda? FEAII - La programmazione lineare -9-

10 L azienda Scarpacomoda S.p.A. Impostazione analitica del problema Variabili: = produzione giornaliera Lusso 2 = produzione giornaliera Casual Funzione obiettivo: ma(z = ) Funzioni di produzione: reparto <= 000 finitura lusso <= 400 finitura casual 2 <= 700 Limiti sulle risorse magazzino cuoio + 2 <= 800 FEAII - La programmazione lineare -0 -

11 L azienda Scarpacomoda S.p.A. Regione ammissibile 2 In un sistema di assi cartesiani ortogonali (, 2 ) è possibile tracciare le 4 rette che corrispondono alle condizioni di vincolo La condizione di disuguaglianza individua un insieme di punti tutti dalla stessa banda rispetto ad una retta nel piano = 000 = = 700 Pertanto si ottiene un poligono delle soluzioni possibili = FEAII - La programmazione lineare - -

12 L azienda Scarpacomoda S.p.A. 2 Funzione obiettivo z = La funzione obiettivo (di profitto) corrisponde graficamente ad un fascio di rette ad inclinazione costante (- 4/3) z= 2,6 0 3 z= z= FEAII - La programmazione lineare -2 -

13 L azienda Scarpacomoda S.p.A ( =200, 2 =600) Soluzione ottima L ultimo punto (il più distante) appartenente al poligono delle soluzioni base rappresenta la soluzione ottima in corrispondenza della quale si ha il massimo profitto (z=2.600) z= 2, z= z= FEAII - La programmazione lineare -3 -

14 Programmazione Lineare Tecnica di Ricerca Operativa di supporto alla presa di decisioni che riguardano l allocazione ottimale delle risorse (es. impianti, mdo, capitale, tempo, spazio, materie prime, ) in un contesto di breve termine in cui non èmodificabile la disponibilitàdi risorse Pianificazione della produzione (mi fattori di produzione) Strategie di produzione (allocazione risorse) Schedulazione Ottimizzazione di ricette e scelta materie prime Scelta portafoglio investimenti... FEAII - La programmazione lineare -4 -

15 Caratteristiche di un problema di Programmazione Lineare Considerando j = quantità di prodotto j-esimo (j =,,n) f i = consumo del fattore produttivo i-esimo (i =,,m) b i = quantità ma disponibile del fattore produttivo i-esimo c j = costo unitario P j = prezzo unitario a ij = coefficienti di impiego (= tassi di assorbimento dei fattori) a ij = f i j FEAII - La programmazione lineare -5 -

16 Caratteristiche di un problema di Programmazione Lineare Massimizzazione o minimizzazione di una funzione obiettivo (es. profitto, costo, ) z z C P = = n j= n c j ( P ) j cj j= j j DA MINIMIZZARE DA MASSIMIZZARE LINEARI SE c j = costante P j = costante FEAII - La programmazione lineare -6 -

17 Caratteristiche di un problema di Programmazione Lineare a a a 2 m Presenza di vincoli che limitano le possibilità di perseguire l obiettivo (es. disponibilità risorse, ) + + a a 2 22 m n a 2n... + a a a mn + ULTERIORI CONDIZIONI DI VINCOLO n n n b b 2 b m colonna = consumo degli m fattori per produrre la quantità j Esprime i legami tecnologici tra impieghi e risorse riga = bilancio di un fattore Esprime i limiti di disponibilità delle risorse j 0 per j =,...,n Esprime le condizioni di non-negatività FEAII - La programmazione lineare -7 -

18 Caratteristiche di un problema di Programmazione Lineare I vincoli devono essere espressi come disequazioni lineari legame lineare tra quantita di prodotto realizzata (d j ) e consumo di fattore produttivo (df i ) a f i ij = = j cos t Effetti della legge dei rendimenti decrescenti trascurabili Non si considerano variazioni marginali nei consumi dei fattori produttivi BREVE PERIODO e TECNOLOGIE EVOLUTE FEAII - La programmazione lineare -8 -

19 Caratteristiche di un problema di Programmazione Lineare ) Massimizzazione o minimizzazione di una funzione obiettivo (es. profitto, costo, ) 2) Presenza di vincoli che limitano le possibilità di perseguire l obiettivo (es. disponibilità risorse) 3) Esistenza di corsi d azione alternativi tra cui scegliere 4) La FO e i vincoli devono essere espressi come disequazioni lineari FEAII - La programmazione lineare -9 -

20 Formalizzazione di un problema di Programmazione Lineare Il poligono delle soluzioni possibili è convesso in quanto ottenuto per successive eliminazioni di semipiani Una retta a profitto costante può avere solo nessuno, uno o infiniti punti in comune con il confine del poligono La soluzione ottima si trova necessariamente sul confine del poligono (su un lato o su un vertice) : in definitiva si avranno una sola o infinite soluzioni ottime Se la soluzione ottima è unica, essa è anche una soluzione base Per trovare la soluzione ottima non è necessario esplorare l intero campo delle soluzioni possibili, ma ci si può limitare all insieme delle soluzioni base ( Metodo del Simplesso) FEAII - La programmazione lineare -20 -

21 Formalizzazione di un problema di Programmazione Lineare n incognite proprie:,, n m variabili di slack (una per vincolo): S,, S m Il poliedro delle soluzioni èdelimitato da piani di equazione: i = 0 (piani coordinati) S j = 0 (piani di limitazione) Ogni soluzione base è individuata da n relazioni del tipo: i = 0 oppure S j = 0 FEAII - La programmazione lineare -2 -

22 Formalizzazione di un problema di Programmazione Lineare Equazioni di vincolo a a a 2 m + + a 2 22 m n 2n... + a a a a a mn n n + + n S S + 2 S = = m b b = 2 b m j 0 per j =,...,n FEAII - La programmazione lineare -22 -

23 Algoritmo del simplesso ( =200, 2 =600) (s =200, s 2 =00, s 3 =0, s 4 =0) Soluzioni base del caso Scarpacomoda S.p.A. Il problema in esame è indeterminato in quanto è un sistema di 4 equazioni in 6 incognite (, 2, S, S 2, S 3, S 4 ) ( =400, 2 =200) (s =0, s 2 =500, s 3 =200, s 4 =0) ( =0, 2 =0) (s =400, s 2 =700, s 3 =800, s 4 =000) ( =400, 2 =0) (s =0, s 2 =600, s 3 =400, s 4 =200) La soluzione ottima coincide con la utilizzazione totale del cuoio e alla completa saturazione della capacità produttiva del Reparto (S 3 =S 4 =0 ) FEAII - La programmazione lineare -23 -

24 Analisi di sensitività z = z = ( =200, 2 =600) Coefficienti della Funzione obiettivo Profitto Lusso : Profitto Casual : z = z = FEAII - La programmazione lineare -24 -

25 Analisi di sensitività z= 2,6 0 3 Disponibilità delle risorse Risorsa : capacità produttiva Reparto Prezzo ombra : Range : z= 2, = = FEAII - La programmazione lineare -25 -

26 Analisi di sensitività z= 2,5 0 3 z= 2,6 0 3 Disponibilità delle risorse Risorsa : capacità produttiva Reparto Prezzo ombra : Range : = = FEAII - La programmazione lineare -26 -

27 Programmazione lineare con Ecel Problema Variabili (X, X 2 ) Funzione Obiettivo formula = f (X, X 2 ) Condizioni di vincolo, espresse in funzione delle variabili FEAII - La programmazione lineare -27 -

28 Programmazione lineare con Ecel Funzione Obiettivo Variabili (X, X 2 ) Condizioni di vincolo FEAII - La programmazione lineare -28 -

29 La Molisana S.p.A. Per mantenere alto il livello qualitativo della pasta prodotta, la semola deve avere uno standard minimo di contenuto di alcuni principi nutritivi fondamentali, quali: proteine, riboflavina, fosforo e magnesio. PROBLEMA: Determinare la ricetta della semola, realizzata con tipologie diverse di grano (A, B, C), che soddisfi i requisiti qualitativi al minimo costo, sulla base di: contenuto di proteine, riboflavina, fosforo e magnesio per ciascuna tipologia di grano costo unitario di ciascuna tipologia di grano requisiti nutrizionali (proteine, ) FEAII - La programmazione lineare -29 -

30 La Molisana S.p.A. Dati del problema Standard Grano A Grano B Grano C Costo per chilo [ ] Proteine [gr/kg] Riboflavina [gr/kg] Fosforo [gr/kg] 6, Magnesio [gr/kg] 0, FEAII - La programmazione lineare -30 -

31 La Molisana S.p.A. Impostazione del problema Variabili Funzione obiettivo Vincoli FEAII - La programmazione lineare -3 -

32 Il caso GALAXY DATI DEL PROBLEMA La Galay èun azienda produttrice di giocattoli che realizza due modelli di pistole ad acqua : Space Ray e Zapper. Entrambi gli articoli sono realizzati esclusivamente in materiale plastico. Le due risorse critiche nel processo di fabbricazione sono : - la quantità di materiale plastico disponibile a settimana : 200 kg - le ore settimanali disponibili per la produzione : 40 ore L ufficio Marketing della Galay ha inoltre stabilito un volume massimo di produzione settimanale pari a 800 unità di pistole ad acqua dei due tipi, con un ulteriore vincolo legato al mi di vendita : le vendite settimanali di Space Ray non devono superare quelle di Zapper di oltre 450 unità. Nella tabella sottostante sono riportati i dati di assorbimento delle risorse produttive e il margine di contribuzione unitario Modello margine unitario kg plastica/pezzo min lavorati/pezzo Space Ray $8 2 3 Zapper $5 4 Attualmente la Galay produce 550 unità di Space Ray e 00 di Zapper, con un ricavo settimanale di 4900 $. Esiste un programma di produzione più redditizio? FEAII - La programmazione lineare -32 -

33 Il caso GALAXY VARIANTE DEL CASO BASE A seguito di un approfondita analisi di mercato l ufficio Marketing della Galay ha stabilito che a partire dal prossimo mese la produzione settimanali dei due modelli dovrà adeguarsi alla richiesta del marcato : 70% di Space Ray e 30% Zapper. Assumendo tassativo il vincolo sul mi di produzione e considerando che la nuova politica commerciale porterà ad un cambiamento nei margini di contribuzione unitari per i due modelli di pistole ($8,5 per Space Ray e 4,5$ per Zapper), determinare il valore ottimale di produzione che consentiràalla Galaydi massimizzare i suoi ricavi FEAII - La programmazione lineare -33 -

34 Il caso Powerco La Powerco èun autoproduttore di energia elettrica e dispone di 3 centrali elettriche per alimentare il fabbisogno di energia richiesto da 4 aree metropolitane. Ogni impianto di generazione può rifornire le seguenti quantità di elettricità (espresse in milioni di kwh): Impianto Impianto 2 Impianto 3 Energia generata La richiesta di energia elettrica da parte delle 4 città (in termini di milioni di kwh) è pari a : Città Città 2 Città 3 Città 4 Energia assorbita Noto infine il costo di distribuzione dell energia da ciascun impianto alle 4 città (euro per milione di kwh), si chiede di determinare la scelta più conveniente di distribuzione dell energia (impianti / città). Città Città 2 Città 3 Città 4 Impianto Impianto Impianto FEAII - La programmazione lineare -34 -

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