Per formalizzare il concetto sono necessarie alcune nozioni relative ai poliedri e alla loro descrizione.

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1 3.7.4 Disuguaglianze valide forti Cerchiamo disuguaglianze valide forti, ovvero disuguaglianze valide che forniscano migliori formulazioni (più stringenti). Per formalizzare il concetto sono necessarie alcune nozioni relative ai poliedri e alla loro descrizione. Definizione: Date due disuguaglianze valide π t x π 0 e µ t x µ 0 per P = {x R n + : Ax b}, la prima domina la seconda se esiste u > 0 tale che uµ π e π 0 uµ 0 con (π, π 0 ) (uµ, uµ 0 ). In tal caso {x R n + : π t x π 0 } {x R n + : µ t x µ 0 } Esempio: x 1 +3x 2 4 domina 2x 1 +4x 2 9 visto che per (π, π 0 ) = (1, 3, 4) e (µ, µ 0 ) = (2, 4, 9) abbiamo 1 2 µ π e π µ 0. 1

2 Definizione: Una disuguaglianza valida π t x π 0 è ridondante nella descrizione di P se esistono k 2 disuguaglianze valide π i x π i 0 per P con u i > 0, 1 i k, tali che ( k i=1 u iπ i )x k i=1 u iπ i 0 domina π t x π 0. Esempio: P = {(x 1, x 2 ) R 2 + : x 1 + 2x 2 4, x 1 2x 2 3, x 1 + x 2 5/3, 1 x 1 3} x 1 +x 2 5/3 è ridondante perché è dominata da x 1 +x 2 3/2, che è implicata da x 1 +2x 2 4 e x 1 1 (con u 1 = u 2 = 1 2 ) Osservazione: Quando P = conv(x) non è noto esplicitamente, verificare la ridondanza può essere molto difficile. In pratica è importante non usare disuguaglianze che sono dominate da altre già disponibili. 2

3 Facce e faccette dei poliedri Per semplicità assumiamo che P sia di dimensione piena, i.e., non esista alcuna equazione a t x = b soddisfatta simultaneamente da tutti i punti x P Teorema: Se P è di dimensione piena, P possiede un unica descrizione minimale P = {x R n : a t ix b i, i = 1,..., m} dove ogni disuguaglianza è unica a meno di un moltiplicatore positivo. Ogni disuguaglianza è necessaria: rimuovendone una qualunque si ottiene un poliedro diverso da P. Inoltre ogni disuguaglianza valida per P che non sia un multiplo positivo di una delle a t i x b i è ridondante (può ottenersi come combinazione lineare a coefficienti non-negativi di disuguaglianze valide) 3

4 Caratterizzazione alternativa delle disuguaglianze necessarie Definizioni I punti x 1,..., x k sono affinemente indipendenti se le k 1 direzioni x 2 x 1,..., x k x 1 sono linearmente indipendenti. La dimensione di P, dim(p ), è pari al massimo numero di punti affinemente indipendenti di P meno 1. Sia F = {x P : π t x = π 0 } per una qualsiasi disuguaglianza π t x π 0 valida per P. Allora F è una faccia di P e la disuguaglianza π t x π 0 rappresenta o definisce F. Se F è una faccia di P e dim(f ) = dim(p ) 1, allora F è una faccetta di P. Conseguenze: Le facce di un poliedro sono dei poliedri e un poliedro ha un numero finito di facce. Teorema: Se P è di dimensione piena una disuguaglianza valida è necessaria per la descrizione di P se e solo se definisce una faccetta di P. 4

5 Esempio Sia il poliedro P R 2 descritto dalle seguenti disuguaglianze: x 1 + 2x 2 4 (1) x 1 2x 2 3 (2) x 1 + x (3) x 1 3 (4) x 1 1 (5) Verificare che P è di dimensione piena. Stabilire quali disuguaglianze definiscono delle faccette di P e quali sono ridondanti. 5

6 Come stabilire che una disuguaglianza valida è una faccetta? Consideriamo X Z n + e una disuguaglianza valida π t x π 0 per X Ipotesi: conv(x) è limitato e di dimensione piena Due principali approcci per stabilire che π t x π 0 è una faccetta di P = conv(x): 1) Approccio diretto (definizione): Trovare n punti x 1,..., x n X che soddisfano la disuguaglianza con il segno di uguaglianza (π t x = π 0 ) e mostrare che sono affinemente indipendenti. 2) Approccio indiretto: (i) Selezionare t punti di X, con t n, che soddisfano π x = π 0. Suppore che giacciano tutti su uno stesso generico iperpiano µ x = µ 0. (ii) Risolvere il sistema lineare n µ j x k j = µ 0 per k = 1,..., t j=1 nelle n + 1 incognite µ 0, µ 1,..., µ n. (iii) Se l unica soluzione risulta essere uguale a λ(π, π 0 ) con λ 0, allora la disuguaglianza π x = π 0 definisce una faccetta di conv(x). 6

7 Esempio: Sia X = {(x, y) R m {0, 1} : m i=1 x i my, 0 x i 1 i} i) Verificare che dim(conv(x)) = m + 1. ii) Mostrare che la disuguaglianza valida x i y definisce una faccetta di conv(x) usando l approccio indiretto. Consideriamo i punti (0, 0), (e i, 1) e (e i + e j, 1) per j i che sono ammissibili e soddisfano x i = y Poiché (0, 0) appartiene all iperpiano definito da m k=1 µ kx k + µ m+1 y = µ 0, allora µ 0 = 0. Poiché (e i, 1) appartiene all iperpiano definito da m k=1 µ kx k + µ m+1 y = µ 0, allora µ i = µ m+1 Poiché (e i + e j, 1) appartiene all iperpiano definito da m k=1 µ kx k µ i y = µ 0, allora µ j = 0 per j i Quindi l iperpiano è µ i x i µ i y = 0 e la disuguaglianza x i y definisce una faccetta. 7

8 Disuguaglianze di copertura per il problema di zaino binario Sia X = {x {0, 1} n : n j=1 a jx j b} con b > 0 e N = {1,..., n}. Ipotesi: Per ogni j con 1 j n, a j > 0 (ponendo eventualmente x j = 1 x j) e a j b. Definizione: Un sottoinsieme C N è una copertura per X se j C a j > b. Una copertura è minimale se per ogni j C, C \ {j} non è una copertura. Esempio: Per X = {x {0, 1} 7 : 11x 1 + 6x 2 + 6x 3 + 5x 4 + 5x 5 + 4x 6 + x 7 19} due coperture minimali sono: {1, 2, 3} e {3, 4, 5, 6} Proposizione: Se C è una copertura per X, la disuguaglianza x j C 1 j C è valida per X, ed è chiamata disuguaglianza di copertura. Esempio: Per X = {x {0, 1} 7 : 11x 1 + 6x 2 + 6x 3 + 5x 4 + 5x 5 + 4x 6 + x 7 19} alcune disuguaglianze di copertura minimale sono: x 1 + x 2 + x 3 2, x 1 + x 2 + x 6 2, x 1 + x 5 + x 6 2, x 3 + x 4 + x 5 + x 6 3 8

9 Le disuguaglianze di copertura possono essere rafforzate? Proposizione: Se C è una copertura per X, la disuguaglianza di copertura estesa x j C 1 j E(C) è valida per X, dove E(C) = C {j N : a j a i for all i C}. Esempio: Per X = {x {0, 1} 7 : 11x 1 + 6x 2 + 6x 3 + 5x 4 + 5x 5 + 4x 6 + x 7 19} la disuguaglianza di copertura estesa per C = {3, 4, 5, 6} è che naturalmente domina x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 3 (6) x 3 + x 4 + x 5 + x 6 3. Osservazione: Poiché a 1 = 11, a 6 = 4, a i 5 per i {2, 3, 4, 5} e b = 19, se x 1 = 1 al massimo una delle altre variabili in (6) può assumere il valore 1 e la disuguaglianza 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 3 è valida e domina a sua volta (6). Si può rafforzare in modo sistematico queste disuguaglianze per ottenere disuguaglianze valide non ridondanti (che definiscono faccette)? 9

10 Procedura per rafforzare le disuguaglianze di copertura ( lifting ) Siano j 1,..., j r gli indici di N \ C e si ponga t = 1. Sia t 1 i=1 α j i x ji + j C x j C 1 la disuguaglianza ottenuta all iterazione precedente. All iterazione t, si determina il valore massimo di α jt per cui α jt x jt + t 1 i=1 α ji x ji + j C è valida per X risolvendo il problema (di zaino binario) x j C 1 ζ t = max t 1 i=1 α j i x ji + j C x j s.v. t 1 i=1 a j i x ji + j C a jx j b a jt x {0, 1} C +t 1 e ponendo α t = C 1 ζ t. Termina quando t = r. N.B.: ζ t = spazio masssimo consumato dalle variabili di indici C {j 1,..., j t 1 } quando x jt = 1. Proposizione: Se C copertura minimale e a i b i N, si ottiene una facetta di conv(x). Esempio: Applicando questa procedura di lifting a x 3 + x 4 + x 5 + x 6 3 considerando nell ordine x 1, x 2 e x 7, si ottiene la disuguaglianza valida 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 3 che definisce un facetta. 10

11 Separazione delle disuguaglianze di copertura Scopo: Data una soluzione non intera x con 0 x j 1, 1 j n, stabilire se x soddisfa tutte le disuguaglianze di copertura o determinarne una violata. Poiché j C x j C 1 si può anche scrivere come j C (1 x j) 1, basta rispondere alla seguente domanda: esiste un sottoinsieme C N tale che j C a j > b e j C (1 x j ) < 1? Se z {0, 1} n è il vettore binario caratteristico del sottoinsieme C N, ciò equivale alla domanda: ζ = min{ j N (1 x j )z j : j N a jz j > b, z {0, 1} n } < 1? Proposizione: (i) Se ζ 1, x soddisfa tutte le disuguaglianze di copertura. (ii) Se ζ < 1 con soluzione ottima z, allora j C x j C 1 con C = {j : zj taglia x di una quantità 1 ζ. = 1, 1 j n}, 11

12 Disuguaglianze per il problema del massimo insieme stabile Definizioni: Dato G = (V, E) non orientato, un sottoinsieme S V è detto stabile se {i, j} / E per ogni coppia di nodi i, j S. Un sottoinsieme K V è una clique se {i, j} E per ogni coppia di nodi i, j K. Un S V è uno stabile massimale (nel senso dell inclusione) se S {i} non è uno stabile, per ogni i V \ S. Un K V è una clique massimale se K {i} non è una clique, per ogni i V \ S. Problema: ( Stable set problem o Independent set problem ) Dato G = (V, E) non orientato, determinare un sottoinsieme S V stabile di cardinalità massima. N P -difficile con importanti applicazioni Considerando per ogni i V una variabile binaria x i che indica se i S, una formulazione di PLI è: max i V x i (7) s.v. x i + x j 1 {i, j} E (8) x i {0, 1} i V (9) 12

13 1) Disuguaglianze di clique Per qualsiasi clique K V di G, la disuguaglianza x i 1 (10) è valida. i K Procedura di separazione: Data x soluzione ottima del rilassamento continuo del PLI (7)-(9) con gli eventuali vincoli (10) generati finora, si assegna un peso x i ad ogni nodo i V e si cerca una clique K V di peso totale massimo. Se i K x i > 1, la disuguaglianza di clique i K x i 1 è chiaramente violata da x, altrimenti tutte quelle non ancora introdotte nella formulazione sono soddisfatte da x. Visto che il problema di separazione è NP-difficile, si adoperano euristiche. Proprietà: Le disuguaglianze di clique non dominate sono quelle che corrispondono a clique massimali. Consideriamo due clique K e K, con K K. La disuguaglianza corrispondente a K contiene tutte la variabili di quella relativa a K, più tutte quelle con indice in K \ K. Dato lo stesso termine noto, la disuguaglianza relativa a K domina quella relativa a K. 13

14 2) Disuguaglianze di buca dispari Definizione: Un insieme H V è una buca (hole) se il sottografo indotto da H è un ciclo semplice, i.e., i nodi in H sono connessi da un ciclo e per ogni coppia di nodi i, j non adiacenti {i, j} / E. Esempio: ciclo esterno di una ruota con n = 6 nodi Proprietà: Per ogni buca di cardinalità dispari, la disuguaglianza è valida. i H x i H 2 = H 1 2 Non si può selezionare più della metà dei nodi di qualsiasi buca. Per le buche di cardinalità H dispari, il limite è quindi pari a H 1 2. Osservazione: Le disuguaglianze relative alle buche pari e alle buche dispari con 3 nodi, sono implicate dai vincoli (8) e (10). Una buca dispari con 3 nodi è una clique; ogni disuguaglianza di buca pari si può ottenere aggregando le disuguaglianze (8) relative a tutti i lati della buca, con fattori moltiplicativi 1 2. Esercizio: verificare che le disuguaglianze di buca dispari con n 5 sono dei tagli di Chvátal-Gomory. 14

15 Proprietà: Le disuguaglianze di buca dispari si possono separare cercando un cammino minimo tra n = V coppie di nodi in un grafo bipartito ausiliario con costi opportuni sui lati. Data x soluzione ottima del rilassamento continuo corrente, cerchiamo una disuguaglianza di buca dispari violata da x. Costruiamo un grafo bipartito G = (V, E ) ausiliario (V = V 1 V 2 con V 1 e V 2 insiemi stabili), inserendo ogni nodo i V di G in V 1 e una sua copia i in V 2. Per ogni lato {i, j} E, creiamo in G due lati {i, j } e {i, j}, dove i, j V 1 e i, j V 2. Ad ogni lato {i, j } E assegnamo un costo 1 x i x j. In questo modo, un ciclo C in G ha costo {i,j} C (1 x i x j) = C 2 i V (C) x i = V (C) 2 dove V (C) è l insieme dei nodi di C. Se tale costo < 1, allora i V (C) x i i V (C) x i, V (C) 1 2 è violata da x. Per considerare tutte le possibili buche dispari, basta cercare per ogni i V 1 un cammino minimo p i dal nodo i V 1 alla sua copia i V 2. - Se p i è una buca e il suo costo < 1, abbiamo una disuguaglianza violata. - Se p i non è una buca e il suo costo < 1, allora contiene un sottociclo dispari di costo necessariamente inferiore (dato che costi x i 0), a cui corrisponde una disuguaglianza violata. - Se tutti i cammini individuati hanno costi 1, x soddisfa tutte le disuguaglianze di buca dispari. 15

16 Disuguaglianze di taglio per il problema del TSP asimmetrico Problema: Dato G = (V, A) orientato e un costo c ij per ogni arco (i, j) A, determinare un circuito hamiltoniano di costo totale minimo. Formulazione di PLI: min s.v. (i,j) A c ijx ij (11) i: (i,j) A x ij = 1 j (12) j: (i,j) A x ij = 1 i (13) (i,j) A: i S, j V \S x ij 1 S V, S (14) x ij {0, 1} (i, j) A (15) dove i vincoli (14) sono i cosiddetti vincoli di taglio ( cut-set inequalities ) Benché le disuguaglianze (14) siano in numero esponenziale, è possibile risolvere il rilassamento continuo tenendone conto in modo implicito tramite un approccio di tipo piani di taglio (cf. laboratorio 2). Proposizione: Data una soluzione ottima x del rilassamento continuo corrente (ossia (11)-(13) con gli eventuali vincoli (14) generati finora e x ij 0, (i, j) A), un vincolo (14) violato (se esiste) può essere generato risolvendo una sequenza di istanze del problema di taglio minimo relativo al grafo G. 16

17 Disuguaglianze per il problema del TSP a premi ( prize collecting TSP ) Problema: Dato G = (V, E) non orientato con n nodi e m lati, un costo c e per ogni lato e E e un premio p i per ogni nodo i V, determinare un ciclo che i) inizia e finisce nel nodo 1, ii) visita almeno due altri nodi, iii) visita al più una volta ogni altro nodo, e che massimizzi la somma dei premi associati ai nodi visitati. N P -difficile e nasce come sottoproblema di importanti problemi di instradamento. Considerando per ogni e E (i V ) la variabile binaria x e (y i ) con x e = 1 (y i = 1) se e solo se il lato e (nodo i) appartiene al ciclo scelto, una possibile formulazione di PLI è: max i V p iy i e E c ex e (16) e δ(i) x e = 2y i i V, (17) e E(S) x e i S\{k} y i k S, S V \ {1}, (18) y 1 = 1, x {0, 1} m, y {0, 1} n (19) I vincoli (18) sono detti di eliminazione dei sottocicli generalizzati ( GSEC: generalized subtour elimination constraints ). 17

18 Come tener conto in modo implicito delle GSEC che sono in numero esponenziale? Algoritmo di separazione per le GSEC Sia V = V \ {1} e E = E \ {δ(1)}. Sia z il vettore caratteristico dell insieme S V. Allora i vettori (x, y ) violano la GSEC definita da S e k se ovvero se e solo se ζ k > 0 dove ζ k = max{ e={i,j} E :i<j e E (S) x ez i z j x e > i S\{k} i V \{k} y i, y i z i : z {0, 1} n 1, z k = 1} (20) Problema quadratico 0 1 senza vincoli che si può risolvere in tempo polinomiale, convertendolo in un PLI e mostrando che nel suo rilassamento continuo il vincolo di integralità è ridondante. Poiché k {2,..., n}, il problema di separazione per le GSEC si può ricondurre alla risoluzione di n 1 problemi di flusso massimo. Per dettagli: L. Wolsey, Integer Programming, Wiley, p

19 Equivalenza tra separazione e ottimizzazione Consideriamo una famiglia di PL min{ c t x : x P o } con o O, dove P o = { x R n o : A o x b o } poliedro limitato con coefficienti razionali (interi) e un numero elevatissimo (e.g. esponenziale) di vincoli Adottiamo un approccio in cui questi vincoli vengono generati solo se necessari Esempio: rilassamento continuo del TSP asimmetrico con i vincoli di taglio (O insieme di tutti i grafi) Ipotesi: Anche se il numero di vincoli m o di P o è esponenziale in n o (e.g. O(2 n o )), A o e b o sono specificati in modo conciso (in funzione di un numero polinomiale di parametri, rispetto ad n o ). Altro esempio: Problema dell accoppiamento ( matching ) di cardinalità massima in un grafo Per ogni G = (V, E), il politopo degli accoppiamenti ( matching politope ) equivale a {x R E + : (Edmonds 65) e δ(i) conv({x {0, 1} E : x e 1, i V, e E(T ) x e e δ(i) x e 1, i V }) ( T 1), T V con T 3 dispari} 2 19

20 Problema di ottimizzazione: Dato un poliedro limitato P R n e un vettore razionale c R n, trovare un x P che minimizza c t x su x P oppure stabilire che P è vuoto. N.B.: si suppone che P sia limitato (politopo) solo per evitare il caso in cui il problema è illimitato Problema di separazione: Dato un poliedro limitato P R n e un vettore razionale x R n, stabilire che x P oppure determinare un vettore π R n tale che πx < πx per ogni x P (ossia individuare un taglio che separa x da P ). Teorema: (conseguenza del teorema di Grötschel, Lovász, Schriver 1988) Il problema di separazione per una famiglia di poliedri può essere risolto in tempo polinomiale in n e log U se e solo se il problema di ottimizzazione su quella famiglia di poliedri può essere risolto in tempo polinomiale in n e log U, dove U è un limite superiore su tutti a ij e b i. Dimostrazione basata sul metodo dell elissoide (Khachiyan 1970), primo algoritmo polinomiale per i problemi di PL. L algoritmo non risulta efficiente in practica ma l equivalenza guida nella ricerca di algoritmi polinomiali efficienti. Conseguenza: I rilassamenti continui delle precedenti formulazioni di PLI per il TSP asimmetrico e il TSP a premi possono essere risolti in tempo polinomiale nonstante il numero esponenziale di vincoli. 20

21 Principali criticità nel progetto di un metodo basato sui piani di taglio Dato un problema di ottimizzazione discreta con coefficienti c i razionali min{ c t x : x X R n +} Bisogna tener presente che: descrivere una o più famiglie di disuguaglianze valide forti per P = conv(x) può essere difficile il corrispondente problema di separazione può richiedere uno sforzo computazionale notevole per risolvere in modo esatto problemi difficili le disuguaglianze valide forti devono essere inserite in un metodo di tipo Branch-and-Bound, che diventa quindi di tipo Branch-and-Cut. 21