4 PROGRAMMAZIONE LINEARE (PL) E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 1

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1 4 PROGRAMMAZIONE LINEARE (PL) E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 1

2 Problemi di programmazione matematica: min s.v. f () X n dove X è la regione delle soluzioni ammissibili con funzione obiettivo f lineare e X={ n : g i () 0, i {1,, m} } (=) con g i lineari i = 1,, m E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 2

3 Forma generale: min z = c c n n a a 1n n b 1 (=) A b 0 ( ) a m a mn n b m (=) ( ) 1,, n 0 Notazione matriciale: 1 min min z = c T c 1 c n n a 11 a 1n 1 b 1 a m1 a mn n b m 1 0 E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano n 3

4 X = { n : A b, 0 } regione delle soluzioni ammissibili Def. Un * X è soluzione ottima di un problema di minimizzazione se c T * c T X Una classe molto ampia di problemi decisionali possono essere formulati come programmi lineari Spesso si tratta di problemi di allocazione ottimale di risorse limitate fra varie attività Origini: modelli di PL (L. Kantorovich 1939) algoritmo del simplesso (G. Dantzig 1947) E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 4

5 Dati n m a i b i c Problema della dieta cibi = 1,, n sostanze nutritive i = 1,, m quantità di i-esima sostanza contenuta in ogni unità del -esimo cibo fabbisogno sostanza i costo di un unità del cibo Determinare una dieta di costo minimo che soddisfa tutti i fabbisogni. E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 5

6 E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 6 = quantità di -esimo cibo, con = 1,..., n n m i b a c n i i n 1,..., 0 1,..., min 1 1 Variabili di decisione:

7 Problema del trasporto (monoprodotto) m impianti produttivi i = 1,, m n clienti = 1,, n c i p i d q i costo di trasporto di una unità di prodotto dall impianto i al cliente disponibilità ma di prodotto presso l impianto i domanda del cliente massima quantità trasportabile da i a Determinare un piano di trasporto che minimizzi i costi rispettando le domande e i limiti di disponibilità. E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 7

8 Ipotesi: m i1 p i d n 1 Variabili di decisione: i = quantità trasportata da i a min m n i1 1 c i i n 1 i p i i = 1,, m (disponibilità) m i1 i d = 1,, n (domanda) 0 i q i i, (capacità) E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 8

9 Problema di mi produttivo n prodotti ( = 1,, n) che competono per l utilizzo di m risorse (i = 1,, m) con disponibilità limitate c a i b i margine lordo (ricavo costi) per unità di -esimo prodotto quantità di i-esima risorsa necessaria per una unità di -esimo prodotto disponibilità massima di i-esima risorsa Determinare un piano di produzione che massimizzi il margine lordo totale rispettando i limiti di disponibilità. E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 9

10 E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 10 = quantità di -esimo prodotto, con = 1,..., n n m i b a c n i i n 1,..., 0 1,..., ma 1 1 Variabili di decisione:

11 Ipotesi dei modelli di PL 1) Linearità della funzione obiettivo e dei vincoli Proporzionalità: contributo di ogni variabile = costante variabile Non si tiene conto di economie di scala! Addittività: contributo di tutte le variabile = somma dei singoli contributi Prodotti in competizione guadagni non indipendenti! E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 11

12 2) Divisibilità Le variabili possono assumere valori frazionari (reali) Parametri: Si suppone che tutti i parametri numerici del modello possano essere considerati costanti, ovvero stimati con un grado di precisione sufficiente. Diversi scenari analisi di sensitività E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 12

13 Forma generale : min (ma) Def. Forma standard min 4.1 Forme equivalenti z = c T A 1 b 1 A 2 b 2 A 3 = b 3 0 per J {1,, n} libera per {1,, n} \ J z = c T A = b 0 vincoli di disuguaglianza vincoli di uguaglianza solo vincoli di uguaglianza e tutte variabili non negative E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 13

14 Le due forme sono equivalenti Delle regole di trasformazioni permettono di passare dalla forma generale a quella standard e viceversa. NB: il passaggio dall una all altra può comportare una variazione del numero di vincoli e di variabili E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 14

15 ma c T = - min c T Regole di trasformazione a T b a T + s = b s 0 variabile di scarto a T b a T - s = b s 0 variabile di surplus E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 15

16 E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 16 Sostituendo con + si elimina dal problema Alternativamente può essere ricavata da una equazione e sostituita dappertutto (si elimina un equazione e una variabile). 0 0 libera

17 Esempio Forma generale: ma , 2 libera ma = 3 4 3, , 3, 4 0 E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 17

18 introducendo 5 e 6 di scarto e surplus + cambiando di segno la funzione obiettivo min = = 4 1, 3, 4, 5, 6 0 E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 18

19 4.2 Geometria della PL Esempio Problema di investimenti Capitale di e due possibili investimenti A e B con rendimenti previsti rispettivamente del 4% e 6% Determinare un piano di investimento che massimizzi il ritorno, rispettando le condizioni di diversificazione: non più del 75% del capitale investito in A non più del 50% del capitale investito in B E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 19

20 Modello A = somma investita in A B = somma investita in B ma z = 0,04 A + 0,06 B s.v. A + B A B A, B 0 E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 20

21 4.2.1 Risoluzione grafica B A regione delle soluzioni ammissibili B A A + B A, B 0 K euro E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 21

22 K euro B z crescente linee di livello sono le rette 0,04 A + 0,06 B = z 10 8 z = z = 500 z = A costante Soluzione ottima: * A * B = z * = Gradiente f () = 0,04 0,06 indica la direzione di massimo aumento di f E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 22

23 4.2.2 Vertici della regione ammissibile Def.: H = { H - = { n : a T = b} è un iperpiano n : a T b} è un semispazio affine semipiano in 2 Ogni vincolo (a T b o a T b) definisce un semispazio affine nello spazio delle variabili a H - ={ n : a T b} a 0 b = 0 E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 23

24 Def.: La regione ammissibile X è un poliedro P P può essere vuoto e non limitato semispazi # finito Def.: Un insieme X n è convesso se y 1, y 2 X X contiene tutto il segmento che congiunge y 1 e y 2.. y 1 y 2 y 1 y 2 convesso [y 1, y 2 ] = { n : = y 1 + (1 - ) y 2 con [0, 1] } segmento tutte le combinazione convesse di y 1 e y 2 E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 24

25 Proprietà: un poliedro P è un insieme convesso di n Infatti: un semispazio è chiaramente convesso y 1 y 2 e l intersezione di un numero finito di insiemi convessi è anch esso un insieme convesso. E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 25

26 non è un vertice! 2 (0,3,1) (0,3,0) H 1 (0,1,3)... H 2 3 (0,0,0) (1,3,0) (0,0,3) (2,2,0) (1,0,3). (2,0,2) (2,0,0) faccetta spigolo ~ è un vertice di P se y 1, y 2 P, y 1 y 2 e (0, 1) tale che ~ = y 1 + (1 - ) y 2 Def.: I vertici di P sono i punti di P che non possono essere espressi come combinazione convessa di altri due punti di P. H 3 Poliedro P ~ vertice 1 E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 26

27 Proprietà: Un poliedro P ={ n : A = b, 0 } ø ha un numero finito ( 1) di vertici. Def.: Sia P un poliedro, un vettore d n con d 0 è una direzione ammissibile di P se per ogni punto 0 P n il raggio { : = 0 + d, 0 } è completamente contenuto in P.. P d. d 0 0 E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 27

28 Rappresentazione dei poliedri: Ogni punto di un poliedro P può essere espresso come combinazione convessa dei suoi vertici più una eventuale direzione ammissibile d di P : = k k + d dove 1,..., k sono i vertici di P e i moltiplicatori i 0 soddisfano k = 1. P [ 1, 2 ], d = d 1 2 E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 28

29 Conseguenza: (Weyl-Minkowski) Ogni punto di un poliedro limitato P (polítopo) può essere espresso come combinazione convessa dei suoi vertici P 2. = con i 0 e = 1 (d = 0) E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 29

30 Teorema fondamentale della PL: Se il poliedro P ={ n : A = b, 0 } delle soluzioni ammissibili del PL min{ c T : P } non è vuoto, esiste almeno un vertice ottimo o il valore della funzione obiettivo non è limitato inferiormente su P. Dim. Caso 1: P ha una direzione ammissibile d tale che c T d < 0 P è illimitato e il valore z = c T - lungo la direzione d E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 30

31 E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 31 Caso 2: P non ha direzioni ammissibili d tali che c T d < 0 i T k i T k i i T i k i i i T T c d c c d c c min Per qualsiasi P, d = 0 o c T d 0 e quindi Ogni punto di P può essere espresso come: dove 1,..., k sono i vertici di P, i 0 con k =1, e d = 0 oppure d è una direzione ammissibile. d k i i i 1 visto che i 0 i e k =1. 0

32 Nonostante le variabili assumano valori frazionari la PL si riconduce ad un problema di natura combinatoria: basta esaminare i vertici del poliedro delle soluzioni ammissibili! # finito Metodo grafico applicabile solo se n 3 algoritmo? E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 32

33 Un punto interno P non può essere una soluzione ottima: c = direzione di massimo aumento di z (gradiente costante) spostamento che migliora il valore di z In un vertice ottimo tutte le direzioni che permettono (passo suff. piccolo) di rispettare l ammissibilità sono peggioranti: vertici direzioni miglioranti direzioni che permettono di non violare l ammissibilità E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 33

34 4.2.3 Quattro tipi di programmi lineari La soluzione ottima è unica 2. c 1 Numero infinito di soluzioni ottime c E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 34

35 PL illimitato c poliedro illimitato e non esiste una soluzione ottima PL inammissibile poliedro vuoto (nessuna soluzione ammissibile) E. Amaldi -- Fondamenti di R.O. -- Politecnico di Milano 35