PROGRAMMAZIONE LINEARE ESEMPIO INTRODUTTIVO. L azienda usa l officina A e l officina B con le seguenti ORE UNITARIE: A B Testing 30 10

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1 ESEMPIO INTRODUTTIVO Una azienda metalmeccanica deve produrre 2 tipi di Prodotti (Cuscinetti): Cuscinetto a sfera (P1): Profitto=5000ITL/pezzo Cuscinetto a rulli (P2): Profitto=4000 ITL/pezzo L azienda usa l officina A e l officina B con le seguenti ORE UNITARIE: P1 P2 A B Testing L officina A puo lavorare per 150 ore max L officina B puo lavorare per 160 ore max L azienda fa inoltre un "Testing" dei cuscinetti per 135 ore min ALTRI VINCOLI: 1) Bisogna costruire almeno 1 P2 ogni 3 P1 2) Un cliente importante ha ordinato almeno 5 tra P1 e P2: questi vanno prodotti 1

2 Quale e il mix ottimale (PIANO OTTIMALE DI PRODUZIONE) che rende max i profitti senza violare i vincoli? x1 = Numero di P1 x2 = Numero di P2 1) x1 + x2 5 cliente importante 2) x1 3 x2 product mix 3) 10 x x2 150 officina A 4) 20 x x2 160 officina B 5) 30 x x2 135 testing 6) x1 0, x2 0 NON NEGATIVITA Nel nostro Production Planning Problem prendere una decisione e assegnare un valore alla coppia di "variabili decisionali" (x1, x2). Ad es.: x1 = 6 x2 = 5 soddisfa 1, 2, 3, 5, 6 e non 4 x1 = 5 x2 = 4 soddisfa tutti i vincoli La DECISIONE deve essere AMMISSIBILE (FEASIBLE) La FUNZIONE OBIETTIVO (Profitto Totale) e : z = 5000 x x2 max! 2

3 PROBLEMA DELLA DIETA Un cibo per cani deve contenere per ogni kg almeno: proteine 2 hg carboidrati 4 hg grasso 3 hg Si possono miscelare 4 ingredienti con le seguenti caratteristiche ( in hg per ogni kg) xi Ingredienti Proteine Carboidrati Grasso Costo proporzione di ingrediente i nella miscela min 3x1 + 6x2 + 5x3 + 6x4 x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 2 4x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 4 3x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 3 x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1, x2, x3, x4 0 In questo esempio valori frazionari sono accettabili 3

4 STAFFING PROBLEM Il personale lavora 8 ore su 6 turni Turno Richiesta di personale 24:00 04: :00 08: :00 12: :00 16: :00 20: :00 24:00 9 Quanto personale assegnare ad ogni turno per minimizzare il personale necessario, rispettando le richieste ed il vincolo di continuità delle 8 ore xi obiettivo personale assegnato al turno i-esimo min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 4

5 Intervallo Turno x1 x1 2 x2 x2 3 x3 x3 4 x4 x4 5 x5 x5 6 x6 x Richieste VINCOLI: x6 + x1 5 x1 + x2 7 x2 + x3 15 x3 + x4 7 x4 + x5 12 x5 + x6 9 xi 0, i = 1,...,6 5

6 PROBLEMA DEL TRASPORTO 2 Stabilimenti 3 Punti Vendita S1 S2 capacita produttiva 100 unita capacita produttiva 200 unita PV 1 PV 2 PV Potenziali di vendita Prezzo per prodotto venduto Il costo di produrre una unita allo stabilimento S i e portarla a PV j e : PV 1 PV 2 PV 3 S S Variabili di decisione: x ij unita spedita da S i a PV j S 1 PV = 4 Profitto max 4x x x x x x 23 6

7 x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x 11 + x x 12 + x x 13 + x x ij 0 i,j 7

8 PIANIFICAZIONE FINANZIARIA Una societa finanziaria deve definire i propri piani di investimento, per il prossimo biennio, della somma di 2000 ML. -- A 6,12, 18 mesi ci si aspetta un ritorno da investimenti precedenti Ci sono due progetti, P1 e P2, sui quali investire (secondo il seguente piano il segno positivo indica ritornosugli investimenti) P P La società non può prendere denaro in prestito n Le disponibilità liquide non investite nei progetti vanno in PCT al 10% annuale OBIETTIVO:massimizzare la liquidità al termine dei 2 anni 8

9 Variabili di Decisione: x 1 x 2 grado di partecipazione a P1 grado di partecipazione a P2 S 1 quota iniziale da investire al 5% S 2 quota a 6 mesi da investire al 5% S 3 quota a 12 mesi da investire al 5% S 4 quota a 18 mesi da investire al 5% 1000 x x 2 + S 1 = x 1 + S 2 = 500 x S mesi 200 x 2 + S 3 = 1800 x S mesi 700 x 2 + S 4 = 400 x S mesi max 600 x x S 4 Problema multiperiodale che, in applicazioni reali, ha una componente probabilistica legata al tasso di rendimento dell investimento 9

10 BREAK EVEN ANALYSIS Prodotto Prezzo vendita Costo variabile Costi fissi S R B Vincoli: almeno 700 S, 400 B e non piu di 300 R Break Even: Ricavi = Costi S R B = 5000 S R B S R B = min 5000 S R B 5000 S R B = S 700, B 400, R 300 S, R, B >= 0 Tra tutte le soluzioni (S, R, B) che verificano il vincolo di break-even cerchiamo quello che ottimizza il cash-flow (minimizzando i costi variabili) 10

11 MODELLI DI MAGAZZINO MULTIPERIODALI (6 settimane) x i d i c i produzione durante la settimana i domanda nota (numero di pezzi) costo unitario della produzione xi k i capacita di produzione in i h i costo unitario della giacenza alla fine di i I 0 magazzino iniziale Determinare un piano di produzione e stoccaggio che minimizza il costo totale I 1 = I 0 + x 1 - d 1 I 2 = I 1 + x 2 - d 2... I i = I i-1 + x i - d i e sostituendo t I t = I 0 + (x i - d i ) vincolo di magazzino i=1 11

12 Vincoli di produzione I 0 + x 1 d 1 I 1 + x 2 d 2 Il livello del magazzino alla fine di ogni settimana e non negativo Variabili di decisione: x i, I i min costi produzione + costi magazzino coi vincoli, x i 0 magazzino 0 alla fine di ogni settimana x i k i 6 min (c i x i + h i I i ) i=1 I i = I i-1 + x i - d i i= 1,...,6 x i k i x i 0, I i 0 12