1. MODELLI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE

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1 Esercizi di programmazione lineare. MODELLI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE Politecnico di Torino Pagina di 0 Data ultima revisione //00

2 Esercizi di programmazione lineare Es. Il problema dello zaino Un gruppo di amici dovendo fare una gita ha deciso di mettere cibi e bevande di tutti in un unico zaino da 0 Kg. Lo zaino può essere riempito con: Cioccolata (confezioni da 500 g.) ucchi di frutta (bottiglie da l.) Lattine di birra (formato da 0. l.) Panini imbottiti (da 00 g. l'uno) Acqua minerale (bottiglie da l.) Pacchi di biscotti (confezioni da 500 g.) Politecnico di Torino Pagina di 0 Data ultima revisione //00

3 Esercizi di programmazione lineare Dopo un'indagine tra i partecipanti alla gita (si poteva dare un voto da a 00 a ciascuno dei prodotti), sono stati determinati i seguenti punteggi: Cioccolata: punti 0 ucchi di frutta: punti 0 Lattine di birra: punti 6 Panini imbottiti: punti Acqua minerale: punti 0 Pacchi di biscotti: punti 8. Politecnico di Torino Pagina di 0 Data ultima revisione //00

4 Esercizi di programmazione lineare Per non scontentare nessuno si è deciso di portare almeno: Cioccolata: confezioni ucchi di frutta: bottiglie Lattine di birra: 6 lattine Panini imbottiti: 0 panini Acqua minerale: bottiglia Pacchi di biscotti: confezioni Formulare il modello di Programmazione Lineare che massimizzi il punteggio rispettando il vincolo di capacità dello zaino. Politecnico di Torino Pagina 4 di 0 Data ultima revisione //00

5 Esercizi di programmazione lineare Es. L'acciaieria PLATIK L'acciaieria PLATIK deve evadere un ordine di 000 tonnellate di acciaio INOX. Per questa produzione servono manganese (almeno l'%), cromo (almeno il 8%) e molibdeno (almeno il %). I fornitori di metalli non ferrosi vendono, per esigenze di mercato, questi prodotti in tre tipi di confezioni differenti. La prima confezione contiene Kg. di manganese, Kg. di cromo e Kg. di molibdeno e costa L La seconda confezione contiene Kg. di manganese, Kg. di cromo e Kg. di molibdeno e costa L La terza confezione contiene Kg. di manganese, Kg. di cromo e 5Kg. di molibdeno e costa L Formulare il modello di Programmazione Lineare che minimizzi il costo di acquisto delle confezioni. Politecnico di Torino Pagina 5 di 0 Data ultima revisione //00

6 Esercizi di programmazione lineare Es. La casa editrice ANALFABETA La casa editrice ANALFABETA pubblica un quotidiano che viene distribuito da quattro centri di smistamento,, e 4 che richiedono rispettivamente 00000, 50000, e copie. Il giornale viene stampato in tre tipografie T, T e T che producono rispettivamente 5000, e copie. apendo che i costi per la spedizione sono di L. 0/Km per giornale e che le distanze tra le tipografie ed i centri di smistamento sono rispettivamente di 0, 5, 5 e 5 Km. per la prima tipografia,, 4, 8 e 0 Km. per la seconda tipografia e 9,, 40 e Km. per la terza tipografia, la casa editrice vuole pianificare le sue spedizioni giornaliere in modo da minimizzare i costi di spedizione. Formulare il modello di Programmazione Lineare corrispon-dente. Politecnico di Torino Pagina 6 di 0 Data ultima revisione //00

7 Esercizi di programmazione lineare Es. 4 Il ranch LITTLE DIXIE Il proprietario del ranch LITTLE DIXIE sta facendo dei test per determinare la mescola corretta per due classi di alimenti. Entrambi contengono in percentuali differenti quattro diversi tipi di ingredienti essenziali. L'alimento ha un costo unitario di 5 dollari ed è formato per il 40% dall'ingrediente, per il 0% dall'ingrediente, per il 0% dall'ingrediente e per il 0% dall'ingrediente 4. L'alimento ha un costo unitario di dollari ed è formato per il 0% dall'ingrediente, per il 0% dall'ingrediente, per il 40% dall'ingrediente e per il 0% dall'ingrediente 4. apendo che devono essere impiegate come minimo 400 unità dell'ingrediente, 00 unità dell'ingrediente, 00 unità dell'ingrediente e 600 unità dell'ingrediente 4, si vuole determinare la mescola di costo minimo. Formulare il modello di Programmazione Lineare di questo problema. Politecnico di Torino Pagina 7 di 0 Data ultima revisione //00

8 Esercizi di programmazione lineare Es. 5 Un problema di acquisto di aerei Una compagnia aerea sta considerando l'acquisto di nuovi aerei per passeggeri a lunga, media e corta percorrenza. Il prezzo d'acquisto sarebbe di 6,700,000 dollari per ogni aereo a lunga percorrenza, di 5,000,000 dollari per ogni aereo a media percorrenza e di,500,000 per ogni aereo a percorrenza corta. La Compagnia ha autorizzato acquisti al massimo per 50 milioni di dollari. Indipendentemente da quali aerei vengano acquistati, il viaggio aereo su tutte le distanze è considerato sufficientemente richiesto perché questi aerei siano utilizzati alla massima capacità. È stato valutato che il profitto annuale netto (al netto degli ammortamenti)dovrebbe essere di 40,000 dollari per gli aerei a lunga percorrenza, di 00,000$ per gli aerei a media percorrenza e di 0,000$ per gli aerei a percorrenza corta. Politecnico di Torino Pagina 8 di 0 Data ultima revisione //00

9 Esercizi di programmazione lineare È stato previsto che vi sarà un numero sufficiente di piloti esperti per guidare 0 nuovi aerei. e fossero acquistati solo aerei a corta percorrenza, le squadre di manutenzione potrebbero controllare 40 nuovi aerei. Tuttavia, in termini di manutenzione, ogni aeroplano a media percorrenza è equivalente a / aerei a corta percorrenza e ciascun aereo a lunga percorrenza è equivalente a / aerei a corta percorrenza. Le informazioni sopra indicate furono ottenute da un'analisi preliminare del problema. Un'analisi più dettagliata sarà condotta in seguito. Comunque, usando i dati sopra indicati come prima approssimazione, la direzione desidera sapere quanti aerei di ogni tipo si dovrebbero acquistare in modo da rendere massimo il profitto. Formulare il modello in Programmazione Lineare di questo problema. Politecnico di Torino Pagina 9 di 0 Data ultima revisione //00

10 Esercizi di programmazione lineare Es. 6 Un problema di produzione Un'azienda produce tre modelli (I, II e III) di un certo prodotto. Ciascun modello richiede due tipi di materiali grezzi (A e B), di cui sono disponibili rispettivamente 4000 e 6000 unità. In particolare per produrre una unità del modello I sono necessarie unità di A e 4 unità di B; per una unità del modello II sono invece necessarie unità di A e unità di B; infine, per una unità del modello III sono necessarie 5 unità di A e 7 di B. Il modello I richiede una forza lavoro doppia rispetto al modello II e tripla rispetto al modello III; la forza di lavoro disponibile in azienda è in grado di produrre al massimo l'equivalente di 700 unità del modello I. Il settore marketing dell'azienda ha reso noto che la domanda minima per ciascun modello è rispettivamente di 00, 00 e 50 unità. Il profitto unitario di ciascun modello è rispettivamente di 0, 0 e 50 dollari. Formulare il modello di Programmazione Lineare di questo problema che massimizzi il profitto totale. Politecnico di Torino Pagina 0 di 0 Data ultima revisione //00

11 Esercizi di programmazione lineare Es. 7 Un problema di utilizzo di manodopera Un Motel autostradale, dovendo garantire un servizio continuato 4 ore su 4, ha bisogno di un numero minimo di inservienti per ogni ora del giorno secondo la seguente tabella: Ora del giorno Numero minimo di inservienti Ciascun inserviente lavora 8 ore consecutive al giorno. L'obiettivo è quello di garantire la presenza richiesta utilizzando il minor numero possibile di inservienti. Formulare il modello di Programmazione Lineare di questo problema. Politecnico di Torino Pagina di 0 Data ultima revisione //00

12 Esercizi di programmazione lineare Es. 8 Un problema semplificato di schedulazione su più linee Un certo prodotto finale è composto da tre parti che possono essere lavorate su quattro linee differenti di produzione; ogni linea è dotata di una limitata capacità di ore di produzione disponibili. La tabella seguente indica la produttività (in numero di pezzi all'ora) di ciascuna parte su ciascuna linea e la capacità di ciascuna linea. Linea Capacità Produttività (#pezzi/ora) parte parte parte Politecnico di Torino Pagina di 0 Data ultima revisione //00

13 Esercizi di programmazione lineare i vuole determinare il numero di ore di lavorazione di ciascuna parte su ciascuna linea in modo da massimizzare il numero di unità complete del prodotto finale. Formulare il modello di Programmazione Lineare di questo problema. Politecnico di Torino Pagina di 0 Data ultima revisione //00

14 Esercizi di programmazione lineare Es. 9 Un secondo problema di produzione Una certa società ha tre impianti con capacità eccedente. Tutti e tre gli impianti sono in grado di produrre un certo prodotto e la società ha deciso di sfruttare in questo modo una parte della capacità produttiva in eccesso. Questo prodotto può essere fatto in tre dimensioni (grande, media e piccola) che forniscono un guadagno unitario netto di, 0 e 9 dollari. Gli stabilimenti, e hanno manodopera in eccesso e capacità per produrre rispettivamente 500, 600 e 00 unità al giorno di questo prodotto, non considerando l'ampiezza o la combinazione delle dimensioni in gioco. Comunque la disponibilità dello spazio destinato al magazzinaggio durante la produzione limita il processo produttivo. Gli stabilimenti, e hanno 9000, 8000 e 500 m di spazio disponibile per questo prodotto. Ogni unità prodotta al giorno, in dimensione grande, media o piccola, richiede rispettivamente 0, 5 e 0 m. Politecnico di Torino Pagina 4 di 0 Data ultima revisione //00

15 Esercizi di programmazione lineare Le previsioni di vendita indicano che si possono vendere al giorno, rispettivamente, al massimo 600, 800 e 500 unità dei prodotti in grande media e piccola dimensione. Per mantenere un carico di lavoro uniforme tra gli stabilimenti e per ottenere una certa flessibilità, la direzione ha deciso che la produzione assegnata in più ad ogni stabilimento deve usare la medesima percentuale della capacità produttiva in eccesso. La direzione desidera conoscere la quantità divisa per taglie da produrre in ciascuno degli impianti in modo da rendere massimo il guadagno. Formulare il modello in Programmazione Lineare di questo problema. Politecnico di Torino Pagina 5 di 0 Data ultima revisione //00

16 Esercizi di programmazione lineare Es. 0 Un problema di finanziamento Un finanziere ha due piani di investimento A e B disponibili all'inizio di ciascuno dei prossimi cinque anni. Ogni dollaro investito in A all'inizio di ogni anno dà, due anni più tardi, un profitto di 0.4 dollari (e può essere immediatamente reinvestito). Ogni dollaro investito in B all'inizio di ogni anno dà, tre anni dopo, un profitto di 0. dollari. In più da un certo momento in avanti sarà possibile sfruttare anche i piani di investimento C e D. In particolare, ogni dollaro investito in C all'inizio del secondo anno raddoppierà dopo quattro anni. Ogni dollaro investito in D all'inizio del quinto anno darà un profitto di 0. dollari l'anno successivo. Anche per i piano di investimento B, C e D vale la possibilità di reinvestimento come per il piano A. Politecnico di Torino Pagina 6 di 0 Data ultima revisione //00

17 Esercizi di programmazione lineare Il finanziere ha a disposizione 0000 dollari e vuole sapere quale piano di investimento massimizza la somma di denaro che può accumulare all'inizio del sesto anno. Formulare il modello in Programmazione Lineare per questo problema. Politecnico di Torino Pagina 7 di 0 Data ultima revisione //00

18 Esercizi di programmazione lineare ol. Il problema dello zaino Il modello è il seguente: f. o.:ma z = 0A 0B 6C D 0E s. a. A B C A B C 6 D 0 E F 0 A, B, C, D, E, F Z D E F 0 8F A=cioccolata B=succhi di frutta C=Lattine di birra D=Panini imbottiti E=Acqua minerale F=Pacchi di biscotti Politecnico di Torino Pagina 8 di 0 Data ultima revisione //00

19 Esercizi di programmazione lineare ol. L'acciaieria PLATIK iano, e rispettivamente, il numero di confezioni di tipo, e. i avrà: f. o. : min z = 0000 s. t.,, Z Vincolo sulla quantità minima di manganese Vincolo sulla quantità minima di cromo Vincolo sulla quantità minima di molibdeno Politecnico di Torino Pagina 9 di 0 Data ultima revisione //00

20 Esercizi di programmazione lineare ol. La casa editrice ANALFABETA ia ij il numero di giornali stampato nella tipografia i e distribuito nel centro di smistamento j. i avrà: f. o.:minz = s. t ij Z i, j Politecnico di Torino Pagina 0 di 0 Data ultima revisione // Vincoli sul numero di giornali che devono raggiungere ogni stabilimento Vincoli sul numero di giornali che possono essere spediti da ogni tipografia

21 Esercizi di programmazione lineare ol. 4 Il ranch LITTLE DIXIE ia la quantità prodotta dell'alimento I e sia la quantità prodotta dell'alimento II; si avrà: f. o.: min z = 5 s. t i R i Vincoli sugli ingredienti Politecnico di Torino Pagina di 0 Data ultima revisione //00

22 Esercizi di programmazione lineare ol. 5 Un problema di acquisto di aereoplani iano: A L = numero di aerei a lunga percorrenza da acquistare A M = numero di aerei a media percorrenza da acquistare A C = numero di aerei a corta percorrenza da acquistare f. o.: ma z = 40000A s. t. A A A AL A 6.7A 5A A L L L, A M M, A C M M C A Z.5A C L 40 C 00000A 50 M 0000A C Vincolo sui piloti Vincolo sulle squadre di manutenzione Vincolo sulla spesa massima sostenibile Politecnico di Torino Pagina di 0 Data ultima revisione //00

23 Esercizi di programmazione lineare ol. 6 Un problema di produzione ia i la quantità prodotta del modello i; si avrà: f. o.: ma z = 0 s. t. 4 Z Politecnico di Torino Pagina di 0 Data ultima revisione //00 i i Vincolo sulla forza lavoro Vincoli sulla domanda minima Vincoli sui materiali

24 Esercizi di programmazione lineare ol. 7 Un problema di utilizzo di manodopera i identificano i seguenti turni: Turno = 0-0 Turno = 06-4 Turno = 0-8 Turno 4 = 4- Turno 5 = 8-0 Turno 6 = -06 Politecnico di Torino Pagina 4 di 0 Data ultima revisione //00

25 Esercizi di programmazione lineare ia i il numero di inservienti che cominciano la propria attività lavorativa all'inizio del turno i; si avrà: f. o.: min z s. t. = i Z i Vincolo sul turno Vincolo sul turno Vincolo sul turno Vincolo sul turno 4 Vincolo sul turno 5 Vincolo sul turno 6 Politecnico di Torino Pagina 5 di 0 Data ultima revisione //00

26 Esercizi di programmazione lineare ol. 8 Un problema semplificato di schedulazione su più linee ia ij il numero di ore di lavorazione della parte j sulla linea di produzione i. i ottiene: 5 s. t. 0 ij Z i, j { f. o.: ma z = min , , Vincoli sulla capacità di ciascuna linea } Politecnico di Torino Pagina 6 di 0 Data ultima revisione //00

27 Esercizi di programmazione lineare La funzione obiettivo scritta in questo modo non è lineare. Per renderla lineare, basta introdurre una nuova variabile y modificando la funzione obiettivo nel modo seguente: ma z = y ed introducendo i seguenti vincoli: che andranno aggiunti ai vincoli di capacità della linea e di non negatività e interezza delle variabili y y y Politecnico di Torino Pagina 7 di 0 Data ultima revisione //00

28 Esercizi di programmazione lineare ol. 9 Un secondo problema di produzione iano: ig = unità di prodotto di grandi dimensioni realizzato nello stabilimento i; im = unità di prodotto di medie dimensioni realizzato nello stabilimento i; ip = unità di prodotto di piccole dimensioni realizzato nello stabilimento i. f. 9 o. :ma z = ( G G G ) 0( M M M ) ( ) s. t. P G G G P M M M P P P P Vincoli di capacità relativa alla manodopera Politecnico di Torino Pagina 8 di 0 Data ultima revisione //00

29 Esercizi di programmazione lineare Politecnico di Torino Pagina 9 di 0 Data ultima revisione //00 Politecnico di Torino ( ) ( ) ( ) ( ) i Z ip im ig P M G P M G P M G P M G P P P M M M G G G G M P G M P G M P = =,, Limiti di dimensione degli stabilimenti Vincoli sulle previsioni di vendita tessa percentuale di manodopera in eccesso

30 Esercizi di programmazione lineare ol. 0 Un problema di finanziamento iano A i = dollari investiti nel piano A all'anno i-esimo; B i = dollari investiti nel piano B all'anno i-esimo; C i = dollari investiti nel piano C all'anno i-esimo; D i = dollari investiti nel piano D all'anno i-esimo. f. o.: ma z = 0.4A 0.B 0.4A 0.B C 0.4A s. t. A A A A D D B B B A A C A B B A, B, C, D i 4 i i i A B B C R B C C 0.4A Politecnico di Torino Pagina 0 di 0 Data ultima revisione //00 i 0000 B 0.4A 0.4A 0.B 0.B 0000 Vincolo sul primo anno 0.4A 0.4A 0.B 0.4A A 0.B Vincolo sul secondo anno Vincolo sul terzo anno 0000 Vincolo sul quarto anno Vincolo sul quinto anno