Ottimizzazione (1 mod., 6 crediti, 48 ore, a.a , lez.2)

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Taddeo Rocco
6 anni fa
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1 Docente: Marco Gaviano Corso di Laurea in Infomatica Corso di Laurea in Matematica Ottimizzazione ( mod., 6 crediti, 8 ore, a.a. 09-0, lez.)

2 Esempi di problemi risolvibili mediante l ottimizzazione Scelta di una strategia di produzione Un azienda deve decidere la strategia per la produzione di un certo prodotto: si utilizzano operai e materiali vari. La quantità di materiale disponibile giornalmente è: 00 Kg. Ugualmente c è un vincolo per le ore di lavoro disponibili: 50 ore. Si possono utilizzare linee di produzione ciascuna con caratteristiche diverse:

3 linea produzione A B C n.ore lavoro per unità prodotta 7 6 quantità materiale per unità prodotta 5 profitto

4 Problema Si vogliono determinare le quantità prodotte dalle linea di produzione A, B e C in modo da ottenere il massimo profitto Il problema può tradursi in linguaggio matematico nel modo seguente

5 5 Ottimizzazione, a.a. 09-0, Lezione, n. negatività) non (vincoli 0 0, 0, disponibile) materiale (vincolo 00 5 disponibili) ore (vincolo condizioni le sotto ),, z( Massimizzare C B A C B A C B A C B A C B A =

6 Gestione di un bacino idroelettrico Si abbia un bacino d'acqua che rifornisce n centrali idroelettriche E i i=,,n secondo il seguente schema Bacino d acqua c c c n E E E n 6

7 Le centrali devono produrre energia elettrica con la condizione che vengano rispettati i seguenti vincoli. Ogni condotta ha una portata massima c i per ora. La quantità di energia prodotta deve essere in un'ora maggiore o uguale a P k, k=,..,. In una giornata può essere consumata al più una quantità d'acqua Q. 7

8 Problema Si vogliono determinare le portate orarie i,k di ciascuna condotta in modo da soddisfare i vincoli. (si sa che ad un portata i,k corrisponde una potenza a i,k ). Il problema può tradursi in linguaggio matematico nel modo seguente 8

9 Modellizzazione matematica Minimizzare z() = sotto le condizioni i,k i i,k a i,k i,k c Q P k i i,k i,k (vincoli sulla portata) (quantità d'acqua prelevata) (potenza erogata nell'ora k) 9

10 Scelta di una Campagna Pubblicitaria Una azienda di pubblicità deve pianificare una campagna di spot pubblicitari in televisione, alla radio e sui giornali. L azienda ha fissato una spesa totale non superiore a Eu. Inoltre richiede che a) Almeno milioni siano i potenziali utenti donne. b) La spesa per la televisione non superi Eu. c) Almeno spot siano in televisione la mattina. d) Almeno spot siano in televisione la sera. e) Il numero di spot su radio e giornali siano tra 5 e 0. 0

11 Si dispone della seguente tabella Televisione Televisione Radio Giornali mattino sera Costo per una unità pubblicitaria No.potenz. utenti per una unità pubbl No.potenz. donne per una unità pubbl

12 Problema Si vogliono determinare le unità pubblicitarie per ciascun media in modo da raggiungere il numero massimo di potenziali utenti Il problema può tradursi in linguaggio matematico nel modo seguente

13 Modellizzazione matematica Si denotino con,, e le unità pubblicitarie da calcolare per i vari media. Il numero di potenziali utenti è espresso dalla funzione obbiettivo z ( ) = Ciascun vincolo può tradursi in una disequazione. Il problema può descriversi come

14 Ottimizzazione, a.a. 09-0, Lezione, n. 0, 5, 0, 5,,, telev.) costo (vincolo donne) utenti (vincolo totale) costo (vincolo condizioni le sotto z() Minimizzare =

15 Miscellazione ottimale Ottimizzazione, a.a. 09-0, Lezione, n. Una compagnia petrolifera produce due tipi di benzina normale e verde che vende alla sua catena di distribuzione per e euro al barile. Le due benzine provengono da petrolio nazionale ed importato. Esse devono soddisfare i requisiti della seguente tabella Pressione massima vapore numero minimo ottani domanda massima barile/sett consegne minime barile/sett Normale Verde

16 Le caratteristiche delle scorte sono pressione vapore numero ottani scorte barili costo euro/barile nazionale importato

17 Problema Quali quantità dei due petroli (nazionale ed importato) devono essere miscelati nelle due benzine per ottenere il massimo profitto settimanale? Il problema può tradursi in linguaggio matematico nel modo seguente 7

18 Si pone Ottimizzazione, a.a. 09-0, Lezione, n. Modellizzazione matematica barili di petrolio nazionale miscelato nella benzina normale barili di petrolio estero miscelato nella benzina normale barili di petrolio nazionale miscelato nella benzina verde barili di petrolio estero miscelato nella benzina verde è la quantità di benzina normale prodotta. Essa dà il ricavo ( ). La quantità di benzina verde venduta dà il ricavo ( ). 8

19 Si impiegherà la quantità di petrolio nazionale al costo di 8( ) e di petrolio importato al costo 5( ). Dunque si deve massimizzare (funzione obbiettivo) z = ( )( )-8( )-5( ) = - 6-9

20 Si devono ora soddisfare i vincoli. Per la domanda si ha (massima domanda di benzina normale) (massima domanda di benzina verde) (fabbisogno minimo di benzina normale) (fabbisogno minimo di benzina verde). Per la disponibilità si ha (nazionale) (estero). 0

21 I componenti di una miscela contribuiscono a determinare il numero complessivo di ottani a seconda della propria percentuale di peso; lo stesso vale nel caso della pressione del vapore. Pertanto il numero di ottani della benzina normale è ed il requisito richiesto che questo tipo di benzina abbia almeno 88 ottani è espresso da -0 0;

22 Analogamente si ottiene 6-5 < 0 (vincolo relativo agli ottani della verde) -8 < 0 (vincolo relativo alla pressione del vapore nella normale) -8 < 0 (vincolo relativo alla pressione del vapore nella verde) Considerando i vincoli di non negatività si ottiene il problema finale

23 assimizzare z( ) otto le condizioni = massima domanda normale massima domanda verde scorte nazionale scorte estero

24 Ottimizzazione, a.a. 09-0, Lezione, n. 0,,, verde richiesta 5000 normale richiesta vapore verde 0 8 vapore normale 0 8 verde ottani normale ottani 0 0

25 Criteri di Modellizzazione Raccogliere il maggior numero di elementi che descrivono la situazione reale. Costruire un modello il più vicino possibile alla realtà. Condurre rigorosamente la fase di costruzione del modello. Non costruire un modello sofisticato quando uno semplice è sufficiente. Non dimenticare che un modello è un astrazione della realtà. 5

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