Modelli di Ottimizzazione: definizione formale
|
|
|
- Aloisio Davide Grasso
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Modelli di Ottimizzazione: definizione formale Insieme delle possibili alternative Un criterio di ottimizzazione Soluzione ammissibile (Feasible) x appartiene ad un insieme F f: F funzione obiettivo finito infinito min xf f ( x) o max xf f ( x)
2 Un esempio banale Definizione del problema Quale è il più breve cammino per andare dal posto A al posto B? Soluzioni ammissibili F={x=tutti i possibili percorsi da A a B} Funzione obiettivo Minimizzare la lunghezza f del percorso
3 Un esempio meno banale: Pianificazione di una produzione Una fabbrica produce due tipi di attrezzi: Chiavi inglesi e pinze. Le chiavi costano alla produzione.5 ciascuna Le pinze costano alla produzione ciascuna Costi di produzione Le chiavi sono vendute a 6 ciascuna Le pinze sono vendute a 5 ciascuna Prezzo di vendita Valutare il profitto Funzione obiettivo
4 Uno scenario possibile 5 chiavi Supponiamo di costruire 5 pinze Definiamo i dati del problema profitto unitario = prezzo di vendita costo di produzione 4,5 = (6,5) profitto per chiave 4 = (5 ) profitto per pinza Funzione obiettivo= profitto totale P TOT P TOT = numero di chiavi * profitto per chiave + numero di pinze * profitto per pinze
5 Uno scenario possibile (2) Formalmente: CH = numero di chiavi da produrre PI = numero di pinze da produrre variabili output del nostro modello Espressione del profitto 5 P TOT = 4,5 CH + 4 PI = 4,5 * * 5 = 275 profitto per chiavi Profitto per pinze 5 Risulta il miglior valore?
6 Uso di Excel per caricare i dati Usiamo un foglio Excel per rappresentare dati e obiettivo CH= C8 = numero di chiavi PI = D8 = numero di pinze 4,5 = profitto u. chiavi = C4 C5 4 = profitto u. pinze = D4 D5 P TOT = 4,5 CH + 4 PI equazione del profitto C9 = C6 * C8 + D6 * D8 formula di Excel
7 Vincoli Ciascun punto del I quadrante è una soluzione ammissibile (feasible) (un possibile piano di produzione) Chiavi (migliaia) (25) (68) (275) { x : x Pinze (migliaia) In teoria: più produco più guadagno! In pratica: esistono dei vincoli che limitano la produzione F } Profitto Totale
8 Un vincolo standard: il budget Vincolo di budget: il costo totale non può superare i 8 CH = C8 = numero di chiavi PI = D8 = numero di pinze C TOT = costo totale C TOT =,5 CH + PI Costo per chiave Costo per pinza C = C5 * C8 + D5 * D8 C TOT =,5 CH + PI budget =8 Equazione del costo Vincolo di budget
9 Rappresentazione geometrica del vincolo Rappresentiamo l insieme F delle soluzioni ammissibili Nel piano (PI, CH), disegnamo l equazione del Regione ammissibile CH C TOT = 2 C TOT = 2 vincolo di budget I punti del I quadrante sotto la linea C TOT = PI,5 CH + PI = 8 > 8: non ammissibile 8 8: ammissibile
10 Rappresentazione geometrica del vincolo Noi dobbiamo trovare la soluzione giusta tra quelle ammissibili CH giusta Deve soddisfare il vincolo di budget Deve massimizzare il profitto PI 8 I punti nella zona rossa soddisfano il vincolo di budget. Quale è il migliore?
11 Vediamo diversi scenari Scenari con Excel 7 chiavi pinze 8 produzione profitto 25 Costo 7 Budget 8 differenza Ammissibile 7 chiavi pinze 8 produzione 5 9 profitto 69 costo 8 budget 8 differenza 7 chiavi pinze 8 produzione profitto 275 costo 375 budget 8 2 differenza -95 Non ammissibile 7 chiavi pinze 8 produzione 2 9 profitto 53 costo 7 budget 8 differenza Ammissibile Ammissibile E una possibilità? Il migliore tra i tre. E l ottimo?
12 Limite dell approccio Cosa accade se... Gli scenari sono troppi: infinite soluzioni! Non è possibile esplorarle tutte! Noi potremmo chiederci se le cose potrebbero andare meglio quando il numero delle soluzioni è finito Questo non è sempre vero, vediamolo con un esempio
13 Un primo esempio: capital budgeting Definizione del problema Dati Una azienda sta analizzando 3 possibili progetti finanziari da attivare per il prossimo anno Investimenti (I) richiesti per ciascun progetto Guadagni (G) previsti per ciascun progetto I progetto 8 progetto 2 6 progetto 3 5 G progetto 2 progetto 2 8 progetto 3 7 Budget 5 milioni
14 Capital budgeting: uno scenario possibile Selezionato (SI = ) Per ciascun progetto Non selezionato (NO = ) Progetto Progetto 2 Progetto 3 Si = No = Si Investimento richiesto = = 3 Guadagno previsto = = 9 E il migliore?
15 Capital budgeting I progetto 8 progetto 2 6 progetto 3 5 totale I Budget 5 milioni,,,,, ' ' Possibili scelte Non accettabile Sono tutte compatibili con il budget?
16 Un cattivo modello: capital budgeting G progetto 2 progetto 2 8 progetto 3 7 totale G ,,,, ' ' Possibili scelte F= Valore ottimo Qual è la migliore rispetto al guadagno?
17 Un cattivo modello: capital budgeting Soluzioni ammissibili Rappresentazione esaustiva 2 n = numero enorme per n grande Diventa impossibile rappresentarli Dipendenza dai dati Se i dati cambiano, tutto il modello deve essere cambiato
18 Un buon modello: capital budgeting Rappresentazione implicita delle soluzioni ammissibili Indipendenza dai dati se il progetto i è selezionato Variabili di decisione x i = se il progetto i non è selezionato Vincolo di budget 8 x +6 x 2 +5 x 3 5 budget Investimento per il progetto Investimento per il progetto 2 Investimento per il progetto 3
19 Un buon modello: capital budgeting se il progetto i è selezionato x i = se il progetto i non è selezionato Guadagni 2 x +8 x 2 +7 x 3 Guadagni per il progetto Guadagni per il progetto 2 Guadagni per il progetto 3 Se i dati cambiano, solo i coefficienti devono essere cambiati, mentre il modello rimane invariato
20 Costruzione di un buon modello: regole generali Definizione delle variabili di decisione definizione degli obiettivi x i = se il progetto è i è selezionato se il progetto è i non è selezionato i=,2,3 max 2 x +8 x 2 +7 x 3 Guadagni Definizione dei vincoli 8 x +6 x 2 +5 x 3 5 budget
21 Capital Budget con Excel B C D E 2 Capital Budgeting 3 progetto progetto 2 progetto 3 4 investimento guadagno dati 6 7 Valori di tentativo 8 investimento totale 6 5 budget 9 guadagno totale 8 Variabili di dcisione intere c7,d7,e7 Obiettivo C5*C7+D5*D7+E5*E7 Vincoli C4*C7+D4*D7+E4*E7
22 Rappresentazione del problema di produzione Gli scenari sono troppi Dobbiamo trovare un altro metodo CH Descriviamo la regione ammissibilef (area rossa) Tracciamo la retta del profitto P TOT 4,5 CH + 4 PI = 69 PI Valore ottimale attuale
23 Rappresentazione del problema CH Direzione di crescita Tracciamo la retta del profitto P TOT P TOT =4 CH + 4,5 PI per valori crescenti di P TOT = 8 PI 8 56 Val.ottimo precedente Ottimo!!
Modelli matematici avanzati per l azienda a.a
Modelli matematici avanzati per l azienda a.a. 2014-2015 Docente: Pasquale L. De Angelis deangelis@uniparthenope.it tel. 081 5474257 http://www.disaq.uniparthenope.it/ P.L.DeAngelis Modelli matematici
Excel: una piattaforma facile per l ottimizzazione. Excel ha un toolbox di ottimizzazione: Risolutore
Excel: una piattaforma facile per l ottimizzazione Excel ha un toolbox di ottimizzazione: Risolutore Il problema di produzione con Excel Consideriamo il foglio Excel Variabili di decisione reali c8,d8
Excel: una piattaforma facile per l ottimizzazione. Excel ha un toolbox di ottimizzazione: Risolutore
Excel: una piattaforma facile per l ottimizzazione Excel ha un toolbox di ottimizzazione: Risolutore Il problema di produzione con Excel Consideriamo il foglio Excel Variabili di decisione reali c8,d8
IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA PIANO CARTESIANO DISTANZA TRA DUE PUNTI P (X 1,Y 1 ) Q (X 2,Y 2 ) PQ (X 2 2 2 X1) (Y2 Y1 ) PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO X M X 1 X 2 2 Y M Y 1 Y 2 2 ESERCITAZIONI 1. DATI I
PROBLEMI DI SCELTA dipendenti da due variabili d azione
prof. Guida PROBLEMI DI SCELTA dipendenti da due variabili d azione in un problema di programmazione lineare, si ricorda che la funzione obiettivo z=f(x,y)=ax+by+c assume il suo valore massimo (o minimo)
Fondamenti di Business Analytics classi M2/M3 Michele Impedovo anno accademico
Fondamenti di Business Analytics 20486 classi M2/M3 Michele Impedovo anno accademico 2016-2017 Parte II. Decisioni in condizioni di certezza Lezione 7 Programmazione Lineare (PL): il problema Il punto
Il piano cartesiano e la retta
Il piano cartesiano e la retta PIANO CARTESIANO DISTANZA TRA DUE PUNTI P (X 1,Y 1 ) Q (X,Y ) PQ (X X1) (Y Y1 ) PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO X M X 1 X Y M Y 1 Y ESERCITAZIONI 1. DATI I PUNTI A(3,-) E B(-5,4):
ALCUNI ESEMPI DI PROBLEMI TIPICI DI RICERCA OPERATIVA
ALCUNI ESEMPI DI PROBLEMI TIPICI DI RICERCA OPERATIVA nov 5 0.13 1 1A. Una fabbrica di detersivi può produrre giornalmente al massimo 70 Kg di detersivo, che rivende a 1.8 al Kg. Per la produzione sostiene
Esercitazione n o 3 per il corso di Ricerca Operativa
Esercitazione n o 3 per il corso di Ricerca Operativa Ultimo aggiornamento October 17, 2011 Fornitura acqua Una città deve essere rifornita, ogni giorno, con 500 000 litri di acqua. Si richiede che l acqua
Appendice A: un esempio di scelta del mix ottimo di produzione in presenza di vincoli 19
14 18-12-07 19:04 Pagina 411 Le decisioni di breve termine fra alternative diverse 411 i minori costi differenziali, almeno nella misura in cui la dimensione di costo è la più importante. Sebbene i costi
PROGRAMMAZIONE LINEARE ESEMPIO INTRODUTTIVO. L azienda usa l officina A e l officina B con le seguenti ORE UNITARIE: A B Testing 30 10
ESEMPIO INTRODUTTIVO Una azienda metalmeccanica deve produrre 2 tipi di Prodotti (Cuscinetti): Cuscinetto a sfera (P1): Profitto=5000ITL/pezzo Cuscinetto a rulli (P2): Profitto=4000 ITL/pezzo L azienda
IL PROGETTO QUALITA TOTALE 2007-2013
UNIONE EUROPEA IL PROGETTO QUALITA TOTALE 2007-2013 Sentirsi protagonisti per il successo del progetto Prologo 16 luglio 2009 TU IO NOI Prologo al 1 Incontro
Facoltà di Farmacia Corso di Matematica con elementi di Statistica Docente: Riccardo Rosso. Cenni sulla programmazione lineare
Facoltà di Farmacia Corso di Matematica con elementi di Statistica Docente: Riccardo Rosso Cenni sulla programmazione lineare Illustriamo le idee di fondo della programmazione lineare, disciplina matematica
Lezione 2 Un modello di produzione
LABORATORIO RICERCA OPERATIVA Lezione 2 Un modello di produzione Laura Palagi Dipartimento di Ingegneria informatica automatica e gestionale A. Ruberti Sapienza Universita` di Roma Un problema multi impianto
Problema 6 * * * x = numero di cassonetti di tipo A y = numero di cassonetti di tipo B f(x, y) = 500x + 600y da massimizzare Vincoli:
Problema 6 Un industria specializzata produce due tipi di cassonetti A e B per la raccolta differenziata dei rifiuti. Le macchine utilizzate per la produzione non possono produrre giornalmente più di 40
OFFERTA DI LAVORO. p * C = M + w * L
1 OFFERTA DI LAVORO Supponiamo che il consumatore abbia inizialmente un reddito monetario M, sia che lavori o no: potrebbe trattarsi di un reddito da investimenti, di donazioni familiari, o altro. Definiamo
Lezione n 16. Lezioni di Ricerca Operativa. Corso di Laurea in Informatica Università di Salerno. Prof. Cerulli Dott.ssa Gentili Dott.
Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica Università di Salerno Lezione n 6 Teoria della dualità: - Esempio Prof. Cerulli Dott.ssa Gentili Dott. Carrabs Esercizio (P) min - 4 5 a) Data
Programmazione Matematica: III.1 - Programmazione Lineare
Programmazione Matematica: III.1 - Programmazione Lineare Daniele Vigo D.E.I.S. Università di Bologna dvigo@deis.unibo.it rev. 1.0 ottobre 2003 Programmazione Lineare Def.: (F, ϕ ) è un problema di Programmazione
M. Marra Appunti delle Lezioni di Ricerca Operativa Problemi e metodi di ottimizzazione PROBLEMI E METODI DI OTTIMIZZAZIONE
CAPITOLO I PROBLEMI E METODI DI OTTIMIZZAZIONE 1. Componenti di base Tutti i problemi di ottimizzazione dipendono da tre componenti di base: le variabili del problema, la funzione obiettivo ed i vincoli.
Il problema dello zaino: dalla gita in montagna ai trasporti internazionali. Luca Bertazzi
Il problema dello zaino: dalla gita in montagna ai trasporti internazionali Luca Bertazzi 0 Ricerca Operativa (Operations Research) The Science of Better Modelli e algoritmi per la soluzione di problemi
LA TEORIA DELL OFFERTA: LE IMPRESE
LA TEORIA DELL OFFERTA: LE IMPRESE L obiettivo della quarta e quinta unità didattica sarà, tra gli altri, quello di legittimare, da un punto di vista teorico, l ipotesi che la funzione di offerta in mercati
Ist. di economia, Corso di Laurea in Ing. Gestionale, I canale (A-L), A.A Prof. R. Sestini SCHEMA DELLE LEZIONI DELLA QUINTA SETTIMANA
Ist. di economia, Corso di Laurea in Ing. Gestionale, I canale (A-L), A.A. 2014-2015. Prof. R. Sestini SCHEMA DELLE LEZIONI DELLA QUINTA SETTIMANA TEORIA DELL IMPRESA Il modello di comportamento dell impresa
Risolvere lo stesso problema ipotizzando che le scarpe siano vendute a 40 il paio e che gli scarponi siano venduti a 90 il paio.
Problema 1 Un'industria calzaturiera produce scarpe da tennis che vende a 40 il paio e scarponi da trekking che vende a 50 il paio. Ogni paio di scarpe richiede 6 minuti di lavorazione a macchina e 5 minuti
Capitolo 12: Curve di costo
Capitolo 12: Curve di costo 12:1 Introduzione Nel capitolo 11 abbiamo definito la combinazione ottima di input per ogni livello di output e determinato il costo minimo al quale un certo livello di output
Vediamo come risolvere un problema di PL con Excel. Riprendiamo un esercizio già visto.
Esempio di risoluzione di un problema di PL con Excel Vediamo come risolvere un problema di PL con Excel. Riprendiamo un esercizio già visto. Un azienda vinicola desidera produrre due tipi di vino: uno
1) Data la seguente istanza di TSP (grafo completo con 5 nodi): c 12 = 52; c 13 = 51; c 14 = 40; c 15 = 53; c 23 = 44;
1) Data la seguente istanza di TSP (grafo completo con 5 nodi): c 12 = 52; c 13 = 51; c 14 = 40; c 15 = 53; c 23 = 44; c 24 = 15; c 25 = 12; c 34 = 32; c 35 = 55; c 45 = 24 Si calcoli l ottimo duale (formulazione
Programmazione Matematica Lineare
Programmazione Matematica Lineare Problema di Programmazione Matematica (PM) (problema di ottimizzazione) max f(x) s.t. x R n vettore delle variabili decisionali insieme delle soluzioni ammissibili funzione
Introduzione alla programmazione lineare
Introduzione alla programmazione lineare struttura del problema di PL forme equivalenti rappresentazione e soluzione grafica rif. Fi 1.2; BT 1.1, 1.4 Problema di programmazione lineare Dati: un vettore
Un problema di Capital Budgeting
LABORATORIO RICERCA OPERATIVA Un problema di Capital Budgeting Laura Palagi Dipartimento di Ingegneria informatica automatica e gestionale A. Ruberti Sapienza Universita` di Roma Capital Budgeting (Pianificazione
Corso di Scelte degli individui, strategie d impresa e strutture di mercato Facoltà di Giurisprudenza LIUC Prof.ssa Donatella Porrini - a.a.
Corso di Scelte degli individui, strategie d impresa e strutture di mercato Facoltà di Giurisprudenza LIUC Prof.ssa Donatella Porrini - a.a. 2017-2018 TERZA LEZIONE 14 marzo 2018 I COSTI E I RICAVI DELL
La programmazione lineare
La programmazione lineare Se un problema economico si traduce in un problema di scelta in condizioni di certezza e con effetti immediati siamo in presenza di un problema di Programmazione lineare. Abbiamo
Fac-simile dell esame di Ricerca Operativa. max 7 x 1 2 x 2 3 x 1 +x 2 2 x 1 2 x 2 3 x x 1 +x x 1 x 2 5
Fac-simile dell esame di Ricerca Operativa (Cognome) (Nome) (Numero di Matricola) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x x x +x x x x x +x x
Ricerca Operativa. Ricerca Operativa p. 1/2
Ricerca Operativa Ricerca Operativa p. 1/2 Ricerca Operativa Disciplina basata sulla modellizzazione e la risoluzione tramite strumenti automatici di problemi di decisione complessi. In tali problemi la
Problema Determinare la miscelazione ottimale delle materie prime in modo da massimizzare il profitto complessivo
Mix Produttivo Si dispone di i=1,...,m risorse produttive (ad esempio, materie prime) in quantità limitata. La massima disponibilità delle risorse è b 1,...,b m Si possono produrre j=1,...,n diversi prodotti
Ricerca Operativa. G. Liuzzi. Lunedí 9 Marzo Programmazione Matematica Geometria di R n Esempi Teoria della PL Forma Standard. logo.
1 Lunedí 9 Marzo 2015 1 Istituto di Analisi dei Sistemi ed Informatica IASI - CNR Problema di Ottimizzazione min(o max) f (x) con la restrizione x S dove f (x) : R n R è detta funzione obiettivo S R n
Soluzione. 8.1 Campagna pubblicitaria. Exercise session 8 Optimization Prof. E. Amaldi. Insiemi. I = {1,...,m}: insieme delle radio
Soluzione 8.1 Campagna pubblicitaria Insiemi I = {1,...,m}: insieme delle radio J = {1,...,n}: insieme dei giornali Variabili r i r 1 i : minuti sulla stazione radiofonica i I (sotto i 25) : minuti sulla
FUNZIONI LINEARI (Retta, punto di pareggio e relazioni lineari generalizzate)
FUNZIONI LINEARI (Retta, punto di pareggio e relazioni lineari generalizzate) Copyright SDA Bocconi, Milano La retta Una retta può essere espressa secondo due formulazioni: a. Forma esplicita b. Forma
Lezioni di Ricerca Operativa 2 Dott. F. Carrabs
Lezioni di Ricerca Operativa Dott. F. Carrabs.. 009/00 Lezione 6: - mmissibilità di un vincolo - Vincoli alternativi - Vincoli alternativi a gruppi - Rappresentazione di funzioni non lineari: Costi fissi
Esame di Ricerca Operativa del 11/02/2015
Esame di Ricerca Operativa del /0/0 (Cognome) (Nome) (Matricola) Esercizio. Un azienda produce tipi di TV (, 0, 0 e pollici) ed è divisa in stabilimenti (A e B). L azienda dispone di 0 operai in A e 0
NOTE DI MATEMATICA APPLICATA ALL ECONOMIA
NOTE DI MATEMATICA APPLICATA ALL ECONOMIA «[ ] lo scopo dell analisi infinitesimale è quello di fare acquisire strumenti di calcolo atti alla ricerca ottimale di funzioni vincolate, soprattutto di natura
Prerequisiti didattici
Università degli Studi di Ferrara 2014-2015 Corso TFA - A048 Matematica applicata Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza 1 aprile 2015 Appunti di didattica della matematica applicata
I costi d impresa (R. Frank, Capitolo 10)
I costi d impresa (R. Frank, Capitolo 10) COSTI Per poter realizzare la produzione l impresa sostiene dei costi Si tratta di scegliere la combinazione ottimale dei fattori produttivi per l impresa È bene
Esercitazione n o 3 per il corso di Ricerca Operativa
Esercitazione n o 3 per il corso di Ricerca Operativa Ultimo aggiornamento November 1, 2011 Fornitura acqua Una città deve essere rifornita, ogni giorno, con 500 000 litri di acqua. Si richiede che l acqua
LA TEORIA DELL OFFERTA. Tecnologia e costi di produzione
LA TEORIA DELL OFFERTA Tecnologia e costi di produzione IL COMPORTAMENTO DELL IMPRESA In questa lezione approfondiremo l analisi del comportamento delle imprese e quindi delle determinanti dell offerta.
ESERCITAZIONE 4 (5/11/2014) ESERCIZIO 1
ESERCITAZIONE 4 (5/11/2014) ESERCIZIO 1 1. Cosa rappresenta la funzione di produzione? La funzione di produzione associa ad un data allocazione di input (Q k ; Q L ) un certo livello di output (Y) 1. Cosa
LEZIONE N. 6 - PARTE 1 - Introduzione
LEZIONE N. 6 PROGRAMMAZIONE LINEARE IN MARKAL, SOLUZIONE DEI PROBLEMI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE CON: IL METODO GRAFICO ED IL METODO DEL SIMPLESSO. PROPRIETÀ DELLA DUALITÀ ED ESEMPI DI SOLUZIONE DEL PROBLEMA
LEZIONE N. 6 - PARTE 1 - Introduzione
LEZIONE N. 6 PROGRAMMAZIONE LINEARE IN MARKAL, SOLUZIONE DEI PROBLEMI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE CON: IL METODO GRAFICO ED IL METODO DEL SIMPLESSO. PROPRIETÀ DELLA DUALITÀ ED ESEMPI DI SOLUZIONE DEL PROBLEMA
Economia, Corso di Laurea Magistrale in Ing. Elettrotecnica, A.A Prof. R. Sestini SCHEMA DELLE LEZIONI DELLA QUINTA E SESTA SETTIMANA
Economia, Corso di Laurea Magistrale in Ing. Elettrotecnica, A.A. 2013-2014. Prof. R. Sestini SCHEMA DELLE LEZIONI DELLA QUINTA E SESTA SETTIMANA In sintesi, una tecnologia costituisce un insieme di piani
Massimizzazione del profitto Appunti - Bozza
Massimizzazione del profitto Appunti - Bozza Indice 1 Premessa 1 2 Massimizzazione del profitto 1 2.1 Introduzione............................ 1 2.2 Il costo............................... 2 2.3 Il ricavo..............................
percorso 4 Estensione on line lezione 2 I fattori della produzione e le forme di mercato La produttività La produzione
Estensione on line percorso 4 I fattori della produzione e le forme di mercato lezione 2 a produzione a produttività Una volta reperiti i fattori produttivi necessari l imprenditore dovrà decidere come
Lezione 12 Il problema dell impresa: La ricerca del massimo profitto e l offerta
Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 12 Il problema dell impresa: La ricerca del massimo profitto e l offerta Facoltà di Scienze della Comunicazione Università
(i punti frontiera del dominio appartengono al dominio stesso). Esempio. Determina i massimi e i minimi della funzione y x 2x
PROGRAMMAZIONE LINEARE I problemi di programmazione lineare sono particolari problemi nei quali si devono determinare i massimi o i minimi vincolati di una funzione in due o più variabili. Definizione.
Esame di Ricerca Operativa del 28/06/2019. max 9 x 1 +8 x 2 6 x x x 1 +2 x x 1 +2 x x 1 3 x x 1 4 x 2 3
Esame di Ricerca Operativa del 8/0/09 (Cognome) (Nome) (Numero di Matricola) Esercizio. a) Risolvere il seguente problema di programmazione lineare mediante l algoritmo del simplesso: max 9 x +8 x x +0
Determinare il giusto mix di vendite con excel. di Luca Vanzulli
Determinare il giusto mix di vendite con excel di Luca Vanzulli La scelta del Mix di vendita Il più delle volte un azienda manifatturiera canalizza sul mercato diverse linee di prodotto con annesse offerte:
MODELLISTICA E SIMULAZIONE cred.: 5 7,5 Recupero 2 prova: 25 luglio 2005
Politecnico di Milano I a Facoltà di Ingegneria C.S. in Ing. per l Ambiente e il Territorio MODELLISTICA E SIMULAZIONE cred.: 5 7,5 Recupero prova: 5 luglio 005 COGNOME NOME FIRMA: : : : [7,5 crediti]
1.4 Si risolva mediante gli scarti complementari il duale del problema dato.
FONDAMENTI DI RICERCA OPERATIVA (turno unico) Prof. M.Trubian a.a. 2006/07 Prima prova in itinere: 24/11/06 Nome studente:... Matricola:...... A Esercizio 3 4 5 6 Valore % 0.3 0.2 0.2 0.15 0.1 0.05 Valutazione
5 PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA (PLI) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano 1
5 PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA (PLI) E. Amaldi Fondamenti di R.O. Politecnico di Milano Programma lineare intero: (PLI) min c T x Ax b x 0 intero Ipotesi: A, b interi La condizione di interezza non è
FUNZIONE DI UTILITÀ CURVE DI INDIFFERENZA (Cap. 3)
FUNZIONE DI UTILITÀ CURVE DI INDIFFERENZA (Cap. 3) Consideriamo un agente che deve scegliere un paniere di consumo fra quelli economicamente ammissibili, posto che i beni di consumo disponibili sono solo
FACOLTA DI ECONOMIA ESAME SCRITTO DI RICERCA OPERATIVA. Verona, 6 Giugno 1996
Verona, Giugno ) E dato il seguente problema di Programmazione Lineare: min( x + ) x x x Rappresentare il problema geometricamente e successivamente scriverlo in forma standard. a) Determinare una soluzione
Esercizi assegnati in data 7 novembre
Esercizi assegnati in data 7 novembre Rappresentare sul piano cartesiano le seguenti rette e determinare le coordinate del punto d'intersezione di ciascuna coppia di rette: a: y=0.25x+1000 b: y=0.50x+800
LA RICERCA OPERATIVA. Richiami storici
LA RICERCA OPERATIVA La ricerca operativa si occupa delle tecniche e dei metodi che sono di supporto alle decisioni in campo economico ed organizzativo. La ricerca operativa ha lo scopo di individuare
Geometria Analitica Domande e Risposte
Geometria Analitica Domande e Risposte A. Il Piano Cartesiano. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano? Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano
2. Si definisca un algoritmo euristico di tipo greedy per determinare una buona soluzione ammissibile del problema;
Esercizio 6 Un azienda di trasporti deve affrontare il seguente problema di caricamento. L azienda dispone di n prodotti che possono essere trasportati e di m automezzi con cui effettuare il trasporto.
Lunghezza media. Teorema Codice D-ario prefisso per v.c. X soddisfa. L H D (X). Uguaglianza vale sse D l i. = p i. . p.1/27
Lunghezza media Teorema Codice D-ario prefisso per v.c. X soddisfa L H D (X). Uguaglianza vale sse D l i = p i.. p.1/27 Lunghezza media Teorema Codice D-ario prefisso per v.c. X soddisfa L H D (X). Uguaglianza
SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI IN DUE INCOGNITE
SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI IN DUE INCOGNITE.Sistema di disequazioni in due incognite di primo grado Una disequazione di primo grado in due incognite: a b c nel piano cartesiano, rappresenta uno dei due
8.3 Condizioni di ottimalità (qualifica dei vincoli e KKT) 2
8.1 Campagna pubblicitaria Una agenzia di pubblicità deve effettuare una campagna promozionale con due mezzi di comunicazione: gli annunci alla radio e quelli sui giornali. Vengono considerate m stazioni
Lezione 3: Il problema del consumatore: Il
Corso di Economica Politica prof. Stefano Papa Lezione 3: Il problema del consumatore: Il vincolo di bilancio Facoltà di Economia Università di Roma La Sapienza Il problema del consumatore 2 Applichiamo
Matematica per le Applicazioni Economiche I (M-P)
Matematica per le Applicazioni Economiche I (M-P) Corsi di Laurea in Economia Aziendale, Economia e Commercio, a.a. 06-7 Esercizi su Calcolo Differenziale. Per la seguente funzione, dato 0, si utilizzi
Esame di Ricerca Operativa del 17/07/17. Esercizio 1. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare:
Esame di Ricerca Operativa del 7/07/7 (Cognome) (Nome) (Numero di Matricola) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x +x x + x x x x x x x +x
Introduzione alla Ricerca Operativa. Cos è la Ricerca Operativa? Modellazione di problemi decisionali Fasi di uno studio di RO Applicazioni della RO
Introduzione alla Ricerca Operativa Cos è la Ricerca Operativa? Modellazione di problemi decisionali Fasi di uno studio di RO Applicazioni della RO Cos è la Ricerca Operativa? La Ricerca Operativa la disciplina
Problemi. sbj. x 0, x intero
Problemi Spiegare e dimostrare in quali intervalli di R la funzione arctan x è concava, convessa o nessuno dei due casi. Si ricordi che la derivata prima di arctan x è +x 2. Si codifichi in una formula
3.3 FORMULAZIONE DEL MODELLO E CONDIZIONI DI
3.3 FORMULAZIONE DEL MODELLO E CONDIZIONI DI ESISTENZA DI UN PUNTO DI OTTIMO VINCOLATO Il problema di ottimizzazione vincolata introdotto nel paragrafo precedente può essere formulato nel modo seguente:
Ricerca Operativa. Esercizi proposti - II A B C D E
Ricerca Operativa Esercizi proposti - II 1. Risolvere, con l algoritmo Ungherese, il seguente problema dell Assegnamento: 1 2 3 4 5 A 2 3 5 1 4 B -1 1 3 6 2 C -2 4 3 5 0 D 1 3 4 1 4 E 7 1 2 1 2 2. Risolvere,
Introduzione alla programmazione lineare. Mauro Pagliacci
Introduzione alla programmazione lineare Mauro Pagliacci c Draft date 25 maggio 2010 Premessa In questo fascicolo sono riportati gli appunti dalle lezioni del corso di Elaborazioni automatica dei dati
Esercizio assegnato in data 28 novembre
Esercizio assegnato in data 28 novembre Un commerciante all ingrosso acquista articoli da regalo a 10 al pezzo. Su tutta la merce acquistata, ottiene uno sconto del 10% sul prezzo d acquisto, se ordina
Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette
Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano
Introduzione alla Ricerca Operativa. Cos è la Ricerca Operativa? Modellazione di problemi decisionali Fasi di uno studio di RO Applicazioni della RO
Introduzione alla Ricerca Operativa Cos è la Ricerca Operativa? Modellazione di problemi decisionali Fasi di uno studio di RO Applicazioni della RO Cos è la Ricerca Operativa? La Ricerca Operativa è la
ESERCIZI SVOLTI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE TOMO G PAG 417 E SEGUENTI. Esercizio n. 1 pag 417. vincoli
ESERCIZI SVOLTI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE TOMO G PAG 47 E SEGUENTI Esercizio n. pag 47 6 x x z vincoli 0 0 4 x x x x x x Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo La regione ammissibile, individuata
APPROFONDIMENTI DI TEORIA DELL OLIGOPOLIO (PARTE I)
APPROFONDIMENTI DI TEORIA DELL OLIGOPOLIO (PARTE I) Corso di Approfondimenti di Microeconomia Anno Accademico 6-7 Docente: Alessandro Vaglio Bergamo, febbraio 7 Introduzione Il modello di Cournot ed i
Fondamenti di Business Analytics classi M2/M3 Michele Impedovo anno accademico
Fondamenti di Business Analytics 20486 classi M2/M3 Michele Impedovo anno accademico 2016-2017 Lezione 11 Programmazione lineare intera ILP Programmazione lineare binaria BLP Il problema MicroWorks, Inc.
Ricerca Operativa. G. Liuzzi. Lunedí 23 Marzo Il Metodo del Simplesso Java API Problema di Trasporto
1 Lunedí 23 Marzo 2015 1 Istituto di Analisi dei Sistemi ed Informatica IASI - CNR SHHHHH... Simplesso in 2 fasi Fase I (rg(a) m) Se P non è ammissibile, STOP Altrimenti 1 elimina da (A... b) eventuali
La dualità nella Programmazione Lineare
Capitolo 3 La dualità nella Programmazione Lineare 3.1 Teoria della dualità Esercizio 3.1.1 Scrivere il problema duale del seguente problema di Programmazione Lineare: min x 1 x 2 + x 3 2x 1 +3x 2 3 x
MATEMATICA PRIMO COMPITINO SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI PRIMA PARTE. Esercizio 1. (Testo B) Determina, motivando la risposta, se la funzione f : R R
ANNO ACCADEMICO 25 6 SCIENZE GEOLOGICHE E SCIENZE NATURALI E AMBIENTALI MATEMATICA PRIMO COMPITINO SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI PROFF MARCO ABATE E MARGHERITA LELLI-CHIESA PRIMA PARTE Esercizio (Testo
Circonferenze del piano
Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della
Fondamenti di Business Analytics classi M2/M3 Michele Impedovo anno accademico
Fondamenti di Business Analytics 20486 classi M2/M3 Michele Impedovo anno accademico 2016-2017 Lezione 10 Tre classici problemi Il problema della dieta l problema dei trasporti Il problema del cioccolato
Sistemi con vincoli. Docente: Francesca Rossi.
E-mail: frossi@math.unipd.it Scopo del corso Dare le nozioni di base della programmazione con vincoli Come rappresentare un problema reale con un insieme di vincoli Tecniche principali per risolverlo Approccio
Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 10. Docente: Laura Palagi
Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a. 2012-13 Homework n 10 Docente: Laura Palagi Smaltimento dei rifiuti solidi urbani HOMEWORK N 10 Francesco Cambiotti
1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO
1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO Il linguaggio matematico moderno è basato su due concetti fondamentali: la teoria degli insiemi e la logica delle proposizioni. La teoria degli insiemi ci assicura che gli oggetti
Problemi di Flusso: Il modello del Trasporto
Problemi di Flusso: Il modello del rasporto Andrea Scozzari a.a. 2014-2015 April 27, 2015 Andrea Scozzari (a.a. 2014-2015) Problemi di Flusso: Il modello del rasporto April 27, 2015 1 / 25 Problemi su
Funzioni elementari. Funzioni lineari. 13. Funzioni elementari. Funzioni lineari.
Funzioni elementari. Funzioni lineari. Funzioni elementari Per potere determinare le proprietà e quindi il grafico di una qualsiasi funzione a partire dalla sua espressione analitica, dobbiamo prima di
Cenni di ottimizzazione dinamica
Cenni di ottimizzazione dinamica Testi di riferimento: K. Dixit Optimization in Economic Theory. Second Edition, 1990, Oxford: Oxford University Press. A. C. Chiang Elements of Dynamic Optimization, 1992,
Esame di Ricerca Operativa del 16/02/15. Esercizio 1. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare:
Esame di Ricerca Operativa del /0/ Cognome) Nome) Corso di laurea) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: min y + y +0 y +0 y +y + y y y +y y y y
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa 1 Primo appello 30 gennaio Esercizio 1.
A = Esercizio In tabella sono riportati gli archi di un grafo con nodi, e sono dati i costi di ogni arco. Risolvere il problema del camo imo per ogni coppia di nodi applicando l algoritmo di Floyd e Warshall.
Esame di Ricerca Operativa del 05/09/18
Esame di Ricerca Operativa del 0/09/8 (Cognome) (Nome) (Numero di Matricola) Esercizio. Un azienda agricola produce mensilmente 0 ettolitri di olio (O) e 0 ettolitri di vino (V) che vengono venduti all
Foglio di esercizi 3-29 Marzo 2019 Probabilità e statistica Ingegneria Meccanica Alessandro Ciallella
Foglio di esercizi 3-29 Marzo 209 Probabilità e statistica Ingegneria Meccanica Alessandro Ciallella Esercizio. Una compagnia aerea dispone di un aereo da 20 posti e di uno da 0 posti. Poiché si sa che
Precorso di Matematica
Precorso di Matematica Lezione 3 Andrea Susa OPERATORE DI PRODOTTO Π 2 1 Operatore di prodotto Π Consideriamo un insieme numerico ={ =1, }. Definiamo prodotto degli elementi in, = Esempio: ={ =1, =2, =3,
Esercitazione per il corso di Ricerca Operativa 10 novembre 2009
A.a. 2009-10 Esercitazione n o 1 Esercitazione per il corso di Ricerca Operativa 10 novembre 2009 Laurea magistrale in Ing. Meccanica e Ing. dei Sistemi di Trasporto Laurea in Ing. dei Trasporti Formulazione