Esame di Ricerca Operativa del 05/09/18
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- Mirella Rachele Chiesa
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1 Esame di Ricerca Operativa del 0/09/8 (Cognome) (Nome) (Numero di Matricola) Esercizio. Un azienda agricola produce mensilmente 0 ettolitri di olio (O) e 0 ettolitri di vino (V) che vengono venduti all ingrosso (I) e al dettaglio (D) ai seguenti prezzi di vendita in euro al litro: I D O V Per ogni prodotto, la quantità venduta al dettaglio non puo superare il 0% della quantità complessiva di vino ed olio venduta all ingrosso. Inoltre, la vendita al dettaglio comporta la presenza di personale che viene stimata nella misura di 0.0h, (h=ore) per ogni litro di prodotto venduto. Sapendo che il personale addetto alla vendita e disponibile mensilmente al più per 00h, al costo di 8 euro/h, si formuli un problema di programmazione lineare per determinare la quantità di ciascun prodotto da vendere all ingrosso e al dettaglio in modo da massimizzare il profitto mensile di vendita. variabili decisionali: modello: Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max 9 x + 8 x x + 0 x x + x x + x 8 x x x x x x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = {, } y =
2 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. Iterazione {,} Iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo é indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,) (,) (8,8) - (8,) (,) (,9) (0,8) (,8) - (8,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. Iterazione Iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete
3 nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete cammino aumentante δ x v Taglio di capacitá minima: N s = N t = Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x x + x x + x x 0 x 0 x, x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v I (P ) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v S (P ) = c) Calcolare un taglio di Gomory.
4 r = taglio: Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I (P ) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P ) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.
5 SOLUZIONI Esercizio. Variabili decisionali: Si indichino con i =,, l olio ed il vino rispettivamente, con j =,, la vendita all ingrosso e al dettaglio, rispettivamente. Sia x ij = la quantitá (in litri) di prodotto i da vendere mensilmente nella modalità j, i =,, j =, ; Modello: max (x + x + x + x 0.08(x + x )) x + x = 000 x + x = 000 x 0.(x + x ) x 0.(x + x ) 0.0(x + x ) 00 x ij 0, i =,, j =, Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max 9 x + 8 x x + 0 x x + x x + x 8 x x x x x x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = {, } y = ( ), ( 0, 0, 0, ), 0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {, } Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante iterazione {, } (, 0) ( ) (, 0, 0, 0, ( 0, 0, ) 0, 9, 0 ) 9 9, 8 9, 0, 0 SI NO NO NO,, 9, 9 8 Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). - (,) (,) (8,8) - (8,) (,) (,9) (0,8) (,8) - (8,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (, 0,, 8,,,, 0, 0) NO NO (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0,, 0,, 8, ) SI SI
6 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) (,) x (0,,, 0,,,, 8, 0) (0,, 0,,,,,, 0) π (0,, 0,, 8, 9) (0,, 0,, 8, 9) Arco entrante (,) (,) ϑ +, ϑ,, Arco uscente (,) (,) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo nodo nodo nodo + nodo insieme Q,,,,,,,,, b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson (con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete
7 cammino aumentante δ x v - - (0,, 0, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0) (8,, 0, 8, 0, 0,, 0, 0, 8, 0) (8,,, 8, 0, 0, 0,, 0, 8, 0) (8,, 8, 8, 0, 0, 0,,, 8, ) Taglio di capacità minima: N s = {,, } N t = {,,, } Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x x + x x + x x 0 x 0 x, x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( sol. ottima del rilassamento = 0, ) b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v I (P ) = sol. ammissibile = (0, ) v S (P ) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x + x 8 r = x + x Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando l albero di costo minimo. albero: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) v I (P ) = 8 b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P ) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando l albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.
8 8, P x = 0 x = 8, P, 8, P, x = 0 x = 9, P, 8, P, x = 0 x = x = 0 x =, 9,, 8, P, P, P, P,
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