Esame di Ricerca Operativa del 18/06/18

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1 Esame di Ricerca Operativa del 8/0/8 (Cognome) (Nome) (Numero di Matricola) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x x x +x x x x +x x x x + x x + x 8 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = {, } y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {,} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante Esercizio. In un indagine a carattere mensile dell ufficio emigrazione, viene rilevato un flusso migratorio di 00 persone dalla Libia verso l Italia e la Spagna. Viene stimato che 00 migranti si stabiliscono in Italia e 0 migranti si stabiliscono in Spagna, mentre i rimanenti si spostano in Francia o in Germania. I costi di trasferimento (in euro per persona) tra i vari stati sono indicati nella seguente tabella. Italia Spagna Francia Germania Libia Italia Spagna Si formuli un problema di programmazione lineare che determini i flussi mensili di migranti tra i vari stati ed il numero di persone che si stabiliscono in Francia ed in Germania, in modo che risulti minimo il costo complessivo di trasferimento dei migranti tra i vari stati. variabili decisionali: modello:

2 Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo à indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacitã ). - (,) (,) (,8) - (0,9) (9,) (,) (,0) (,) (9,) - (,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente (9,8) - Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 9

3 nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 8 cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t = Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x x + x x + x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v I (P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v S (P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio: Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di citt?, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella:

4 città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I (P) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo pi? vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.

5 SOLUZIONI Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x x x +x x x x +x x x x + x x + x 8 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = (, 0) SI NO {, } y = (0, 8,, 0, 0, 0) SI NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {, } (0, ) iterazione {, } (0, ) Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante ( 0, 0, 0, 0, ), 9 ( 0, 0, ), 0, 0, 8 0, 0 0, Esercizio. Si puo formulare il problema come flusso di costo minimo su un grafo ove i nodi rappresentano gli stati e gli archi i possibili collegamenti tra di essi. Variabili decisionali: si indichino con i =,,..,, la Libia,l Italia, la Spagna, la Francia e la Germania, rispettivamente e siano x ij : (i,j) A := {(,),(,),(,),(,),(,),(,)}, i flussi mensili tra i vari stati. Si ponga b := ( 00,00,0,b,b ) il vettore dei bilanci ai nodi ove b e b sono quantitá non negative da determinare. Modello: min 00x +00x +00x +00x +00x +00x x +x = 00 x x x = 00 x x x = 0 x +x = b x +x = b b +b = 0 x ij 0, (i,j) A b,b 0 Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo? indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacit? ). - (,) (,) (,8) - (0,9) (9,) (,) (,0) (,) (9,) - (,) (9,8) -

6 Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (,, 0, 0,,,, 0,, 9, 0) NO NO (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0,,,,,, 0) NO NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) (,) x (0,,, 9, 9, 0,,, 0, 0, ) (, 0,, 9,, 0,,, 0, 0, ) π (0, 9, 9,, 8,, ) (0,,,,,, 9) Arco entrante (,) (,) ϑ +, ϑ 8,, Arco uscente (,) (,)

7 Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 9 iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo nodo nodo nodo + nodo insieme Q,,,,,,, b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson(con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 8 cammino aumentante δ x v (0,, 0, 0,, 0, 0, 0,, 0, 0) (0,,, 0,, 0,, 0,, 0, ) (,,,,, 0, 0, 0,, 0, 0) (, 8,,, 8, 0,,,, 0, ) 8 Taglio di capacità minima: N s = {,} N t = {,,,,} Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x x + x x + x x 0 x 0 x,x Z

8 a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( sol. ottima del rilassamento = 0, ) b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v I (P) = sol. ammissibile = (0,) v S (P) = 0 c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x +x 0 r = x +x Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di cittá, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) v I (P) = 9 b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo pi? vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x. 9, P x = 0 x = 9, P, 8, P, x = 0 x = 8, P, 9, P, x = 0 x =, P, 9, P,