Esame di Ricerca Operativa del 21/02/19. max 3 x 1 +x 2 6 x x x 1 +2 x x 1 3 x x 1 4 x x 1 +2 x x 1 x 2 3

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1 Esame di Ricerca Operativa del /0/ Cognome) Nome) Numero di Matricola) Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale. max x +x x +0 x x + x 8 x x x x x + x x x passo {,} passo Base x Degenere? y Indice Rapporti Indice uscente entrante Esercizio.Una raffineria di petrolio miscela tipi di greggio per ottenere tipi di carburante: senza piombo, diesel e blu diesel. La tabella seguente mostra la quantità disponibile ed il costo di ogni tipo di greggio: Tipo di greggio Barili disponibili Costo euro/barile) Il prezzo di vendita ed i requisiti tecnici di ogni carburante, in termini di minima e massima percentuale di ogni tipo di greggio, sono i seguenti: Tipo di carburante Greggio richiesto Prezzo euro/barile) senza piombo almeno 0% di tipo al più 0% di tipo diesel almeno 0% di tipo 8 blu diesel al più 0% di tipo La raffineria vuole trovare la composizione dei carburanti in modo da massimizzare il profitto. variabili decisionali: modello: COMANDI DI MATLAB c= intcon= A= b= Aeq= lb= beq= ub=

2 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti sulla seguente rete su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). -,) -,) 0,) -,) 0,),),),0),) 0,),) iterazione iterazione Archi di T,),),),),),) Archi di U,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max x + x x + x x + x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S P) = b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v I P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio:

3 Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 8 0 cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t =

4 Esercizio. Si consideri il problema di caricare un container di volume pari a metri cubi, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni Valori Volumi 8 a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. sol. ammissibile = v I P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S P) = c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria. Esercizio. Trovare massimi e minimi della funzione fx,x ) = x sull insieme {x R : x x 0, x x x +x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale -,0) 0,) 0,-),0) Esercizio 8. Si consideri il seguente problema: { min x +x x + x +0 x x P e i vertici di P sono, ),, ),, ) e,). Fare un passo del metodo di Frank-Wolfe. Punto Funzione obiettivo Sol. ottima Direzione Passo Nuovo punto problema linearizzato problema linearizzato, )

5 SOLUZIONI Esercizio. iterazione {, } iterazione {, }, 0) Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante ), 0, 0, 0, ),, 0, 0, ), 0, 0, 0,,, 8 Esercizio. Variabili decisionali: x ij = barili di greggio di tipo i usati per produrre il carburante j Modello: max x +x +x +x )+8x +x +x +x )+x +x +x +x ) x +x +x ) x +x +x ) 0x +x +x ) 0x +x +x ) x +x +x 000 x +x +x 00 x +x +x 000 x +x +x 00 x 0.x +x +x +x ) x 0.x +x +x +x ) x 0.x +x +x +x ) x 0.x +x +x +x ) x ij 0 Esercizio. iterazione iterazione Archi di T,),),),),),),),),),),),) Archi di U,),) x 0, 0,,, 0,,, 0,, 0, ) 0,,,, 0,,, 0,, 0, 0) π 0,,,,, 8, 8) 0,, 0,,, 8, ) Arco entrante,),) ϑ +, ϑ,, Arco uscente,),) Esercizio. sol. ottima del rilassamento = 0, ) v S P) = sol. ammissibile = 0,) v I P) = r = x r = x +x Esercizio. iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo nodo nodo + nodo nodo insieme Q,,,,,,,,,

6 cammino aumentante δ x v , 8, 0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 0) , 8, 0,, 0, 0, 8, 0, 0,, 0) - - -, 8,,, 0, 0, 0,, 0,, 0) - - -, 8,,, 0, 0, 0,,,, ) 8 Taglio di capacità minima: N s = {,,} N t = {,,,} Esercizio. Beni Valori Volumi 8 a) sol. ammissibile =,,0,,0,,) v I P) = 8 b) sol. ottima del rilassamento = c),,0,, ),,0 v S P) = 80 8,80 P x = 0 x =, P,, P, x = 0 x =,8 P,, P, soluzione ottima =,0,0,,,,0) valore ottimo = Esercizio. Trovare massimi e minimi della funzione fx,x ) = x sull insieme {x R : x x 0, x x x +x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale, 0), ) NO NO SI SI NO 0, ),0) NO SI NO NO NO 0, ),0) NO NO NO SI NO, 0), ) SI SI NO NO NO

7 Esercizio 8. Punto Funzione obiettivo Sol. ottima Direzione Passo Nuovo punto problema linearizzato problema linearizzato,-) x +x -,-) -,) -,-)