Esame di Ricerca Operativa del 18/12/12. Esercizio 1. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare:
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- Annibale Quaranta
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1 Esame di Ricerca Operativa del // (Cognome) (Nome) (Corso di laurea) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x x x x x x x + x x x + x x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = {, } y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {,} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante Esercizio. Una ditta deve produrre almeno 900 kg. di alimento per cani utilizzando tre tipi di carne: pollo, coniglio, manzo. L alimento deve contenere non meno del 0% di carne di pollo, non più del 0% di carne di coniglio e non meno del 0% di carne di manzo; la disponibilità dei tre tipi di carne è rispettivamente 00 kg., 0 kg. e 00 kg. Scrivere il modello che determina la composizione tenendo conto che la carne di coniglio e quella di pollo danno un guadagno all azienda di euro al chilo mentre l utilizzo della carne di manzo comporta una spesa di 9 euro al chilo. variabili decisionali: modello: c= COMANDI DI MATLAB A= b= Aeq= lb= beq= ub=
2 Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). (,9) (,) (0,) (,) (,) (,) (9,) (,) (,) (,9) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente (,9) -0
3 Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 9 nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 9 cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t =
4 Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x 9 x + x 9 x + x x 0 x 0 x, x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v I (P ) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v S (P ) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio: Esercizio. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I (P ) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P ) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x.
5 SOLUZIONI Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x x x x x x x + x x x + x x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) {, } x = (, ) SI NO {, } y = (0, 0, 0,,, 0) NO NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {, } (, ) Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante ( 0, ), 0, 0,, 0,, iterazione {, } (0, ) (0, 0, 0,,, 0) Esercizio. COMANDI DI MATLAB c=[ - ; - ; 9 ], A=[ ; ; - -; -9 ] b=[ -900 ; 0 ; 0; 0 ] Aeq=[] beq=[] lb=[0 ; 0 ; 0] ub=[00; 0; 00] Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). (,9) (,) (0,) (,) (,) (,) (9,) (,) (,) (,9) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (si/no) (si/no) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) x = (0,,, 0,,,, 0,, 0, ) NO NO (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) π = (0, 0,,,,, ) NO NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. (,9) -0
6 iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (,) (,) x (, 0, 9,,, 0,, 0, 0,, 0) (0,, 9,,, 0,, 0, 0,, 0) π (0, 0,,,,, 9) (0, 9,,,,, ) Arco entrante (,) (,) ϑ +, ϑ,, Arco uscente (,) (,) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 9 iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo nodo nodo + nodo + + nodo insieme Q,,,,,,,,, b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson (con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 9
7 cammino aumentante δ x v - - (0,, 0, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0) (,, 0, 0,, 0,, 0, 0,, 0) (,,, 0,, 0,, 0,,, ) Taglio di capacità minima: N s = {,,, } N t = {,, } Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x 9 x + x 9 x + x x 0 x 0 x, x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. ( sol. ottima del rilassamento = 0, 9 ) b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v I (P ) = sol. ammissibile = (0, ) v S (P ) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x + x r = x + x Esercizio. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) v I (P ) = 9 b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P ) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.
8 9, P x = 0 x = 9, P, 9, P, x = 0 x = x = 0 x = 9, 0, 9,, P, P, P, P, L algoritmo non è terminato.
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