Esame di Ricerca Operativa del 19/07/13. Esercizio 1. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare:

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1 Esame di Ricerca Operativa del 9/0/ Cognome) Nome) Corso di laurea) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x +x x + x x x x x x x x 9 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no) si/no) { } x = { } y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante Esercizio. Un impresa produce un bene in due stabilimenti situati a Empoli e a Livorno. La produzione viene immagazzinata in tre depositi a Pisa a Siena e a Firenze e poi distribuita alla vendita al dettaglio. La tabella mostra il costo unitario di trasporto la capacità produttiva massima degli stabilimenti e le quantità di vendita al dettaglio di ogni deposito. variabili decisionali: modello: Pisa Siena Firenze Capacità Empoli 0 Livorno Vendita c= COMANDI DI MATLAB A= b= Aeq= lb= beq= ub=

2 Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati nell ordine il costo e la capacità). - 9) 8) ) - 8) ) 0) 80) ) 8) - 08) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no) si/no) ) ) ) ) ) ) ) x = ) ) ) ) ) ) ) π = 0 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. ) iterazione iterazione Archi di T ) ) ) ) ) ) Archi di U ) x π Arco entrante ϑ + ϑ Arco uscente Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete

3 nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 8 9 cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t = Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max 8 x + x 9 x +9 x 0 x +8 x x 0 x 0 x x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S P) = b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v I P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio:

4 Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I P) = b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando nell ordine le variabili x e x. Esercizio 9. Trovare massimi e minimi della funzione fx x ) = x sull insieme {x R : x x x +x 0 x +x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale + ) ) + ) + ) + Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x + x x + x 8 x x x P e i vertici di P sono 0) ) ) e 0). Fare un passo del metodo di Frank-Wolfe. Punto Funzione obiettivo Sol. ottima Direzione Passo Nuovo punto problema linearizzato problema linearizzato )

5 SOLUZIONI Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x +x x + x x x x x x x x 9 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no) si/no) { } x = ) SI NO { } y = ) SI NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante iterazione { } ) 0 0 ) iterazione { } ) ) Esercizio.. c=[;;;8;9;0] COMANDI DI MATLAB A=[ 0 0 0; ] b=[ 0 ; 90] Aeq=[ ; ; ] beq=[0; 0; 0] lb=[0 ; 0 ; 0; 0; 0 ; 0] ub=[] Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati nell ordine il costo e la capacità). - 9) 8) ) - 8) ) 0) 80) ) 8) - 08) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no) si/no) ) ) ) ) ) ) ) x = ) NO NO ) ) ) ) ) ) ) π = ) NO NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. )

6 iterazione iterazione Archi di T ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Archi di U ) ) x ) ) π ) ) Arco entrante ) ) ϑ + ϑ 9 Inf 8 Arco uscente ) ) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete iter iter iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato nodo nodo nodo nodo + nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkersoncon la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 8 9

7 cammino aumentante δ x v ) ) ) Taglio di capacità minima: N s = {} N t = {} Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: max 8 x + x 9 x +9 x 0 x +8 x x 0 x 0 x x Z a) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = ) b) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v S P) = sol. ammissibile = ) v I P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x +8x r = 9x +0x Esercizio 8. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando l albero di costo minimo. albero: ) ) ) ) ) v I P) = 8 b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S P) = c) Applicare il metodo del Branch and Bound utilizzando l albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando nell ordine le variabili x x x.

8 88 P x = 0 x = 8 P 0 P x = 0 x = x = 0 x = P P P P Esercizio 9. Trovare massimi e minimi della funzione fx x ) = x sull insieme {x R : x x x +x 0 x +x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale + ) ) 0 NO NO SI SI NO 9 ) + ) 0 NO NO NO NO SI 9 ) ) + 0 NO NO NO NO SI 9 ) + ) 0 SI SI NO NO NO 9 Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x + x x + x 8 x x x P dove P è il poliedro di vertici 0) ) ) e 0). Fare una iterazione del metodo di Frank-Wolfe. Punto Funzione obiettivo Sol. ottima Direzione Passo Nuovo punto problema linearizzato problema linearizzato ) 0x +x -) 0 ) )