Esame di Ricerca Operativa del 30/06/14. max 4 x 1 7 x 2 x 1 +7 x 2 7 x 1 4 x 2 7 x 1 +5 x 2 5 x 1 x 2 5 x 2 1 x 1 +4 x 2 6
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- Sebastiano Pala
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1 Esame di Ricerca Operativa del 0/0/ Cognome) Nome) Corso di laurea) Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x 7 x x +7 x 7 x x 7 x + x x x x x + x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no) si/no) {, } x = {, } y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {,} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante Esercizio. Un industria di lavorazione del marmo ha due stabilimenti dove produce lastre di marmo di tre diverse qualità: bassa, media e alta. Per contratto, l industria deve fornire a una ditta esterna almeno, e 0 tonnellate di marmo di bassa, media e alta qualità, rispettivamente. La seguente tabella riporta le caratteristiche di produzione nei due diversi stabilimenti: Stabilimento costo giornaliero euro) produzione tonnellate/giorno) bassa media alta 0 0 Determinare quanti giorni di lavoro sono necessari nei due stabilimenti per minimizzare i costi. variabili decisionali e modello: c= COMANDI DI MATLAB A= b= Aeq= lb= beq= ub=
2 Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). -7 8,) - 9,) 8,9) 8,) -,7) 7,) 8,) 7 0,),7) 8,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no) si/no),),),),),7),),) x =,),),),),7),),) π = 0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T,),),7),),),7) Archi di U,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente 9,8) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete
3 nodo visitato iter iter iter iter iter iter iter 7 π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo nodo 7 insieme Q b) Applicare l algoritmo FFEK per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo 7 sulla seguente rete cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t = Esercizio 7. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x x + x 8 x + x 0 x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v I P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v S P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio:
4 Esercizio 8. Si consideri il problema di caricare un container di volume pari a 8 metri cubi, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni 7 Valori Volumi a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. sol. ammissibile = v I P) = b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v S P) = c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria. Esercizio 9. Trovare massimi e minimi della funzione fx,x ) = x +x ) sull insieme {x R : x x 0, x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale 0,0),0), ) 0,-0), ) Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x x + x x x P e i vertici di P sono,),, ),,) e, ). Fare un passo del metodo del gradiente proiettato. Punto Matrice M Matrice H Direzione Max spostamento Passo Nuovo punto possibile, )
5 SOLUZIONI Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x 7 x x +7 x 7 x x 7 x + x x x x x + x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no) si/no) {, } x = 7, 0) SI NO {, } y = 0,, 9, 0, 0, 0) SI NO Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante iterazione {, }, ) 0, 0, 0,,, 0) 8, 7 iterazione {, }, ) 0,, 0, 0, 9, 0), Esercizio. variabili decisionali: x = giorni di lavoro nello stabilimento x = giorni di lavoro nello stabilimento modello: min0x +0x x +x x +x x +x 0 x,x 0. c=[ 0 ; 0] COMANDI DI MATLAB A=[ - - ; - - ; - - ] b=[ - ; - ; -0 ] Aeq=[] lb=[0; 0] beq=[] ub=[] Esercizio. Completare la tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). -7 8,) - 9,) 8,9) 8,) -,7) 7,) 8,) 7 0,),7) 8,) 9,8) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere si/no) si/no),),),),),7),),) x = 0, 0,,,, 8, 0, 0,, 0, 0) NO SI,),),),),7),),) π = 0, 9, 8,,,, ) NO NO
6 Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. iterazione iterazione Archi di T,),),7),),),7),),),),7),),7) Archi di U,),) x 0, 0,, 7, 0,, 7, 0,,, 0) 0, 0,, 7, 0,, 7, 0,,, 0) π 0,,,, 7,, ) 0, 0, 8,,,, ) Arco entrante,),) ϑ +, ϑ 9, 0 0, Arco uscente,),7) Esercizio. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete iter iter iter iter iter iter iter 7 π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato 7 nodo nodo nodo nodo + 8 nodo nodo insieme Q,,,,,, 7,, 7, 7 b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkersoncon la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo 7 sulla seguente rete
7 cammino aumentante δ x v ,, 0, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0) ,, 0, 0,, 0,, 0, 0,, 0) ,, 0, 0,,,, 0, 0,, 0) ,, 0, 0,,,, 0, 0,, 0) 7 Taglio di capacità minima: N s = {,,,} N t = {,,7} Esercizio 7. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min x + x x + x 8 x + x 0 x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. 9 sol. ottima del rilassamento =, ) b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. v I P) = sol. ammissibile =,) v S P) = c) Calcolare un taglio di Gomory. r = x +x r = 8x +x 9 Esercizio 8. Si consideri il problema di caricare un container di volume pari a 8 metri cubi, cercando di massimizzare il valore dei beni inseriti ogni bene può essere inserito al massimo una volta). Beni 7 Valori Volumi a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo applicando l algoritmo greedy. sol. ammissibile =,,,0,0,,) v I P) = 7 b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento =,,, 0 ),0,, v S P) = 8 c) Risolvere il problema applicando il metodo del Branch and Bound. Effettuare la visita dell albero per ampiezza e in ogni nodo istanziare l eventuale variabile frazionaria.
8 7,8 P x = 0 x = 7,8 P, 8,8 P, x = 0 x = 7,7 P, 8,8 P, soluzione ottima =,,0,0,,,) valore ottimo = 8 Esercizio 9. Trovare massimi e minimi della funzione fx,x ) = x +x ) sull insieme {x R : x x 0, x 0}. Soluzioni del sistema LKT Massimo Minimo Sella x λ µ globale locale globale locale 0, ) 0,0) NO NO SI SI NO.7,.).,0) NO NO NO NO SI, ) 0, 0) NO NO NO NO SI, ), + ) NO SI NO NO NO, ) +, ) NO NO NO NO SI Esercizio 0. Si consideri il seguente problema: { min x x + x x x P dove P è il poliedro di vertici,),, ),,) e, ). Fare una iterazione del metodo del gradiente proiettato. Punto Matrice M Matrice H Direzione Max spostamento Passo Nuovo punto ) possibile, ) / /,) / /, ),)
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