S 1 V. Lago S 2. Esercizio 2

Transcript

1 A Ricerca Operativa Primo appello Una regione è attraversata da un torrente a rischio di inondazioni invernali. Allo scopo di contenere le piene improvvise è stato realizzato un bacino cilindrico V da utilizzare come vasca di espansione della piena ed è anche possibile pompare acqua dal fiume verso un lago vicino, come in figura. Pompare x milioni di m 3 di acqua nella vasca costa 3x euro, mentre pompare y milioni di m 3 di acqua verso il lago costa y euro. La capacità (portata massima in m 3 /sec) del fiume nelle sezioni S, S è rispettivamente 6000 e 300 m 3 /sec. Le dimensioni del bacino (al momento vuoto) sono indicate in tabella. V S V Superficie (m ) Altezza (m) 0 Lago S Sta arrivando un ondata di piena che porterà la portata del fiume dagli attuali 000 m 3 /sec a 6000 m 3 /sec. Questa portata si manterrà per ore per poi tornare al livello precedente. Formulare il problema di regolare l immissione di acqua nella vasca o verso il lago durante la piena evitando esondazioni nella sezione S del fiume e rispettando la capacità della vasca stessa. La vostra funzione obiettivo è la minimizzazione del costo totale di pompaggio. È dato il problema di PL in figura.. Portare il problema in forma standard.. Utilizzando l algoritmo del simplesso (fase e fase ) trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Applicare la regola di Bland. min x + x x + x + x 0 x x x x 6 x, x3, x, x libera 3 Esercizio 3 In tabella sono riportati gli archi di un grafo non orientato con 7 nodi ed i pesi degli archi. Trovare il minimo albero ricoprente con l algoritmo di Prim-Dijkstra (versione efficiente dell algoritmo di Prim). Archi (,) (,) (,6) (,) (,6) (3,) (3,7) (,3) (,3) (,) (6,3) (6,) (6,7) Pesi Illustrare le definizioni di vertice e soluzione base ammissibile. Dimostrare che una soluzione ammissibile di un problema di PL in forma standard è un vertice del poliedro delle soluzioni ammissibili se e solo se è una soluzione base ammissibile.

2 B Ricerca Operativa Primo appello La ConGelo produce surgelati e deve pianificare la produzione giornaliera per i prossimi tre giorni nel suo stabilimento. Ogni giorno lo stabilimento può produrre fino a 00 kg di prodotti surgelati partendo da verdura fresca o surgelata. kg di verdura si trasforma in kg di prodotto finito. La verdura fresca arriva giornalmente allo stabilimento e deve essere lavorata in giornata per evitarne il deterioramento o surgelata nel magazzino frigorifero in attesa di lavorazione. I prodotti possono essere spediti il giorno della preparazione oppure conservati in magazzino in attesa delle partenze programmate. Sapendo che: gli arrivi giornalieri di verdura fresca previsti nei prossimi tre giorni sono di 700, 000 e 300 chili. il magazzino frigorifero ha capacità di 7000 kg all inizio del primo giorno il magazzino frigorifero contiene 600 kg di verdura surgelata e 900 kg di prodotti surgelati surgelare kg di verdura fresca o kg di prodotto costa centesimi, che non si pagano se la verdura viene lavorata fresca o se i prodotti vengono spediti il giorno della preparazione le partenze sono programmate alla fine del giorno e del giorno 3 e sono effettuate con un camion frigorifero con capacità massima di 000 kg. Si formuli come problema di PL il problema di pianificare la produzione di costo minimo di surgelati (quanto produrre ogni giorno) In tabella sono riportati gli archi di una rete di flusso con nodi ed i valori di domanda di ogni nodo (assumendo un valore negativo per un nodo sorgente e un valore positivo per un nodo pozzo). Si determini una soluzione ottima al problema di flusso di costo minimo utilizzando l algoritmo del simplesso su reti (fase e fase ), o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato. Archi (,) (,3) (,) (3,) (3,) (3,) (,) (,) Costi Nodi 3 Domanda Esercizio 3 Dato il problema di PL (primale) in figura,. risolvere il problema con il metodo grafico ed impostare il problema duale;. se il primale ammette una soluzione ottima, dalla soluzione ottima del primale ricavare la soluzione ottima del duale con le condizioni di ortogonalità. Se il primale non ammette una soluzione ottima, risolvere il problema duale con il metodo del simplesso. max x + x x 0 x Definire il problema di Cammino minimo e dimostrare il teorema di Floyd-Warshall.

3 C Ricerca Operativa Primo appello La beauty farm Urania è celebre per i suoi cosmetici all'olio d'oliva. kg di sapone alla lavanda (prezzo di vendita: 7 una saponetta da 0 gr) si prepara con 90 gr di sapone base, acqua e gr di essenza di lavanda. kg di bagno schiuma agli agrumi (prezzo di vendita: 8 una bottiglia da 300 gr) si prepara con 800 gr di sapone base, acqua e gr di essenza di agrumi. kg di crema per le mani alla lavanda (prezzo di vendita: 0 un vasetto da 00 gr) si prepara con 800 gr di crema base, acqua e 30 gr di essenza di lavanda. kg di crema per il viso agli agrumi (prezzo di vendita: un vasetto da 0 gr) si prepara con 700 gr di crema base, acqua e 00 gr di essenza di agrumi. Il sapone base contiene il 0% di olio d'oliva, la crema base contiene l'80% di olio d'oliva. Sapendo che sono disponibili solo 30 kg di olio d'oliva, kg di essenza di lavanda e kg di essenza di agrumi, formulare il problema di Programmazione Lineare di determinare la produzione che consenta il massimo incasso (senza risolverlo). In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 7 nodi, i valori di capacità degli archi ed un flusso iniziale. Partendo dal flusso dato, trovare il massimo flusso inviabile dal nodo al nodo 7 con l algoritmo di Ford e Fulkerson. Individuare il taglio di capacità minima nel grafo. Archi (,) (,) (,) (,6) (3,) (3,7) (,3) (,3) (,) (6,) (6,3) (6,) (6,7) Capacità Flussi Esercizio 3 Dato il problema di PL (primale) in figura, 3. risolvere il problema con il metodo grafico ed impostare il problema duale;. se il primale ammette una soluzione ottima, dalla soluzione ottima del primale ricavare la soluzione ottima del duale con le condizioni di ortogonalità. Se il primale non ammette una soluzione ottima, risolvere il problema duale con il metodo del simplesso. min x 3x + x 0 x x Illustrare il problema di flusso di costo minimo. Dimostrare che una base della matrice dei coefficienti coincide con un albero ricoprente della rete di flusso.

4 D Ricerca Operativa Primo appello Una mensa offre un menù con scelte di primi (risotto alla pescatora e spaghetti al tonno) e secondi (pomodori ripieni e seppie al tegame). Una porzione di risotto richiede 60 gr di riso, 0 gr di seppie e 0 gr di olio, una porzione di spaghetti richiede 60 gr di pasta, 6 gr di tonno sgocciolato e gr di olio. Una porzione di pomodori ripieni richiede 0 gr di pomodori, 80 gr di tonno sgocciolato e gr di olio, mentre una porzione di seppie richiede 80 gr di seppie, 0 gr di pomodori e 0 gr di olio. Tutti gli ingredienti si possono acquistare sul mercato al prezzo in tabella (in /kg), ma il tonno è venduto in confezioni che contengono l 80% di tonno e il 0% di olio, per cui considerate il costo di kg di tonno sgocciolato pari a,, con un residuo di 0 gr di olio (gratuito) che può essere riciclato risparmiando sull acquisto di olio in bottiglia. In un giorno dovete offrire 0 primi e 0 secondi, suddivisi anche in quote disuguali tra le scelte. Ingrediente Costo ( /kg) Spaghetti Riso Pomodori Tonno sott olio 0 Seppie 6 Olio in bottiglia 6. Formulare come problema di PL il problema di definire il numero di porzioni da produrre che minimizzi il costo degli ingredienti necessari.. Un ipotesi è di produrre 0 porzioni di seppie e 0 di risotto. Dimostrare o confutare l esistenza di una soluzione ottima con queste caratteristiche. In tabella sono riportati gli archi di un grafo orientato con nodi, e sono dati i pesi degli archi. Utilizzando l algoritmo di Floyd-Warshall, determinare i cammini di peso minimo tra tutte le coppie di nodi. Indicare in particolare l albero dei cammini minimi a partire dal nodo verso tutti gli altri nodi. Archi (,) (,3) (,) (,3) (,) (3,) (3,) (,) (,3) Pesi Esercizio 3 Dato il problema di PL in figura,. impostare il problema duale e risolverlo con il metodo grafico;. Se il duale ammette una soluzione ottima, dalla soluzione ottima del duale ricavare la soluzione ottima del primale con le condizioni di ortogonalità. Se il duale non ammette una soluzione ottima, risolvere il primale con il metodo del simplesso. min x x 0 3x 3x Illustrare la teoria della dualità, dimostrando in particolare i teoremi della dualità debole e forte.

5 E Ricerca Operativa Seconda Prova Intermedia È dato il problema di PL in figura. Utilizzando le condizioni di ortogonalità dimostrare l esistenza o meno di una soluzione ottima con le seguenti caratteristiche: le variabili x, x e x sono strettamente positive. In caso di esistenza, mostrare una soluzione così fatta e la soluzione duale che ne certifica l ottimalità. max x x x + x x 3 x x = 3 = 0 + x = 6 Nella prima tabella sono riportati gli archi di una rete di flusso con nodi ed i costi unitari degli archi. Nella seconda tabella sono riportati i valori di domanda di ogni nodo (assumendo un valore negativo per un nodo sorgente e un valore positivo per un nodo pozzo). Si determini un flusso di costo minimo nella rete con l algoritmo del simplesso su reti (fase e fase ), o dimostrare che il problema non ammette soluzione ammissibile. Archi (,) (,) (,) (3,) (3,) (3,) (,) (,) Costi Nodi 3 Domanda Domanda 3 Definire il problema di cammino minimo e dimostrare il teorema di Floyd-Warshall.

6 F Ricerca Operativa Seconda Prova Intermedia È dato il problema di PL in figura. Utilizzando le condizioni di ortogonalità dimostrare l esistenza o meno di una soluzione ottima con le seguenti caratteristiche: le variabili x e x sono strettamente positive ed il primo vincolo è soddisfatto con la disuguaglianza stretta. In caso di esistenza, mostrare una soluzione così fatta e la soluzione duale che ne certifica l ottimalità. min x + x x + x + x x 0 x x x + x 6 x, x3, x, x x libera 3 In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 7 nodi, i valori di capacità degli archi ed un flusso iniziale. Partendo dal flusso dato, trovare il massimo flusso inviabile dal nodo al nodo 7 con l algoritmo di Ford e Fulkerson. Individuare il taglio di capacità minima nel grafo. Archi (,) (,) (,) (,6) (3,) (3,7) (,3) (,3) (,) (6,) (6,3) (6,) (6,7) Capacità Flussi Illustrare il problema di flusso di costo minimo. Dimostrare che una base della matrice dei coefficienti coincide con un albero ricoprente della rete di flusso.

7 G Ricerca Operativa Seconda Prova Intermedia È dato il problema di PL in figura. Utilizzando le condizioni di ortogonalità dimostrare l esistenza o meno di una soluzione ottima con le seguenti caratteristiche: le variabili x, x e x sono strettamente positive. In caso di esistenza, mostrare una soluzione così fatta e la soluzione duale che ne certifica l ottimalità. max x x x + x x x x + x = 3 = 0 = 6 In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 7 nodi, i costi unitari degli archi ed un flusso iniziale. Partendo dal flusso dato, trovare il flusso di costo minimo del grafo con la fase dell algoritmo del simplesso su reti. Archi (,) (,) (,) (,6) (3,) (3,7) (,3) (,3) (,) (6,) (6,3) (6,) (6,7) Costi Flussi Illustrare il problema di determinare un albero ricoprente di costo minimo. Dimostrare delle proprietà delle soluzioni ottime che consentono la realizzazione di algoritmi per risolvere tale problema. Descrivere gli algoritmi noti per risolvere il problema e discuterne la complessità computazionale.

8 H Ricerca Operativa Seconda Prova Intermedia È dato il problema di PL in figura. Utilizzando le condizioni di ortogonalità dimostrare l esistenza o meno di una soluzione ottima con le seguenti caratteristiche: le variabili x e x sono strettamente positive. In caso di esistenza, mostrare una soluzione così fatta e la soluzione duale che ne certifica l ottimalità. min x + x x + x + x x 0 x + x x + x 6 x, x3, x, x x libera 3 In tabella sono riportati gli archi di un grafo orientato con 7 nodi ed i pesi degli archi. Trovare il cammino minimo dal nodo al nodo 7 con l algoritmo di Dijkstra nella versione efficiente. Archi (,) (,) (,6) (,) (,6) (3,) (3,7) (,3) (,3) (,) (6,3) (6,) (6,7) Pesi Illustrare il problema di Massimo Flusso e dimostrare il teorema di Ford-Fulkerson.