A-2 a PI UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa 1 Seconda prova intermedia 19 giugno 2015

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1 A- a PI UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Seconda prova intermedia giugno Nome: Cognome: Matricola: Orale giugno, ore : aula N Orale luglio, ore : aula N Eserciio L aienda Ethil S.p.A. vuole investire nella produione delle bevande alcoliche in tabella. La loro produione richiede di utiliare due uvaggi (Sangiovese, Trebbiano) nelle proporioni indicate in tabella. In particolare ciascuna colonna indica il profitto per bottiglia in euro e le quantità di uve (in kg) necessarie alla produione di una bottiglia del vino o liquore corrispondente a quella colonna. L ultima colonna indica le disponibilità di uvaggi (in q.li) previste per la prossima stagione.. Formulare come problema di PL il problema di decidere quante bottiglie produrre con le uve disponibili al fine di massimiare i profitti della Ethil S.p.A.. Costruire il problema duale e risolverlo con il metodo grafico o con il metodo di Fourier-Motkin (uno a scelta).. Dalla soluione ottima duale ricavare la soluione ottima primale con le condiioni di ortogonalità. Vermut Venerini Vino Brindisino Vino Morello Spumante Ottonari Grappa Decino Disp. Uve Profitto Unitario 8 Sangiovese Trebbiano 8 Soluione. Il problema proposto è evidentemente un problema di allocaione di risorse (o pianificaione della produione) con prodotti e risorse, corrispondenti a variabili (numero di bottiglie prodotte per ciascuna bevanda: vermut venerini, vino brindisino, vino morello, spumante ottonari, grappa decino) e vincoli (disponibilità di uve sangiovese e trebbiano). Si ha quindi la formulaione (dove la disponibilità di uve è espressa in kg): ma Problema duale: 8 8 Risolvendo, per es., con il metodo di Fourier-Motkin, si trasforma il problema come segue:

2 8 8 Proieione di per sostituione: rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr Per proieione di si ottiene: Che risolto per ispeione fornisce l ottimo:..,...,, Si ottiene quindi a ritroso la soluione ottima: ; 7.. Condiioni di ortogonalità:

3 ( ) ( ) ( ) ( 8) ( ) (..) ( 8..) Sostituendo nei vincoli si ha: ; ; ;..; 8.. Da cui: 8.. ;... Eserciio In tabella è riportata una rete di flusso con 7 nodi e archi, con i pesi degli archi e le forniture dei nodi. archi (,) (,) (,) (,) (,) (,7) (,) (,7) (,) (,) (,) pesi 7 nodi 7 forniture - - Deterare una soluione ottima del problema di flusso a costo imo per la rete data utiliando l algoritmo del simplesso su rete (fase e fase ), ovvero dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente. Soluione Fase. Si aggiunge il nodo artificiale 8 e gli archi: (,8), (,8), (,8), (8,), (8,7). Si sceglie come base iniiale l albero formato dagli archi: (,8), (,8), (,8), (8,), (8,7), (,), (,) con flussi iniiali rispettivamente,,,,,,. Entra in base (,7), esce (8,7). Nuova base: (,8), (,8), (,8), (8,), (,7), (,), (,) con flussi,,,,,,. Entra in base (,), esce (,8). Nuova base: (,8), (,8), (,), (8,), (,7), (,), (,) con flussi,,,,,,. Entra in base (,), esce (,8), iteraione degenere. Nuova base: (,8), (,), (,), (8,), (,7), (,), (,) con flussi,,,,,,. Entra in base (,), esce (8,). Nuova base: (,8), (,), (,), (,), (,7), (,), (,) con flussi,,,,,,. Fine fase. Fase. Base iniiale: (,), (,), (,), (,7), (,), (,) con flussi,,,,,. Entra (,) esce (,). Nuova base: (,), (,), (,), (,7), (,), (,) con flussi,,,,,,. La base corrente è ottima.

4 A-Esame UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello giugno Nome: Cognome: Matricola: Orale giugno, ore : aula N Orale luglio, ore : aula N Eserciio L aienda Ethil S.p.A. vuole investire nella produione delle bevande alcoliche in tabella. La loro produione richiede di utiliare due uvaggi (Sangiovese, Trebbiano) nelle proporioni indicate in tabella. In particolare ciascuna colonna indica il profitto per bottiglia in euro e le quantità di uve (in kg) necessarie alla produione di una bottiglia del vino o liquore corrispondente a quella colonna. L ultima colonna indica le disponibilità di uvaggi (in q.li) previste per la prossima stagione.. Formulare come problema di PL il problema di decidere quante bottiglie produrre con le uve disponibili al fine di massimiare i profitti della Ethil S.p.A.. Risolvere il problema primale con l algoritmo del simplesso (fase e fase ). Costruire il problema duale. Dalla soluione ottima primale ricavare la soluione ottima duale con le condiioni di ortogonalità.. Utiliando l analisi di sensitività, ricavare la ima quantità di uva Sangiovese necessaria affinché la base ottima ricavata al punto resti ottima. Vermut Venerini Vino Brindisino Vino Morello Spumante Ottonari Grappa Decino Disp. Uve Profitto Unitario 8 Sangiovese Trebbiano 8 Soluione Le soluioni sono chiaramente le stesse del compito A-a PI. Per l ultimo punto è sufficiente osservare che la CARRY finale ottenuta al punto contiene l inversa della base ottima BB {,}: AA BB e che questa base resta ottima finché resta ammissibile, ovvero: AA BB bb. 8 Per quanto riguarda il vettore b dobbiamo considerare invariata la disponibilità di Trebbiano e rendere variabile la disponibilità di Sangiovese, quindi: tt bb 8.. Infine dobbiamo risolvere il problema: {tt: AA BB bb }, ovvero: {tt: tt 8.. }, da cui l ottimo: tt 8... Eserciio In tabella sono riportati gli archi di una rete, con 7 nodi e archi, e i loro pesi.

5 archi (,) (,) (,) (,) (,) (,7) (,) (,7) (,) (,7) (,) (,) (,) (,) pesi 7. Utiliando l algoritmo di Dijkstra trovare il camo imo dal nodo al nodo 7.. Utiliando l algoritmo del simplesso su rete dimostrare o confutare l ottimalità della soluione ottenuta al punto. Allo scopo si ponga pari a: la fornitura del nodo, - quella del nodo 7 e quella degli altri nodi. Soluione. Il camo imo è il camo,,,,,, 7, di peso.. La domanda equivale a dimostrare o confutare l ottimalità della soluione: archi (,) (,) (,) (,) (,) (,7) (,) (,7) (,) (,7) (,) (,) (,) (,) flussi Allo scopo si nota che la soluione proposta è una soluione base ammissibile non degenere, in cui gli archi in base sono gli archi di flusso non nullo. Le condiioni di ottimalità del simplesso su rete sono verificate, pertanto la soluione data è ottima per il problema di flusso di costo imo corrispondente al problema di percorso imo dato.

6 B- a PI UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Seconda prova intermedia giugno Nome: Cognome: Matricola: Orale giugno, ore : aula N Orale luglio, ore : aula N Eserciio L aienda Farm S.p.A. vuole modificare le caratteristiche chimiche di un terreno di ettari per adattarlo alla produione di fagioli olfanelli. Allo scopo deve arricchire il terreno con i elementi in tabella, secondo le quantità ime riportate nella prima riga. Il mercato offre due concimi composti A e B, che hanno un contenuto di ciascun elemento indicato in tabella (in grammi di elemento per kilogrammo di concime). L ultima colonna riporta il costo di ciascun concime in euro per quintale.. Formulare come problema di PL il problema di decidere quanto concime acquistare al fine di concimare i ettari di terreno al costo imo.. Risolvere il problema con il metodo grafico o con il metodo di Fourier-Motkin (uno a scelta).. Costruire il problema duale.. Ricavare la soluione ottima duale con le condiioni di ortogonalità, a partire dalla soluione trovata al punto. Costo Ferro Aoto Potassio Fosforo Zolfo ( /ql) Quantità (gr/ettaro) 8 Concime A (gr/kg) Concime B (gr/kg) 8 Soluione. Il problema proposto è evidentemente un problema di miscelaione con ingredienti da miscelare (A e B) e componenti di interesse, corrispondenti a variabili (contenuto AA di concime A e BB di concime B nella miscela, che possiamo, per es. esprimere in quintali) e vincoli (quantità di ciascun elemento nella miscela sufficiente a concimare ettari). Per i teri noti dobbiamo tenere conto del fatto che è necessario concimare ettari e che un quintale di concime contiene volte il contenuto di kg di concime. Si ha: AA 8 BB AA BB AA BB AA BB AA AA BB 8. Risolvendo con Fourier-Motkin (la procedura è del tutto simile a quella del compito A-a PI) si ottiene la soluione ottima: AA ; BB.. Problema duale: ma 8 8

7 . Con una procedura analoga a quella del compito A-a PI si ottiene: ( 8 ) TT. Eserciio In tabella sono riportati gli archi di una rete di flusso composta da 7 nodi 7. Per ogni arco è riportato un flusso iniiale e il valore della sua capacità massima. In particolare, è il nodo sorgente e 7 è il nodo poo. Archi (,) (,) (7,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,7) (,7) Flussi Capacità 8 7. Partendo dai dati in tabella, deterare se la distribuione di flusso iniiale data è ammissibile, e spiegarne il motivo. In caso affermativo, mostrare il flusso iniiale entrante nel poo e deterare una soluione ottima al problema del massimo flusso utiliando l algoritmo di Ford e Fulkerson. Altrimenti, scaricare il flusso iniiale e risolvere il problema del massimo flusso utiliando l algoritmo di Ford e Fulkerson.. Mostrare un taglio di capacità ima tra i nodi e 7.. Si aggiunga l arco scarico (, ) di capacità alla rete. Partendo dalla soluione ottima trovata al punto, si deteri il nuovo flusso massimo. Evideniare il nuovo taglio ottimo trovato. Soluione. La distribuione di flusso iniiale data non è ammissibile perché non sono rispettati i vincoli di conservaione del flusso ai nodi e. Da cui, si scarica il flusso iniiale e si risolve il problema del massimo flusso utiliando l algoritmo di Ford e Fulkerson. La ricerca di cami aumentanti porta a trovare, ad esempio, i cami: 7 flusso aumentante, flusso totale sulla rete. 7 flusso aumentante, flusso totale sulla rete. 7 flusso aumentante, flusso totale sulla rete. 7 flusso aumentante, flusso totale sulla rete 7. 7 flusso aumentante, flusso totale sulla rete 8.. La ricerca di un albero dei cami aumentanti dal nodo porta a costruire l albero orientato: che individua il taglio S {,,} e S {,,,7} Gli archi del taglio diretto sono (,); (,); (,) di capacità 8, pari al flusso totale che si dimostra così essere massimo.. Per rispondere alla tera domanda si osserva che l arco (,) è un nuovo arco del taglio diretto imo, che quindi aumenta a la capacità di quel taglio. Il flusso 8 pertanto potrebbe non essere più massimo e si cerca, a partire da questo (che resta ammissibile) un nuovo camo aumentante: 7 flusso aumentante, flusso totale sulla rete. La ricerca di un albero dei cami aumentanti dal nodo porta a costruire l albero orientato: che individua il taglio S {,,,,,} e S {7} Gli archi del taglio diretto sono (,7); (,7) di capacità, pari al flusso totale che si dimostra così essere massimo.

8 B-Esame UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello giugno Nome: Cognome: Matricola: Orale giugno, ore : aula N Orale luglio, ore : aula N Eserciio L aienda Farm S.p.A. vuole modificare le caratteristiche chimiche di un terreno di ettari per adattarlo alla produione di mais. Allo scopo deve arricchire il terreno con i elementi in tabella, secondo le quantità ime riportate nella prima riga. Il mercato offre due concimi composti A e B, che hanno un contenuto di ciascun elemento indicato in tabella (in grammi di elemento per kg di concime). L ultima colonna riporta il costo di ciascun concime in euro per quintale.. Formulare come problema di PL il problema di decidere quanto concime acquistare al fine di concimare i ettari di terreno al costo imo.. Costruire il problema duale.. Risolvere il problema duale con l algoritmo del simplesso (fase e fase ).. Ricavare la soluione ottima primale con le condiioni di ortogonalità, a partire dalla soluione ottima duale.. Utiliando l analisi di sensitività, ricavare il imo costo del concime A tale che la base ottima duale ricavata al punto resti ottima. Costo Ferro Aoto Potassio Fosforo Zolfo ( /ql) Quantità (gr/ettaro) 8 Concime A (gr/kg) Concime B (gr/kg) 8 Soluione Le soluioni sono chiaramente le stesse del compito B-a PI. Per l ultimo punto è sufficiente osservare che la CARRY finale ottenuta al punto contiene l inversa della base ottima BB {,} del problema duale: AA BB e che questa base resta ottima finché resta ammissibile, ovvero: AA BB bb. 8 Per quanto riguarda il vettore b dei teri noti del duale (e quindi dei costi del primale) dobbiamo considerare invariato il costo del concime B e rendere variabile il costo del concime A, quindi: bb tt 8 Infine dobbiamo risolvere il problema: {tt: AA BB bb }, ovvero: {tt: tt 8 }, da cui l ottimo: tt 8. Eserciio In tabella è riportata una rete di flusso con 7 nodi e archi, con i pesi degli archi e le forniture dei nodi. archi (,) (,) (,) (,) (,) (,7) (,) (,7) (,) (,) (,) pesi 7 nodi 7 forniture - -

9 . Utiliando l algoritmo di Prim, a partire dal nodo, trovare un albero ricoprente di peso imo nel grafo sottostante la rete (trascurando quindi il verso degli archi).. Utiliare l albero ottenuto al punto come base iniiale del problema di flusso a costo imo per la rete in tabella (considerando quindi il verso degli archi). Deterare i flussi di tutti gli archi in base e deterare se la base così ottenuta è ammissibile o meno.. Deterare una soluione ottima del problema di flusso a costo imo utiliando l algoritmo del simplesso su rete. Se la base ottenuta al punto è ammissibile, partire da questa (quindi eseguendo solo la fase ), altrimenti cercare una base ammissibile con la fase del simplesso su rete e poi ottenere la base ottima con la fase. Soluione. Il imo albero ricoprente è dato dagli archi è il camo (,), (,), (,), (,), (,), (,7), di peso totale.. La domanda equivale a dimostrare o confutare l ottimalità della soluione: archi (,) (,) (,) (,) (,) (,7) (,) (,7) (,) (,) (,) flussi Allo scopo si nota che la soluione proposta è una soluione base ammissibile non degenere, in cui gli archi in base sono gli archi di flusso non nullo. Le condiioni di ottimalità del simplesso su rete sono verificate, pertanto la soluione data è ottima per il problema di flusso di costo imo dato.

10 C-Esame UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello giugno Nome: Cognome: Matricola: Orale giugno, ore : aula N Orale luglio, ore : aula N Eserciio In tabella sono riportati gli archi di una rete di flusso con 7 nodi 7. Per ogni arco è riportato un flusso iniiale e il valore della sua capacità massima. In particolare, è il nodo sorgente e è il nodo poo. Archi (,) (,) (,) (,) (7,) (,) (,) (,) (,) (,) (,7) (,7) Flussi Capacità 8 a. Partendo dai dati in tabella, deterare se la distribuione di flusso iniiale data è ammissibile, e spiegarne il motivo. In caso affermativo, mostrare il flusso iniiale e deterare una soluione ottima al problema del massimo flusso utiliando l algoritmo di Ford e Fulkerson. Altrimenti, scaricare il flusso iniiale e risolvere il problema del massimo flusso utiliando Ford e Fulkerson. b. Mostrare un taglio di capacità ima tra i nodi e. c. Partendo dalla soluione ottima trovata al punto a, si deteri il nuovo flusso massimo se l arco scarico (, ) di capacità è inserito nella rete di flusso. Evideniare il taglio ottimo trovato. Soluione.a La distribuione di flusso iniiale data è ammissibile perché sono rispettati tutti i vincoli di conservaione del flusso sui nodi della rete e tutti i vincoli di capacità sugli archi della rete. Il flusso totale sulla rete è nullo. Si risolve il problema del massimo flusso utiliando l algoritmo di Ford e Fulkerson. La ricerca di cami aumentanti porta a trovare, ad esempio, i cami: flusso aumentante, flusso totale sulla rete. 7 flusso aumentante, flusso totale sulla rete 8. 7 flusso aumentante, flusso totale sulla rete. flusso aumentante, flusso totale sulla rete. flusso aumentante, flusso totale sulla rete..b La ricerca di un albero dei cami aumentanti dal nodo porta a costruire l albero orientato: che individua il taglio S {,,,7} e S {,,} Gli archi del taglio diretto sono (,); (7,) di capacità 8, pari al flusso totale che si dimostra così essere massimo..c Per rispondere alla tera domanda si osserva che l arco (,) è un nuovo arco del taglio diretto imo, che quindi aumenta a la capacità di quel taglio. Il flusso pertanto potrebbe non essere più massimo e si cerca, a partire da questo (che resta ammissibile) un nuovo camo aumentante. La ricerca di un albero dei cami aumentanti dal nodo porta a costruire l albero orientato: che individua il taglio S {,,,7,,} e S {}

11 Gli archi del taglio diretto sono (,); (7,) di capacità 8, pari al flusso totale che si dimostra così essere massimo. Eserciio È dato il problema di PL in figura.. Risolvere il problema con il metodo di Fourier-Motkin.. Formulare il problema duale e ridurlo in forma standard.. Utiliando l algoritmo del simplesso rivisto (fase e fase ) trovare una soluione ottima del problema duale in forma standard o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente.. Verificare il soddisfacimento delle condiioni di ortogonalità per le soluioni trovate ai punti e. libera ma Soluione. Soluione del primale con il metodo di Fourier-Motkin. ma Proieione di ma ma Proieione di : ma ma ma Da cui si ottiene (a ritroso) la soluione ottima: 7. Formulaione del duale.

12 libera ma,. Soluione del duale. Forma standard: Problema artificiale:, Fase. Entra esce ; entra esce. Fine fase. Fase. Base B{,}. / / / / B A / / / / / / T / /. La SBA corrente risulta ottima. Soluione ottima duale in forma standard: Soluione ottima duale originale:.. Soddisfacimento delle condiioni di ortogonalità: Condiioni di ortogonalità: tutte verificate.

13 D-Esame UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Studi in Ingegneria Informatica Ricerca Operativa Primo appello giugno Nome: Cognome: Matricola: Orale giugno, ore : aula N Orale luglio, ore : aula N Eserciio In tabella sono riportati gli archi di un digrafo pesato con nodi, archi e i rispettivi pesi. Archi/Lati (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Pesi a. Trovare l albero dei cami orientati di peso imo dal nodo verso tutti gli altri nodi utiliando la versione efficiente dell algoritmo di Dijkstra. Indicare in quale ordine vengono aggiunti i nodi in S. Mostrare l albero dei cami orientati imi e calcolare il peso del percorso orientato imo dal nodo al nodo. b. Dal digrafo in tabella ricavare il grafo sottostante, con vertici, lati e i rispettivi pesi. Trovare e mostrare un albero ricoprente di peso imo partendo dal vertice tramite la versione efficiente dell algoritmo di Prim-Dijkstra. Indicare in quale ordine vengono aggiunti i lati all albero e calcolare il peso dell albero. c. In che cosa differiscono i due alberi trovati ai punti a e b? L albero trovato al punto a è ottimo per il problema presentato al punto b? Se no, perché? Soluione.a Applicando la versione efficiente dell algoritmo di Dijkstra si ottiene il seguente albero ottimo: S {,,,,,} Il peso dell albero è. In particolare, il camo orientato ottimo dal nodo al nodo pesa..b Applicando la versione efficiente dell algoritmo di Prim-Dijkstra si ottiene ad esempio il seguente albero ottimo: S {,,,,,} Il peso dell albero è 8..c L albero trovato al punto b ha un peso inferiore all albero trovato al punto a, perché il problema del punto b è quello di trovare l albero di peso ore. L albero trovato al punto a mostra le distane ime per raggiungere ciascun nodo a partire dal nodo, cosa non garantita dall albero

14 del punto b (per esempio raggiungere i nodi e ha un costo superiore nell albero b rispetto all albero a). Eserciio È dato il problema di PL in figura.. Risolvere il problema con il metodo di Fourier-Motkin.. Formulare il problema duale e ridurlo in forma standard.. Utiliando l algoritmo del simplesso rivisto (fase e fase ) trovare una soluione ottima del problema duale in forma standard o dimostrare che il problema è impossibile o illimitato inferiormente.. Verificare il soddisfacimento delle condiioni di ortogonalità per le soluioni trovate ai punti e. libera Soluione. Soluione del primale con il metodo di Fourier-Motkin. Proieione di 7 Proieione di e soluione per ispeione: ;. Problema duale: libera, ma Duale in forma standard:

15 . Problema artificiale:, Base iniiale (indiciando con la colonna di ): B{,}. Soluione ottima duale in forma standard:,, Soluione ottima duale originale:,,. Condiioni di ortogonalità: Sostituendo le soluioni trovate si ha:,8,8,, 8,, Come atteso sono tutte verificate.