Esercizi sui sistemi di equazioni lineari.

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1 Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la prima cosa da fare è calcolare il determinante della matrice incompleta A per vedere se sono verificate le ipotesi del teorema di Cramer Si ha: (effettuando la sostituzione C C + C ) det A ( + ), dunque, per il teorema di Cramer, il sistema è determinato La soluzione (x, y, z) si trova con la regola di Cramer: x 6 (R R +R ) 6 ( + ) ; y 6 (C C +C ) 6 6 ( 6) ; z 6 (C C +C ) 6 6 6

2 In conclusione, il sistema è determinato e la sua unica soluzione è la terna ordinata (,, ) Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + 4z x y x 5y 4z Anche in questo caso è m n, per cui conviene iniziare dal calcolo del determinante della matrice incompleta Si ha: 4 det A 5 4 (R R +R ) 5 4 e quindi, dato che nell ultimo determinante è R R, si conclude che det A Cerchiamo allora la caratteristica della matrice incompleta A e di quella completa 4 B 5 4 Per la matrice A, essendo det A, si ha r(a) ; osservando, poi, che per il minore M risulta det M +, si conclude che r(a) Per la matrice completa si ha allora r(b) e, per decidere se è r(b) oppure r(b), basta controllare gli orlati di M in B; essi sono: la matrice A, il cui determinante è uguale a zero, e la matrice per la quale risulta O 5, det O 4 ( 5) + 7 ; ne segue che r(b), dunque, per il teorema di Rouché-Capelli, il sistema è impossibile

3 Risolvere il sistema di equazioni lineari x + y x y x + y Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle due incognite x e y Le matrici incompleta A e completa B sono: }{{} A } {{ } B Si nota subito che la matrice A possiede un minore di ordine due: il cui determinante è diverso da zero: M, det M 5 ; si ha quindi r(a) Si ha inoltre, per quanto riguarda la matrice completa, r(b) e, per stabilire se è r(b) oppure r(b), occorre calcolare il determinante di B Si trova: det B + ( + 4), pertanto anche r(b) A questo punto, essendo r(a) r(b) numero delle incognite, possiamo concludere che il sistema è determinato ed è equivalente (dato che il minore M individua le prime due righe) al sistema x + y x y Risolvendo con la regola di Cramer, abbiamo che l unica soluzione è la coppia ordinata (x, y), dove

4 x 5 5, y Riepilogando, il sistema è determinato e la sua unica soluzione è ( 5, 4 5) 4 Risolvere il sistema di equazioni lineari x y z x + y + z x 6y 7z 4 Il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite (m n ) Consideriamo pertanto il determinante della matrice incompleta A 7 Notiamo subito che in tale matrice si ha C C, dunque det A e quindi r(a) D altra parte, la matrice A possiede un minore di ordine due: M, il cui determinante è diverso da zero: det M + 4; si ha pertanto r(a) Calcoliamo la caratteristica della matrice completa B 7 4 Consideriamo, a tale scopo, gli orlati di M in B; essi sono: la matrice A, per la quale è det A, e la matrice O 7 4, per la quale si trova: det O 4 + (8 + 8) ; se ne conclude che anche B ha caratteristica uguale a 4

5 Essendo r(a) r(b), mentre il numero delle incognite è, concludiamo che il sistema è indeterminato ed ha soluzioni Tenendo presente che il minore M individua nella matrice A le prime due righe e la seconda e la terza colonna, cioè individua le prime due equazioni e le incognite y e z, si ha che le soluzioni si trovano assegnando valori arbitrari all incognita x e risolvendo in corrispondenza, con la regola di Cramer, il sistema nelle due incognite y e z: { y z x y + z + x In questo modo si ottiene: x + x y x + + x 4 4 x, z x + x 4 4 x + x 4 In conclusione, il sistema è indeterminato e le sue soluzioni sono le infinite ( ) terne ordinate ( x, x ),, ottenute al variare di x in R 5 Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z x y z 5 x + y + z 5 x y + 9z 9 Si tratta di un sistema di 4 equazioni lineari nelle incognite x, y e z, le cui matrici incompleta A e completa B sono: 9 }{{} A } {{ } B Osserviamo che nella matrice A è C C, per cui tutti i minori di ordine hanno il determinante uguale a zero; d altra parte c è un minore di ordine, M, 5

6 il cui determinante è diverso da zero: det M + 5; si ha pertanto r(a) Per determinare la caratteristica della matrice B occorre considerare gli orlati di M in B; essi sono: i due orlati di M in A, che, come sappiamo, hanno determinante uguale a zero, e le due matrici O 5 5, O 5 9 9, per le quali si trova: det O 5 ( ), det O 7 (8 45) ; ne segue che r(b), pertanto, essendo r(a) r(b), il sistema è impossibile 6 Risolvere il sistema di equazioni lineari 4x + y + z t x y + t y z t 4 x + z t Si tratta di un sistema di quattro equazioni lineari nelle quattro incognite x, y, z e t Calcoliamo il determinante della matrice incompleta A: 4 det A (effettuando le sostituzioni R R + R e R R R ) (sviluppando secondo C ) 7 (C C +C ) ( ) 7 ( 7+6) 6

7 Poichè det A, il sistema è determinato e la sua unica soluzione (x, y, z, t) si trova mediante la regola di Cramer: x det A 4 (C C +C 4 ) 4 (sviluppando secondo R 4 ) ( ) ( ) 4 (C C +C ) 4 (sviluppando secondo R ) ( ) 4 ( ) ; 4 4 y (R R +4R ) 4 4 (R R +R ) 4 6 ( ) () 8( + ) 8 ; 4 5 z (C C +C 4 ) ( ) [ 5 ] [ 5(4 ) ( 4 + )] ( 5 + ) ; 4 t 4 (R R +4R ) 4 7

8 4 (C C C ) 8 ( ) 8 (6 8) 6 Riepilogando, il sistema è determinato e la sua unica soluzione è la quaterna ordinata (, 8,, 6) 7 Risolvere il sistema di equazioni lineari x + y t x y + z + t y z + t x 7 y + 4z + 4t Anche questo è un sistema di quattro equazioni lineari nelle quattro incognite x, y, z e t Calcoliamo il determinante della matrice incompleta A: det A (mediante le sostituzioni R R R, R 4 R 4 R ) ( ) Cerchiamo allora la caratteristica di A Si trova subito un minore di A di ordine due avente determinante non nullo: M, quindi r(a) Per stabilire se è r(a) oppure r(a) occorre considerare i minori orlati di M in A e vedere se almeno uno di essi ha determinante diverso da zero Gli orlati di M sono quattro (vi sono due possibilità di scelta sia per la riga che per la colonna da 8

9 aggiungere); considerando l orlato P ottenuto aggiungendo la terza riga e la terza colonna, troviamo (R R R ) det P, pertanto r(a) Passiamo adesso alla matrice completa B ; gli orlati di P in B sono la matrice A, che, come sappiamo, ha determinante uguale a zero, e la matrice Q, 7 4 per la quale si trova: det Q (C C C ) [ ( + + 4)] [4 ] ; si ha pertanto r(b) 4, dunque il sistema è impossibile 8 Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + t y + z t x + y + 6z t y z + t Ci troviamo nuovamente nel caso m n 4 Calcoliamo il determinante della matrice incompleta A; otteniamo: (R R R ) det A 6 6 9

10 e, osservando che nell ultimo determinante si ha R R, concludiamo che det A Inoltre, poichè il secondo determinante è stato ottenuto dal det A mediante la sostituzione R R R, deduciamo che nella matrice A risulta R R R, cioè R R + R Passando alla matrice completa B, 6 constatiamo subito che la relazione R R + R, che è verificata in A, è vera pure nella matrice B; pertanto le caratteristiche delle matrici A e B sono uguali a quelle delle matrici A e B ottenute eliminando la terza riga: }{{} A } {{ } B Nella matrice A si nota subito un minore M di ordine con determinante diverso da zero: M ; det M ( ) ; di conseguenza si ha r(a ) r(b ) e quindi anche r(a) r(b) Per il teorema di Rouché-Capelli concludiamo che il sistema è indeterminato ed ha soluzioni, che si trovano (dato che M individua in A le righe R, R e R 4 e le colonne C, C e C ) attribuendo valori arbitrari all incognita t nel sistema formato dalla prima, seconda e quarta equazione: x y t y + z + t y z t e ricavando i valori delle altre tre incognite con la regola di Cramer In questo modo si ottiene: x t det M + t t [t + 6t ( + t 4t)] [8t ( t)] (t ) ;

11 y t + t t + t t ( t + 6t) (4t ) ; z t + t t + t t ( t t) (5t + ) In conclusione, il sistema è indeterminato ed ha soluzioni: le infinite quaterne ordinate ( ) ( t) 4t 5t +,,, t che si ottengono al variare di t in R 9 Risolvere il sistema di equazioni lineari x + y z t 4 x y z + t x y z + 7t 4 In questo caso è m, n 4 Le matrici incompleta A e completa B sono }{{} A } {{ } B La matrice A possiede un minore M di ordine con determinante diverso da zero: M 4 ; det M, pertanto r(a) Gli orlati di M in A sono O 4, O 4 7

12 e si ha: det O + [ + ], det O [ ], dunque r(a) Nella matrice B il minore M ha un altro orlato: O 4 4, ma anche per questo si ha det O ( ), di conseguenza r(b) Poichè r(a) r(b), mentre il numero delle incognite è 4, il sistema è indeterminato ed ha soluzioni, le quali (tenendo presente che M individua le prime due righe e le prime due colonne) si trovano attribuendo valori arbitrari alle incognite z e t nel sistema formato dalle prime due equazioni: x + y z + t 4 x y + z t e ricavando i valori delle incognite x e y con la regola di Cramer Procedendo in questo modo si ottiene: z + t + z t x ( z t z + 4t) 4 z t + 4 ; z + t 4 + y z t [ + z t 4 z 4 ] t 6 z + t In conclusione, il sistema è indeterminato e le sue soluzioni sono le quaterne ordinate del tipo ( 4 z t + 4, 6 z + t ), z, t, ottenute al variare di z e t in R Risolvere il seguente sistema di equazioni (nelle incognite x, y e z): x + log y +z(z + ) x + log y + z(z + ) x + log y z(z + ) 4 (9 ottobre 99)

13 Il sistema assegnato può essere scritto nel modo seguente: x + log y +z(z + ) () x + log y + z(z + ) x log y z(z + ) 4 ; ne segue che, considerato il sistema di equazioni lineari u +v +w () u +v + w u v w 4, nelle incognite u, v e w, si ha l equivalenza: la terna (x, y, z) è soluzione del sistema () y > e la terna (x, log y, z(z + )) è soluzione del sistema () Risolviamo pertanto il sistema () Calcoliamo il determinante della matrice incompleta A; troviamo ( det A + 4 ), pertanto il sistema () è determinato e la sua soluzione (u, v, w) è data da: u ( 4 ) 4 ( ) ; v ( 4 ) ( 4) ( ) ; w 4 4 ( )( ) Ritornando al sistema iniziale, poichè log y y 8, z(z + ) z + z z ± 9 z oppure z,

14 concludiamo che esso ha due soluzioni: (, 8, ) e (, 8, ) Risolvere il sistema di equazioni lineari: { x +y z x +y +z ; trovarne inoltre, qualora ciò sia possibile, almeno una soluzione (x, y, z) verificante l ulteriore condizione yz (9 giugno 995) Si ha m, n Si osserva subito che il minore M ha determinante uguale a ; ne segue che il sistema è indeterminato con soluzioni Le soluzioni si ottengono attribuendo valori arbitrari all incognita z, che viene trattata come un termine noto: { x +y z, x +y z e ricavando i valori delle incognite x e y con la regola di Cramer: x z z z 6, y z z 9 4z In altre parole, le soluzioni sono le infinite terne ordinate (z 6, 9 4z, z), z R ; quelle che verificano l ulteriore condizione yz sono quelle per cui è (9 4z)z, cioè quelle che si ottengono facendo variare z in ], ] [ 9 4, + [ Per quali valori del parametro reale a il sistema di equazioni lineari ax +y +z a x +(a + )y +z x +y +(4 a)z ha infinite soluzioni? (6 febbraio 99) 4

15 Poichè il numero delle incognite è, i valori del parametro a per i quali il sistema è indeterminato sono quelli per cui risulta r(a) r(b) <, dove, come di consueto, si sono denotate con A e B, rispettivamente, la matrice incompleta e quella completa La condizione r(a) < equivale a det A Calcoliamo il det A: a det A a + 4 a a(a+)(4 a)+6+ [(a+)+(4 a)+a] a( a +a+4)+8 [a++8 a+a] pertanto a + a + a a (a ) + a (a )( a ) ; r(a) < (a )( a ) a oppure a ± Adesso dobbiamo vedere per quali dei valori trovati è soddisfatta anche l altra condizione r(a) r(b) Nel caso a ± la colonna dei termini noti ha tutti gli elementi nulli, dumque r(a) r(b) Invece, se a, la matrice incompleta è 8 B 4 e si nota subito un minore di ordine con determinante diverso da zero: 8 M 4, det M 8 4 8, dunque r(b) r(a) In conclusione, i valori di a per i quali il sistema ha infinite soluzioni sono: e Risolvere il sistema di equazioni lineari 4x y +z x y +z 5x y +kz al variare del parametro k R ( febbraio 995) 5

16 Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Calcoliamo il determinante della matrice incompleta A: pertanto 4 det A 5 k 4k 5 4 ( k 8) k + 9 ( k) ; det A k Ne segue che per k il sistema è determinato ed ha come unica soluzione la terna (x, y, z), dove k x ( k) ( k) k ; 4 5 k 4 y ( k) ( k) k ; z ( k) ( k) k Nel caso k la matrice incompleta A e quella completa B sono: 4 5 }{{} A } {{ } B Poichè, come sappiamo, det A e poichè il minore M 4 ha determinante diverso da zero, risulta r(a) Passando alla matrice B, abbiamo che l altro orlato di M, oltre A, è 4 O 5 6

17 ed il suo determinante è det O det M 9, pertanto r(b) ; ne segue che il sistema è impossibile Riepiloghiamo i risultati ottenuti: - se k il sistema è determinato e la sua unica soluzione è - se k il sistema è impossibile ( ) k, k, k ; 4 Risolvere il sistema di equazioni lineari x y +z x y +4z k x y +z al variare del parametro k R Siamo nel caso m n Si osserva subito che nella matrice incompleta A 4, ( dicembre 994) la quale non dipende dal parametro k, è C C, dunque det A ; inoltre, vi è un minore di ordine con determinante diverso da zero: M 4, det M ; pertanto r(a) k R Per quanto riguarda la matrice completa B, abbiamo che l altro minore orlato di M, oltre A, è O 4 k ; effettuando la sostituzione C C + C otteniamo det O 4 k 5 (k 5) 5 k ; 7

18 ne segue che r(b) { se k 5, se k 5 Di conseguenza, se k 5 il sistema è impossibile, mentre nel caso k 5 il sistema è indeterminato con soluzioni; le soluzioni si trovano assegnando valori arbitrari all incognita x nel sistema formato dalle prime due equazioni: { y +z x y +4z x e ricavando i valori di y e z con la regola di Cramer: x x 4 4 4x 6 + 6x y x, x x z Riepilogando: - se k 5 il sistema è impossibile; - se k 5 il sistema è indeterminato con soluzioni; le soluzioni sono le terne ordinate (x, x, ), x R 5 Risolvere il seguente sistema al variare del parametro reale k: x +ky +k z (4k + )x y (8k )z x +y +z (8 febbraio 99) Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Calcoliamo il determinante della matrice incompleta A: k k det A 4k + (8k ) k(8k ) + k (4k + ) [ k + k(4k + ) (8k )] + k + ( k + )(8k ) + (k k)(4k + ) (k )(k + ) (k )(8k ) + k(k )(4k + ) (k )[k + 8k + + 4k + k] (k )[ 4k + k + ] (k )(k k ) ; 8

19 troviamo i valori di k per i quali il det A si annulla; si ha: det A (k )(k k ) k oppure k ± ± 4 k oppure k ; da ciò segue pure che il det A può essere fattorizzato nel seguente modo: det A (k )(k )(k + ) 4(k ) (k + ) Per quanto sopra trovato abbiamo che se k R \ {, } il sistema è determinato e la sua unica soluzione (x, y, z) - che si trova con la regola di Cramer - è data da: x k k (8k ) k k 4(k ) (k + ) 4(k ) (k + ) k k 4(k ) (k + ) k 4(k )(k + ) ; y k 4k + (8k ) 4(k ) (k + ) k 4(k ) (k + ) z k 4(k ) (k + ) k + 4(k )(k + ) ; k 4k + 4(k ) (k + ) k 4(k ) (k + ) k 4(k ) (k + ) 4(k )(k + ) Studiamo adesso il caso k Osservando che risulta (sia in A che in B) R R e che vi è un minore M di A con determinante diverso da zero: M 5, det M, 9

20 otteniamo che r(a) r(b) Di conseguenza il sistema è indeterminato ed ha soluzioni, che si ottengono attribuendo valori arbitrari all incognita z nel sistema formato dalle prime due equazioni { x +y z, 5x y + 7z e risolvendo quest ultimo rispetto alle incognite x e y con la regola di Cramer: z + 7z x z 7z 6z + ; 6 z 5 + 7z + 7z + 5z y z + 6 Consideriamo, infine, il caso k Le matrici A e B sono: 4 }{{} } {{ } B Poichè, come sappiamo, det A e poichè il minore M A ha determinante diverso da zero, risulta r(a) Passando alla matrice B, abbiamo che l altro orlato di M, oltre A, è O ed il suo determinante è det O, pertanto r(b) ; ne segue che il sistema è impossibile Riepiloghiamo i risultati ottenuti: - se k R \ {, } il sistema è determinato e la sua unica soluzione è ( ) k 4(k )(k + ), k + 4(k )(k + ), 4(k )(k + ) - se k il sistema è indeterminato ed ha soluzioni: ( ) 6z + z +,, z, z R ; 6 6 ; - se k il sistema è impossibile

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