Tempo a disposizione. 90 minuti. 1 [6 punti] Dimostrare che, per ogni n N, n 1, vale la disuguaglianza:

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1 Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico Corso di Laurea in Informatica (L-) Prova in itinere di Matematica Discreta ( CFU) Febbraio 06 A Tempo a disposizione. 90 minuti [6 punti] Dimostrare che, per ogni n N, n, vale la disuguaglianza: n n. [4 punti] Determinare le eventuali soluzioni intere (x, y) della seguente equazione: 5x + y =. [6 punti] Determinare le eventuali soluzioni del seguente sistema di congruenze: 7x 5 mod 6x 0 mod 4. 4x mod 6 4 (a) [5 punti] Tra tutte le cinquine che si possono realizzare con i novanta numeri del gioco del Lotto, quante sono quelle aventi due numeri minori di 0 e tre numeri maggiori di 60? (b) [5 punti] In un urna vi sono 4 biglie rosse e biglie nere. (i) Quanti gruppi di cinque biglie si possono formare nell ipotesi che le biglie vengano estratte consecutivamente una dopo l altra senza rimettere le biglie estratte nell urna? (ii) Quante delle precedenti sequenze di cinque biglie sono formate da due palline nere e tre rosse? 5 [4 punti] Si consideri l equazione (E) : x+y+z+t = 5. Determinare la cardinalità dell insieme delle quaterne di interi maggiori di che sono soluzioni di (E).

2 Febbraio 06 Svolgimento della prova scritta [6 punti] Per ogni n N, con n, sia P(n) : n n. Base induttiva. Banalmente per n = si ha quindi P() è valida. Ipotesi induttiva. Si supponga che valga P(n), cioè che n. n Tesi. Proviamo che vale P(n + ), cioè che n +, n + Si ha: Se proviamo che = n + n }{{} n, n N\{0} n + n + n +, + n + n + n + avremmo ottenuto la tesi. In effetti, la precedente disuguaglianza è di verifica immediata. Essa equivale a: n(n + ) + n + n(n + ) n n 0, che è banalmente verificata per ogni n N. [4 punti] L equazione proposta ammette soluzioni poiché (5, ) = divide. Da 5x + y = segue y = 5x, cioè y mod 5 e quindi y mod 5. La soluzione generale dell equazione y mod 5 è y = + 5λ, per ogni λ Z. Sostituiamo tale espressione di y nell equazione assegnata: 5x + ( + 5λ) =, da cui x = λ. In conclusione tutte e sole le soluzioni intere dell equazione data sono, al variare di λ Z, le coppie ( λ, + 5λ) Z. [6 punti] Il sistema proposto si può riscrivere come segue: x 7 mod x 0 mod 7, x mod la cui soluzione sappiamo già essere unica modulo 7 =, grazie al Teorema cinese del resto. Risolviamo il sistema: dalla prima congruenza otteniamo x = 7 + h, espressione che sostituita nella seconda congruenza dà 7 + h 0 mod 7, cioè 4h 0 mod 7. L inverso di 4 è, e moltiplicando per entrambi i membri otteniamo h 0 mod 7, cioè h = 7k. Sostituendo, si ottiene x = k. Sostituiamo ora questa espressione nella terza congruenza. Si calcola facilmente k mod, cioè k mod, che fornisce k mod dopo aver moltiplicato per. In conclusione k = + l, che sostituito

3 nell espressione per x fornisce x = ( + l) = 6 + l. Le soluzioni del sistema dato sono quindi tutti gli interi congrui a 6 modulo, cioè tutti gli interi x tali che x 6 mod. 4 (a) [5 punti] Vi sono 9 numeri minori di 0 e 0 numeri maggiori di 60 e minori o uguali di 90. Nel gioco del Lotto, ovviamente, non è interessante l ordine. Si ha dunque che, per la regola del prodotto, il numero di cinquine richiesto è pari a ( ) 9 ( ) 0 = (b) [5 punti] Le biglie dello stesso colore le possiamo supporre indistinguibili. Ciò ci autorizza a parlare di ripetizioni in presenza di biglie dello stesso colore. (i) [4 punti] I gruppi di biglie estratte possono essere formati da 4 biglie rosse e nera, oppure da biglie rosse e nere o, infine, da biglie rosse e nere. Nel primo gruppo, si ha la ripetizione delle 4 biglie rosse, dunque si hanno 5! = 5 4! possibili disposizioni. Nel secondo gruppo si ripetono per volte le biglie rosse e per volte le biglie nere, quindi si hanno 5! = 0 possibili disposizioni. Infine,!! nel terzo gruppo, si ripetono per volte le biglie rosse e per volte le biglie nere, quindi si hanno 5! = 0 possibili disposizioni. In totale si hanno!! 5! 4! + 5!!! + 5!!! = 5 possibili gruppi. (ii) [ punto] La risposta a questo quesito si trova nello svolgimento del quesito precedente. Si hanno sequenze. 5!!! 5 [4 punti] Occorre determinare il numero delle soluzioni intere del sistema Tale sistema è equivalente al seguente: x + y + z + y = 5 x > y > z > t >. x + y + z + y = 5 x 0 y 0 z 0 t 0. Effettuate le posizioni: X = x, Y = y, Z = z, T = t,

4 il sistema diventa: che, come è noto, ammette soluzioni intere. X + Y + Z + T = 7 X 0 Y 0 Z 0 T 0 ( ) = 4 ( ) 0,

5 Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico Corso di Laurea in Informatica (L-) Prova in itinere di Matematica Discreta ( CFU) Febbraio 06 A Tempo a disposizione. 90 minuti [7 punti] Due urne, U e V, contengono ciascuna biglie bianche e biglie nere. Da ogni urna si estraggono a caso tre biglie. Calcolare la probabilità che, sia da U che da V, vengano estratte le due biglie bianche. [8 punti] Si esaminano alcune coppie e si scopre che la probabilità che un loro figlio presenti una certa malformazione congenita è pari al 5%; durante la gravidanza si effettua un test su 8 donne che individua con certezza la presenza di questa malformazione del feto. (a) Calcolare la probabilità di trovare casi di malformazione congenita. (b) Calcolare la probabilità di non trovare alcun caso di malformazione congenita. [7 punti] Determinare i valori del parametro reale a per i quali la matrice A = a 0 a risulta invertibile. Infine, posto a = 0, determinare la matrice inversa A. 4 [8 punti] Risolvere, al variare del parametro reale k, i seguenti sistemi lineari: kx y kz = 0 x + y = k a) x (k )y + z = 0, b) x y =. x ky = 0 x + ky =

6 Febbraio 06 Svolgimento della prova scritta [7 punti] Le estrazioni dalle due urne sono due eventi indipendenti. Denotati, rispettivamente, con X e Y il numero di biglie bianche estratte da U e da V, si ha: ( )( ( )( P ((X = ) (Y = )) = P (X = )P (Y = ) = ( ) 4 ( ) 4 ) = ) = 4. Si riconosce subito che si tratta di un problema di prove ripetute. Il successo, che consiste nel trovare la malformazione congenita, ha probabilità p = 0.5; il numero di prove è 8 e corrisponde al numero di donne che sono state esaminate. Denotato con X il numero di successi nelle 8 prove, si ha: (a) [4 punti] P (X = ) = ( 8 ) (0.5) (0.85) 6 ; (b) [4 punti] P (X = 0) = ( 8 0) (0.5) 0 (0.85) 8 = (0.85) 8. [7 punti] Poiché det A = ( a), la matrice A è invertibile se e solo se ( a) 0, cioè se e solo se a. Ne viene che se a = 0, esiste A. Si ha: quindi A I = R R R A = R R 4 [4 punti] Sistema a). Si tratta di un sistema omogeneo di tre equazioni in tre incognite. Discutiamolo avvalendoci del Teorema di Cramer. Allo scopo, sia A la matrice dei coefficienti del sistema: k k A = (k ). k 0 Si vede facilmente che det A = k + k. Quindi, se k e k, per il Teorema di Cramer, il sistema è determinato e quindi ammette una ed una sola soluzione. Essendo il sistema omogeneo, l unica soluzione è quella banale: (0, 0, 0). Sia ora k =. Il sistema diventa: x y + 6z = 0 x + 4y + z = 0. x + y = 0 Si osserva che la terza equazione si ottiene moltiplicato la prima per 9 e la seconda per e sommando membro a membro; basta quindi considerare il sistema formato dalle ultime

7 due equazioni nelle incognite y e z, visto che il determinante della relativa matrice dei coefficienti è ( ) 4 det = 0. 0 Posto x = λ, con λ R, il sistema si riscrive come segue: { 4y + z = λ y = λ ed esso ha soluzioni che sono tutte le terne (λ, λ, λ ), al variare di λ R. Per k = il sistema diventa: x y z = 0 x + z = 0. x y = 0 Ragionando come nel caso precedente, si vede che esso possiede soluzioni che sono tutte le terne (λ, λ, λ), al variare di λ R. [4 punti] Sistema b). Si tratta di un sistema di tre equazioni in due incognite. Discutiamolo avvalendoci del Teorema di Rouché-Capelli. Allo scopo, sia A la matrice incompleta del sistema e B la matrice completa: A =, B = k. k k Si ha det B = (k ). Allora, se det B 0, cioè se k, il sistema è impossibile poiché ρ(b) = > ρ(a) =. Se k =, il sistema diventa: x + y = { x + y = x y = x y = x + y = che è determinato e la cui soluzione è la coppia ordinata (, ).