Piccolo teorema di Fermat

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1 Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod p).

2 Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod p). Teorema (Piccolo Teorema di Fermat) Siano a Z, p N un numero primo. Allora a p a (mod p). (dimostrato a lezione)

3 Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod p). Teorema (Piccolo Teorema di Fermat) Siano a Z, p N un numero primo. Allora (dimostrato a lezione) a p a (mod p). Corollario Siano a Z, p N un numero primo. Se a non è divisibile per p, allora a p 1 1(mod p).

4 Applicazione: Calcolo di potenze Siano p un numero primo e a k, con k N, una potenza di un numero a non divisibile per p. Se k p 1, allora:

5 Applicazione: Calcolo di potenze Siano p un numero primo e a k, con k N, una potenza di un numero a non divisibile per p. Se k p 1, allora: si divide k per p 1 k = (p 1) q + r;

6 Applicazione: Calcolo di potenze Siano p un numero primo e a k, con k N, una potenza di un numero a non divisibile per p. Se k p 1, allora: si divide k per p 1 k = (p 1) q + r; si sfrutta il Piccolo Teorema di Fermat e si ha a k = a (p 1) q+r = (a p 1 ) q a r p 1 q a r = a r, da cui si ricava a k a r (mod p)

7 Esempi 1. Determinare il resto della divisione di per 3. Si osserva che (mod 3) e quindi (mod 3). Per il corollario, poichè MCD(2, 3) = 1, si ha (mod 3) (in questo caso è banale) e pertanto = (2 2 ) = 2(mod 3) per cui il resto è Determinare il resto della divisione di per 9. Si osserva che (mod 9) e quindi (3 2 ) (mod 9).

8 Teorema di Eulero Sussiste il seguente importante risultato che generalizza il Piccolo Teorema di Fermat a moduli arbitrari (non necessariamente primi).

9 Teorema di Eulero Sussiste il seguente importante risultato che generalizza il Piccolo Teorema di Fermat a moduli arbitrari (non necessariamente primi). Teorema Sia n N. Se a Z tale che MCD(a, n) = 1, allora a ϕ(n) 1(mod n).

10 Teorema di Eulero Sussiste il seguente importante risultato che generalizza il Piccolo Teorema di Fermat a moduli arbitrari (non necessariamente primi). Teorema Sia n N. Se a Z tale che MCD(a, n) = 1, allora a ϕ(n) 1(mod n). Vediamone un applicazione al calcolo di potenze modulo n Esempio Calcolare le ultime due cifre di a = Si tratta di determinare il resto della divisione di a per 100. Essendo (mod 100), si ha a (mod 100). Per il Teorema di Eulero, dato che MCD(37, 100) = 1 e ϕ(100) = ϕ( ) = 40, (mod 100). Segue che = (37) = (37 40 ) (mod 100).

11 Criteri di divisibilità Le proprietà delle congruenze permettono di ottenere alcuni criteri di divisibilità, senza svolgere alcuna divisione. Osservazione Siano a, b Z, n N, n 1, e supponiamo che a b (mod n). Allora vale la seguente equivalenza (verificata a lezione): n a n b. A. È ben noto che un numero naturale a = r h r h 1... r 1 r 0 = r h 10 h +r h 1 10 h 1 + +r 1 10+r 0 N (1) è divisibile per 2 se e solo se r 0 è pari, è divisibile per 5 se e solo se r 0 è uguale a 5 oppure a 0, è divisibile per 10 se e solo se r 0 è 0. Infatti a r 0 = 10(r h 10 h 1 + r h 1 10 h r 1 ) e quindi per l Osservazione 1 si hanno i suddetti criteri di divisibilità.

12 B. Poichè 10 1 (mod 3), anche 10 k 1 k 1 (mod 3) e quindi a r h + r h r 0 (mod 3), da cui, sempre per l Osservazione 1 si ricava il noto criterio di divisibilità per 3: 3 a 3 r h + r h r 0. Analogamente si ottiene il criterio di divisibilità per 9, osservando che 10 1 (mod 9).

13 C. Infine, si osserva che 10 1 (mod 11) e quindi 10 k ( 1) k (mod 11), cioè 10 k { 1 (mod 11) se k è pari 1 (mod 11) se k è dispari. Allora usando la (1), e l Osservazione 1 si ha a r h ( 1) h + r h 1 ( 1) h r 1 ( 1) + r 0 ( 1) 0 (mod 11), cioè 11 a 11 r h ( 1) h + r h 1 ( 1) h r 1 ( 1) + r 0 ( 1) 0. Per esempio perchè = 22 che è un multiplo di 11.

14 Numerazioni in base b: Per rappresentare un qualsiasi numero naturale a si è soliti usare la base decimale (base b = 10) e scrivere a = r h r h 1... r 1 r 0, come sequenza di numeri naturali r h, r h 1,..., r 1, r 0 compresi tra 0 e 9 (cifre del sistema decimale). Ciò corrisponde ad abbreviare la seguente identità a = r h 10 h + r h 1 10 h r r 0. La base 10 può essere sostituita con un qualsiasi altro numero intero positivo b > 1 come vediamo nella seguente proposizione. Proposizione Sia b un intero naturale, b > 1. Allora ogni a N si scrive in modo unico nella forma a = r k b k + r k 1 b k r 1 b + r 0, dove r k, r k 1,..., r 1, r 0 N possono assumere valori compresi tra 0 e b 1.

15 Idea della dimostrazione (metodo per passare da una base all altra): Fissato b N, b 2, b 10, supponiamo di avere un numero naturale a scritto in base 10, che si vuole trasformare in base b. Si effettuano divisioni per b secondo il seguente schema: a = q 0 b + r 0 q 0 = q 1 b + r 1 q 1 = q 2 b + r 2. q k 1 = q k b + r k. Di volta in volta si divide il quoziente della divisione per la base b fino a quando non è più possibile farlo, cioè non appena si trova un quoziente nullo. I resti via via ottenuti formano la scrittura di a in base b e, presi dall alto verso il basso, vanno disposti da destra a sinistra.

16 Esempio. Scrivere il numero a = (37) 10 in base 2 e 8. La numerazione in base 2, detta anche binaria, ha solo due cifre: 0 e quindi a = (100101) 2.

17 Esempio. Scrivere il numero a = (37) 10 in base 2 e 8. La numerazione in base 2, detta anche binaria, ha solo due cifre: 0 e quindi a = (100101) 2. In base 8 ci sono otto cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. quindi a = (45)

18 Congruenze lineari Definizione Dati a, b Z, a 0 e n N, n > 1, si dice congruenza lineare ogni equazione nell incognita x del tipo ax b (mod n). (2) Una soluzione di (2) è un qualsiasi intero x 0 tale che ax 0 b. Non sempre una congruenza lineare ha soluzione. Per esempio, la congruenza lineare 15x 4 (mod 3) non ha soluzioni. Infatti, dato che 15 è un multiplo di 3, risulta 15 0 (mod 3). Segue che 15x 0 (mod 3), per ogni x Z; pertanto non può mai essere 15x 4 (mod 3), in quanto 4 non è congruo 0 modulo 3.

19 Teorema Si ha: (a) Posto d = MCD(a, n), la congruenza lineare (2) ammette soluzioni se e solo se d b. (b) Se x 0 è una soluzione di (2), tutte le altre sono di tipo x 0 + k n d, k Z. (c) Ci sono esattamente d soluzioni distinte non congrue tra loro e sono x 0, x 0 + n d,..., x 0 + (d 1) n d. Ogni altra soluzione è congrua ad una di queste modulo n. (i punti (a) e (b) dimostrati a lezione)