Argomenti della lezione. Criteri di divisibilità fattorizzazione m.c.m. e M.C.D. frazioni ed espressioni

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1 Argomenti della lezione Criteri di divisibilità fattorizzazione m.c.m. e M.C.D. frazioni ed espressioni

2 Quale cifra deve assumere la lettera c affinché i numeri 821c e 82c1 siano divisibili per 2? Un numero è divisibile per 2 se e solo se la cifra delle unità è 0, 2, 4, 6, 8. Pertanto: il numero 821c è divisibile per 2 se c assume uno dei valori precedenti; il numero 82c1 ha la cifra delle unità uguale a 1. Di conseguenza non c è alcun valore di c che lo rende divisibile per 2.

3 Quale cifra deve assumere la lettera c affinché i numeri 821c e 82c1 siano divisibili per 3? Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre dà un numero divisibile per 3. La somma delle cifre vale, per entrambi i numeri c = 11 + c Affinché 11 + c, con c {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, sia un multiplo di 3 deve essere 11 + c = 12 c = = 1 oppure e infine 11 + c = 15 c = = c = 18 c = = 7 Altre possibilità non vi sono perché 11 + c = 21 dà c = = 10, valore non accettabile perché 10 non è una cifra. Quindi i numeri richiesti sono per 821c: 8211, 8214 e 8217; per 82c1: 8211, 8241 e 8271.

4 Determinare il M.C.D. (Massimo Comun Divisore) ed il m.c.m (minimo comune multiplo) dei numeri 36, 90, 100. L M.C.D. di un insieme di numeri naturali è il più grande numero che divide tutti i numeri dati. Il m.c.m. di un insieme di numeri naturali è il più piccolo numero che è multiplo di tutti i numeri dati. Determiniamo M.C.D. e m.c.m. usando la scomposizione (unica!) in fattori primi di ciascun numero. Abbiamo = = = Quindi è M.C.D.(36, 90, 100) = 2, m.c.m.(36, 90, 100) = perché per il M.C.D. si prendono solo i fattori comuni a tutti i numeri con l esponente più basso; per il m.c.m. si prendono tutti i fattori (comuni e non) a tutti i numeri con il grado più alto.

5 Determinare il M.C.D. (Massimo Comun Divisore) dei numeri e Sia k = M.C.D.(10002, 9999). Allora è = k n 1 e 9999 = k n 2 con n 1, n 2 N opportuni. Pertanto, effettuando la differenza tra i due numeri, risulta = k n 1 k n 2 3 = k (n 1 n 2 ) Quindi, dato che k N, k è un divisore di 3 ossia è k = 1 oppure k = 3. Ora, sia che 9999 sono divisibili per 3. Pertanto, M.C.D.(10002, 9999) = 3. Osservazione Due numeri naturali il cui M.C.D. sia 1 si dicono primi tra loro.

6 Sia H un insieme di numeri interi positivi. Se in H non c è alcun numero dispari, allora siamo certi che in H non c è alcun numero che sia [1] un multiplo di 3 [2] una potenza di 5 [3] divisibile per 7 e per 11 [4] il quadrato di un altro numero Poiché in H non ci sono numeri dispari vuol dire che ci sono solo numeri pari. H può contenere multipli di 3, tutti quelli pari (ad esempio, 6). Parimenti, H può contenere numeri divisibili per 7 e per 11 e che siano pari (ad esempio, 144 = ). H può contenere quadrati di altri numeri presenti in H oppure no (ad esempio, 16 = 4 2 ). Le potenze di 5, invece, terminano sempre per 5. Quindi sono numeri dispari e, pertanto, non possono stare in H. Pertanto, siamo certi che H non contiene potenze di 5.

7 Dimostrare che il numero N = n 3 n, n N è sempre divisibile per 6. Abbiamo N = n 3 n = n(n 2 1) = n(n 1)(n + 1) = (n 1) n (n + 1) Quindi N è il prodotto di tre interi consecutivi. Ne segue che almeno uno è pari; almeno uno è multiplo di tre. Perciò, N ha tra suoi fattori 2 e 3. Di conseguenza, ha anche il fattore 6 = 2 3. Quindi è divisibile per 6.

8 Siano m, n numeri naturali dispari. Allora (m + 1) n è un numero [1] pari [2] dispari [3] sia pari che dispari Poiché m è dispari m + 1 risulta pari. Quindi, 2 è sicuramente uno dei fattori di m + 1 e, di conseguenza, anche di (m + 1) n. Dunque, (m + 1) n è pari.

9 Siano m e n due numeri interi. Si supponga che 10 divida il prodotto m n. Allora [1] 10 divide m e n [2] 10 divide m o n [3] nessuna delle due precedenti risposte è corretta E vera la terza opzione. In generale, se un numero divide il prodotto di altri numeri non è detto che sia un divisore di qualcuno di essi (anche se potrebbe esserlo). Ad esempio, prendendo m = 2 ed n = 5 abbiamo 10 divide m n = 2 5 = non divide né m né n.

10 E data una sequenza di n numeri dispari consecutivi. Detto M il maggiore della sequenza ed m il minore, quale relazione è vera? [1] m = M n [2] m = M 2n [3] m = M 2n + 2 [4] m = M n + 1 Per qualche k N, gli n numeri dispari, essendo consecutivi, possono essere scritti come s 1 = 2k + 1, s 2 = 2k + 3, s 3 = 2k + 5, s 4 = 2k + 7,, s n = 2k + (2n 1) Quindi M = 2k + (2n 1) e m = 2k + 1 per cui M m = [2k + (2n 1)] [2k + 1] = 2n 2. Dunque risulta m = M 2n + 2.

11 Sia n un numero naturale; allora il numero n n 227 è [1] sempre pari [2] sempre dispari [3] sia pari che dispari Generalizziamo al caso n p + n q con p, q N. Distinguiamo due casi n pari: E n = 2 k, k N. Di conseguenza risulta n p = (2 k) p = 2 p k p n p pari n q = (2 k) q = 2 q k q n q pari ff n p + n q pari n dispari: E n = 2 k + 1, k N. Ricordiamo che se m, n, p N con n > m allora (n m) (n p m p ). Segue per m = 1 e tenendo conto che 1 p = 1 Pertanto abbiamo (n 1) (n p 1 p ) = n p 1 n 1 = 2k n 1 pari n 1 n p 1 2 n p 1 n p 1 pari n p = (n p 1) + 1 dispari Quindi, per p, q N e n dispari risulta n p ed n q dispari. Pertanto, n p + n q è pari. In conclusione, qualunque siano p, q, ed n, la somma n p + n q è sempre pari!

12 Qual è il valore della seguente espressione? [1] 1 6 [2] 5 9 [3] [4] 1 9 Abbiamo = = = «9 = 5 9

13 Scrivendo per esteso il numero decimale 17, , quale cifra si trova al quarto posto dopo la virgola? [1] 7 [2] 0 [3] 1 [4] 3 Dobbiamo spostare la virgola di 5 posizioni verso sinistra aggiungendo eventuali zeri. Risulta 17, = 0, Pertanto, al quarto posto si trova la cifra 1.

14 L espressione è uguale a [1] [2] [3] [4] Applicando la proprietà delle potenze risulta = = = ( 3) = =

15 L espressione è uguale a [1] 1 3 [2] 16 3 [3] 1 3 [4] 3 16 Abbiamo 2 2 = = = 1 3. Osserviamo che la risposta deve essere un numero negativo perché l espressione iniziale è il rapporto del numero negativo 2 2 e del numero positivo 3/4. Dunque, le risposte [1] e [2] sono escluse a priori.

16 Quale vale 12, ? [1] [2] [3] [4] [5] Applicando le proprietà delle potenze risulta subito 12, = 12, = 100, = = =