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1 PROF. SSA G. CAFAGNA CLASSI: 1 B, 1 G, 1 I, 1 M, 1 N Non preoccuparti delle difficoltà che incontri in matematica, ti posso assicurare che le mie sono ancora maggiori (Albert Einstein)

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3 ADDIZIONE I due o più numeri che compongono un addizione di chiamano addendi, il loro risultato si chiama somma o totale = 9 Addendi Somma o Totale Le proprietà delle addizioni 1. Proprietà commutativa: la somma di due o più numeri non cambia se si cambia l ordine degli addendi = = 9 2. Proprietà associativa: il totale di due o più addendi non cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma = 10 ( 3 + 2) + 5 = = Proprietà dissociativa: Una somma non cambia se ad uno o più addendi si sostituisce la sua scomposizione = 17 ( 6 + 6) + 5 = = 17

4 SOTTRAZIONE I due o più numeri che compongono una sottrazione di chiamano, il primo minuendo, il secondo sottraendo il loro risultato si chiama differenza = 5 Minuendo Sottraendo Differenza La proprietà della sottrazione 1. Proprietà invariantiva: addizionando o sottraendo uno stesso numero ad entrambi i termini della sottrazione, la differenza non cambia. 5-2 = 3 ( 5 + 3) - ( 2 + 3) = = = 3 ( 5 1 ) - ( 2-1 ) = = 3 MOLTIPLICAZIONE I due o più numeri che compongono una moltiplicazione di chiamano fattori, il loro risultato si chiama prodotto. 5 2 x fattori 3 7 = = prodotto Le proprietà delle moltiplicazioni 1. Proprietà commutativa: il prodotto di due o più numeri non cambia se si cambia l ordine dei fattori.

5 4 x 5 = 20 5 x 4 = Proprietà associativa: il prodotto di due o più fattori non cambia se a due o più di essi si sostituisce il loro prodotto. 3 x 2 x 5 = 30 ( 3 x 2) x 5 = 30 6 x 5 = Proprietà dissociativa: il prodotto di due o più fattori non cambia se a uno di essi si sostituisce una sua scomposizione. 12 x 5 = 60 ( 6 x 2) x 5 = x 5 = Proprietà distributiva: per moltiplicare una somma o una differenza per un numero, si può moltiplicare ciascun termine della somma o della differenza per quel numero e poi sommare o sottrarre i risultati ottenuti. 3 x (2 + 5) = 21 ( 3 x 2) + ( 3 x 5) = = 21 8 x (5 3 ) = 16 ( 8 x 5) - ( 8 x 3) = = 16 DIVISIONE I due numeri che compongono una divisione di chiamano, il primo dividendo, il secondo divisore. Il loro risultato si chiama quoto se la divisione non ha resto, quoziente se la divisione ha il resto. divisore dividendo 64 : 2 = 32 quoto 6 / 4 4 /

6 divisore dividendo 59 : 4 = 14 quoziente / 3 resto La proprietà della divisione 1 Proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo entrambi i termini della divisione per uno stesso numero il quoto o quoziente non cambia. 25 : 5 = 5 ( 25 x 2) : ( 5 x 2) = 5 50 : 10 = 5 24 : 12 = 2 ( 24 : 2) : ( 12 : 2) = 2 12 : 6 = 2 2. Proprietà distributiva: per dividere una somma (o una differenza) per un numero, basta dividere ogni termine della somma (o della differenza) per quel numero e sommare (o sottrarre) i quozienti ottenuti. ( ) : 3 = 9 (12 : 3) + (15 : 3) = = 9 (15-12) : 3 = 1 (15 : 3) - (12 : 3) = 5-4 = 1

7 Fonte: internet Fonte: internet

8 Un espressione aritmetica è un insieme di numeri legati tra loro da segni di operazioni, alcune delle quali racchiuse da parentesi. E necessario stabilire e rispettare alcune regole di ordine con cui vanno eseguite le diverse operazioni. Ricordiamo quali sono queste regole! 1. Se l espressione contiene solo addizioni, si può procedere in qualsiasi ordine. 2. Se l espressione contiene solo moltiplicazioni, si può procedere in qualsiasi ordine. 3. Se l espressione contiene solo sottrazioni, si procede eseguendole nell ordine scritto. 4. Se l espressione contiene solo divisioni, si procede eseguendole nell ordine scritto. 5. Se l espressione contiene addizioni e sottrazioni, si procede eseguendole nell ordine scritto. 6. Se l espressione contiene moltiplicazioni e divisioni, si procede eseguendole nell ordine scritto. 7. Se l espressione contiene tutte e quattro le operazioni, si procede eseguendo prima moltiplicazioni e divisioni nell ordine in cui sono scritte, poi addizioni e sottrazioni anch esse nell ordine in cui sono scritte. E se ci sono anche le parentesi? Le parentesi determinano delle precedenze nel calcolo. Rispettando tutte le sette regole precedenti si risolvono: 1. prima le parentesi tonde ( ) 2. dopo le parentesi quadre [ ], 3. per ultime le parentesi graffe { }. 4. Infine si risolvono tutte le operazioni rimaste (sempre con l ordine di precedenza spiegato sopra).

9 Osservo l espressione che devo risolvere Ci sono parentesi tonde? SI Eseguo prima le operazioni dentro le parentesi tonde ed elimino le parentesi. Ricopio tutte le altre operazioni NO Eseguo le operazioni nell ordine di esecuzione Ci sono parentesi quadre? SI Eseguo prima le operazioni dentro le parentesi quadre ed elimino le parentesi. Ricopio tutte le altre operazioni NO Eseguo le operazioni nell ordine di esecuzione Ci sono parentesi graffe? SI Eseguo prima le operazioni dentro le parentesi graffe ed elimino le parentesi. Ricopio tutte le altre operazioni NO Eseguo le operazioni nell ordine di esecuzione Eseguo le operazioni rimaste usando le regole imparate fino ad ora

10 Le potenze sono delle particolari moltiplicazioni di un numero per sé stesso. Ad esempio, nella moltiplicazione: 3 x 3 x 3 x 3, il numero 3 è moltiplicato per 4 volte con se stesso. Allora, in forma di potenza scriveremo: 3 4 ESPONENTE BASE Indica quante volte la base deve essere ripetuta E il n che viene moltiplicato per se stesso Si legge: 3 alla quarta e si risolve così: 3 3 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81. Ma attenzione a non moltiplicare base per esponente!! 3 x 3 x 3 x 3 = 81 è diverso da 3 x 4 = 12 RICORDA I CASI PARTICOLARI! n 0 = 1 n 1 = n L esponente ZERO da sempre UNO L esponente UNO lascia la BASE UGUALE 0 n = 0 La base ZERO e qualsiasi esponente è sempre ZERO 1 n = 1 La base UNO e qualsiasi esponente è sempre UNO

11 1. PROPRIETA : 2 3 x 2 2 = = 2 5 Il PRODOTTO (x) di due o più potenze che hanno la STESSA BASE è UGUALE a una potenza che ha per base la STESSA BASE e per esponente la SOMMA degli esponenti 2. PROPRIETA : 2 3 : 2 2 = = 2 1 Il QUOZIENTE (:) di due o più potenze che hanno la STESSA BASE è UGUALE a una potenza che ha per base la STESSA BASE e per esponente la DIFFERENZA degli esponenti

12 3. PROPRIETA : 10 3 x 2 3 = (10 x 2) 3 = 20 3 Il PRODOTTO (x) di due o più potenze che hanno lo STESSO ESPONENTE è UGUALE a una potenza che ha per base il PRODOTTO delle basi e per esponente lo STESSO esponente 4. PROPRIETA : 10 3 : 2 3 = (10 : 2) 3 = 5 3 Il QUOZIENTE (:) di due o più potenze che hanno lo STESSO ESPONENTE è UGUALE a una potenza che ha per base il QUOZIENTE delle basi e per esponente lo STESSO esponente 5. PROPRIETA : (5 2 ) 4 = 5 2 x 4 = 5 8 La POTENZA di una POTENZA è UGUALE a una potenza che ha per base la STESSA BASE e per esponente il PRODOTTO degli esponenti

13 Osservo il calcolo tra potenze che devo risolvere Ci sono proprietà delle potenze? SI Identifico l opportuna proprietà NO Risolvo tutte le potenze ed eseguo le operazioni Applico la proprietà Risolvo tutte le potenze ed eseguo le operazioni

14 Sono tutti i numeri che si ottengono moltiplicando il numero dato per i numeri naturali. M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, } Sono i numeri che dividono il numero dato senza dare resto. Esempio: 15 : 3 = 5 3 è un divisore di 15 perché la divisione è esatta, cioè ha resto zero. D(15) = {1, 3, 5, 15}

15 M.C.D. significa Massimo Comune Divisore ed è il più grande dei divisori comuni a due o più numeri!!! m.c.m. significa minimo comune multiplo ed è il più piccolo dei multipli comuni a due o più numeri!!! Per trovare il M.C.D. di 18 e 24: Per trovare il m.c.m. di 8 e 20: D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,.} M(20) = {20, 40, 60, 80, 100,.} M.C.D. (18, 24) = 6 m.c.m. (8, 20) = 40

16 Un numero è divisibile per Quando Esempio è pari, cioè termina per 0, 2, 4, 6, 8 la somma delle cifre è divisibile per 3 le ultime due cifre sono due zeri o formano un multiplo di 4 l ultima cifra è 0 oppure 5 la somma delle cifre è divisibile per 9 il numero termina con 0, 00, 000 la differenza fra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari è zero o multiplo di 11 termina con 25 o un multiplo di (4 è cifra pari) 573 ( = 15) 7500 (termina con 2 zeri) 524 (24 è divisibile per 4) 175; ( = 18) 40; 300; (posto dispari: = 8; posto pari: = 8 quindi: 8 8 = (termina con 25); 1850 (termina con 50)

17 Ogni numero non primo può essere scomposto in fattori primi. Un numero primo è un numero divisibile solo per 1 e per sé stesso! Scomponiamo il numero 3360 in fattori primi: x 5 (= 10) --> è divisibile per 10 perché termina con uno zero > è divisibile per 2 perché termina con una cifra pari (6) > è divisibile per 2 perché termina con una cifra pari (8) > è divisibile per 2 perché termina con una cifra pari (4) > è divisibile per 2 perché termina con una cifra pari (2) > è divisibile per 3 perché = 3 che è divisibile per > è divisibile per se stesso perché è un numero primo 1 Scriveremo: 3360 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 2 5 x 3 x 5 x 7 2 5

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19 1) Completa la seguente tabella: OPERAZIONE 1 ADDENDO 2 ADDENDO SOMMA ) Esegui in colonna le seguenti addizioni = = = = = = = 8. 23,4 + 87,01 = ,9 + 98,76 = 10. 2, ,75 = 3) Completa la seguente tabella: OPERAZIONE MINUENDO SOTTRAENDO DIFFERENZA ) Esegui in colonna le seguenti sottrazioni = 6. 9,3 2,9 = = = = ,42 458,26 = = = = ,2 23,47 = 5) Completa la seguente tabella: OPERAZIONE 1 FATTORE 2 FATTORE PRODOTTO

20 6) Esegui in colonna le seguenti moltiplicazioni x 5 = 6. 3,2 x 9,3 = x 2 = 7. 47,9 x 2,5 = x 35 = 8. 1,9 x 0,1 x 6,6 = 4. 3 x 27 x 2 = 9. 3,14 x 3,4 = x 33 = x 3,03 = 7) Completa la seguente tabella: OPERAZIONE DIVIDENDO DIVISORE QUOZIENTE ) Esegui in colonna le seguenti divisioni : 5 = : 43 = : 3 = 7. 21,6 : 8 = : 3 = 8. 10,5 : 2,5 = : 5 = 9. 17,4 : 6 = : 32 = ,78 : 4,2 = 9) Calcola le seguenti espressioni 1) 96 : (78 : 2-37) = [48] 2) 4 x (36-26) - 78 : 6 = [27] 3) 2 x [16 + (45-40) x 2] = [52] 4) [23 x 4 - (9 + 15)] : 2 = [34] 5) ( ) x [( ) : 3 - (52-23)] = [92] 6) (3 + 8) x {[30 - (40-23)] x 2-21} = [187] 7) {2 [2 9 2 ( )+ (6 4) 2] 4 3}: 4 +1 = [5] 8) 19 + [11 x 2 + ( )] : (20-64 : 4) = [37] 9) (33 : ) x 2 - (6 : 2) x (21-14) = [5] 10) 95 - (7 + 27) : {84 : (3 x 9-25) - [(43-38) x : 3]} = [78]

21 10) Calcola il valore delle seguenti potenze 2 3 = 7 5 = 10 1 = 6 0 = 2 5 = 9 2 = 3 3 = 0 5 = 1 4 = 11) Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando, dove possibile, le opportune proprietà delle potenze 1) [(4 6 : 2) ] : 13 + ( x 2 2 ) 2 x 3= [0] 2) (3 3 x 3 5 ) : (3 x 3 5 ) : (3 2 x 3 6 ) : 3 5 4= [41] 3) [12 3 : 3 3 x 4 2 ] 3 : [4 3 : 4 x (4 x 4 2 )]= [4 10 ] 4) ( : 7 2 ) : (5 6 : 5 4 ) + (4 6 : 4 4 ) : (2 6 : 2 4 ) 1= [13] 5) [(19 3 x 2 2 ) 3 : ] 2 : (2 2 ) 3 + (2 3-3) 3 : 5 3 = [2] 6) {10 5 : 10 3 [7 5 x ( x 3 2 ) 2 ] (3 2 ) 2 } 2 = [1] 12) Calcola il M.C.D dei seguenti gruppi di numeri, usando il metodo della scomposizione in fattori primi 84; 96 33; 27 60; ; 42; ; ; ; 35; ; ; ) Calcola il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri, usando il metodo della scomposizione in fattori primi 15; 18 21; 49 8, 10; ; ; ; 64 81; ; 52; ; 306; ) Utilizzando la scomposizione in fattori primi determina M.C.D e m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri 48; 40 60; ; 36 28; 14 49; 17; 28 24; 27; 72 15; 45; ; 48; 72 54; 63; 81

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23 MATEPUZZLE Trova e cancella nello schema le parole qui sotto elencate. ADDIZIONE PER PRODOTTO POTENZA QUATTRO MINUENDO CALCOLO DIVISO NOVE QUOTO SOMMA NUMERO N E P O T E N Z A I U Z U A O S C M A L M T V L Q Q O V D F E M B U I T U S D V R O A D T L O U I T O T L O D M F O Z E T I D I M P Z D I R P O C A L C O L O Z R F E T L F U D N P O D N E U N I M E D I V I S O E F R

24 Trova e cancella nello schema le parole qui sotto elencate. SOMMA TRE S P I U Z I N POTENZA PER M O T I E O U NUMERI OTTO E T M S A T M MENO PIU' N E E M O T E SEI O N U Q A O R M Z T R E P I P A E Z I O N Realizzato da: Minerva Monica 1 I P U N O T E D A R G N I M E R D I U U I C O O D M A P I T A N E O L N S E A Z N Z E 0 S I V I D C R I T E R I I Realizzato da: Ivona Alessia 1 B UNITA DECINE ADDENDI UGUALE CRITERI PRIMO UNO RESTO DIVISO

25 PRODOTTO POTENZA DIVISO MENO RESTO M.C.D. SOMMA QUOTO ZERO PER DUE OTTO P E R C E U D P O T T A Z U I R T S E H M R V O E O M C D E I D N N I B O S S O Z E R O U T O T A M M O S O T T E B I Q U O T O Realizzato da: Baratta Alessia e Lapenna Flavia 1 M D I V I S O R E E C I N Q U A N T A O E A V C Z T E I M C I F R E Z U T A B V A S N O B T E T N E N O P S E U M U T N R B E R B R O B U T A O M A P I R E T I R C VENTI DIVISORE CINQUANTA SETTE CIFRE CRITERI POTENZE ESPONENTE Realizzato da: Simone Matteo 1 B

26 Ogni stella indica una parola da cercare. Sai riconoscerle? Suggerimento: Ripassa la geometria! T R I A N G O L O A T R A P E Z I M I P O S C A L E N O H O Z O I R E T I R C S L T C A T E T O R U Q T O Z U O S L E T M E D I A N E C C T O R T N E C O T R O Scrivi le parole trovate qui di seguito Realizzato da: Baratta Alessia e Lapenna Flavia 1 M

27 CRUCINUMERO A D C B M E F G I L ORIZZONTALE VERTICALE A. Il successivo di 15 A. Il prodotto di 3 x 5 B. Precede 600 E. La metà di 350 F. Il successivo di I. Il triplo di 90 C. La somma di 24 e 10 D. Il quoto di : 2 F. La decina è 9, l'unita è 9 G. La differenza di 15 e 5 L. Il quadruplo di 20 M diviso 2 Realizzato da: Calefato Giovanni 1 M

28 E si continua con i crucinumeri. A B C D E F G H ORIZZONTALE VERTICALE A. La somma di 70 più 4 A. La somma di 2 e 700 B. Sessanta meno quaranta B. Il risultato di 4 x 5 C. Il prodotto di 3 x 2 C. 10 diviso 1 D G. Il risultato di 8 x 5 E. la differenza tra 100 e 900 F. Il risultaro di 1600 : 4 H. La metà di 600 Realizzato da: Mastrapasqua Savio 1 B

29 A B C D E F G ORIZZONTALE VERTICALE A. Il risultato di A. 4 x 7 C. 9 elevato a due D. Il prodotto di 9 X 8 E. 180 : 10 B D. (7 X 10 3 ) + (8 X 10 2 ) F. ( X 10) - 20 F. 5 decine 3 unità G : 10 2 Realizzato da: Cortellino Ivonne e Coschiera Alessia 1 G

30 IL NUMERO NASCOSTO Sei abile nei calcoli? Mettiti alla prova completando le operazioni. 4 : 5 = = : = = = 4 - = = x = = 9 1 = = = = = 5 + Realizzato da: Calefato Giovanni 1 M

31 + 2 x 5 x 6 = + = : 4 = 5 = + = 30 = = : = + = 5 2 = = 34 x = 68 + = + 24 = + = - 82 = 92 Realizzato da: Verzicco Maria 1 I

32 35 : = = 11 - = 8 x : 5 = 3 - = = = x 7 = 16 : 4 = = - = 24 7 = + : 6 = 7 Realizzato da: Vesce Raffaele 1 N

33 1 0 : = x = x 7 = 2 = x = = 5 4 = x + 7 : = = = 1 = = = Realizzato da: Baratta Alessia, Carapelle Natalia e Stabile Luana 1 M

34 IL MAGO DEI CALCOLI Sistema nei cerchi vuoti i numeri da 1 a 9, senza mai ripeterli, in modo che applicando l'operazione indicata a fianco, il risultato sia quello scritto sotto Realizzato da: Palmieri Emanuela e Troia Domenico 1 I

35 IL TRIANGOLO MAGICO Inserisci nei cerchi i numeri dall'1 al 9, in modo che su ogni lato del triangolo la somma sia 20. Ma attenzione: nessun numero può essere ripetuto! E adesso il nostro. QUADRATO MAGICO!! Inserisci i numeri dall'1 al 9, in modo che in ogni riga, colonna e diagonale del quadrato la somma dei numeri sia Realizzato da: Dibari Barbara, Palmieri Emanuela e Troia Domenico 1 I

36 Risolvi i calcoli contenuti in ciascuna casella della griglia. Poi individua quanti quadrati di 4 caselle formano il numero 50 e colorali. 18 : 6 = 84 : 6 = 17 2 : 17 = 110 : 10 = 14 x 1 = = (5 x 3) + 11 = 3 x 3 = 13 1 = = (4 x 4) - 1 = 2 2 = 11 x 2 = 529 : 23 = 2 x 2 = 45 : 3 = 6 1 : 6 0 = 9 x 2 = 3 x 5 = 2 3 = 16,5 + 6,5 = 4 5 : 4 3 = 1000 : 100 = 343 : 7 2 = 2 x 10 =

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