Ripasso di aritmetica

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1 Ripasso di aritmetica M. Spezziga Liceo Margherita di Castelvì Sassari Il libro di testo di riferimento è Matematica.azzurro di M.Bergamini, A.Trifone e G.Barozzi, ed. Zanichelli. Indice Ripasso di operazioni di base 2. Somme e moltiplicazioni [p. 22 2] Precedenza e parentesi [p. 7] Scomposizione in fattori [p., ] Minimo comune multiplo [p. 9] Insiemi numerici 2. Numeri naturali Numeri interi Numeri razionali Numeri reali Operazioni interne Le frazioni: generalità. Definizioni Significato Rappresentazione sulla retta reale Le relazioni < e > Proprietà invariantiva e conseguenze. Enunciato Riduzione ai minimi termini Riduzione a denominatore comune Confronto fra frazioni

2 Ripasso di operazioni di base. Somme e moltiplicazioni [p. 22 2] Alle scuole medie abbiamo imparato alcune regole per eseguire le somme (addizioni e sottrazioni) e le moltiplicazioni. In particolare abbiamo imparato come regolarci quando il segno (+ o ) degli addendi o dei fattori è lo stesso (concorde) o diverso (discorde). Rivediamole qui sotto. Definizione: Si dice valore assoluto di un numero, il numero privato del suo segno Esempio: Il valore assoluto di è. Il valore assoluto di + è. Quindi il valore assoluto di un numero è sempre positivo. Regola: In una somma (addizione o sottrazione) fra due numeri: il segno del risultato è sempre quello del termine col valore assoluto più grande; l operazione che si esegue dipende dal segno dei termini: Segno dei termini Operazione Esempi concordi si addizionano i valori assoluti + = = discordi si sottrae il più piccolo dal più grande = 2 + = 2 Regola: In una moltiplicazione (o divisione) fra due numeri: si moltiplicano (o dividono) i valori assoluti e si mette come segno: Segno dei termini Segno del risultato Esempi concordi più = ( ) = discordi meno ( ) = = Esercizi: Esegui le seguenti operazioni. 2 ; 2 ; 0 [,, ] 2. + ; + 0 2; [ 9, 7, 0]. ; 2 ( ); ( ) [ 9, 2, 2]. ( ) 0; 7 ( ); ( ) ( 2) [ 90, 2, ]. 9 : ; 2 : ( ); : ( 2) [, 2, ]. : ( ) : ; 0 : : ( 2); 00 : () : ( 2) [,, ].2 Precedenza e parentesi [p. 7] Quando si calcola il valore di un espressione, le operazioni non vanno sempre eseguite in un ordine qualunque. Regola: Se in un espressione non ci sono parentesi, le quattro operazioni vano eseguite nel seguente ordine: 2

3 . moltiplicazioni e divisioni; 2. addizioni e sottrazioni; Esempio: = 0 = 27 Se si vuole cambiare l ordine delle operazioni, per esempio fare prima la sottrazione e poi la moltiplicazione, bisogna usare le parentesi: ( ) = 2 0 = 0 Si noti che il risultato non è lo stesso, quindi l ordine delle operazioni è importante. Nota: Un altro motivo per usare le parentesi è quello di separare i simboli delle operazioni, in modo che non ci sia confusione. Esempio: Nella scrittura = 2 il punto del per può non essere chiaro. Per esempio, si potrebbe dimenticare o non vedere, e l operazione sarebbe allora: = 2 Inoltre si preferisce non scrivere mai due segni vicini, senza che ci sia qualcosa fra di loro (+ oppure +). Per questo motivo, anziché si preferisce scrivere ( ) Si noti che senza il meno, non ci sarebbe bisogno delle parentesi: = 2. Scomposizione in fattori [p., ] In questa sezione, avremo a che fare solo con i numeri,2,..., cioè senza virgola e senza segno (né + né ). Chiameremo questi numeri naturali, come vedremo più avanti. Definizione: Un numero naturale n è divisibile per un altro numero naturale m se la divisione n : m non dà resto (cioè è un altro numero naturale, senza la virgola ). In questo caso, il numero m si chiama divisore di n. Esempio: Il numero è divisibile per, perché :=2. Quindi è divisore di. Invece non è divisibile per, perché :=,. Nota: Nessun numero è divisibile per un numero più grande di lui. Per esempio: non può essere divisibile per 7 o per, perché il risultato della divisione sarebbe sempre 0,.... Definizione: I numeri primi sono numeri naturali divisibili solo per se stessi e per. Per convenzione, si dice che non è numero primo. Esempio: I numeri primi più piccoli sono 2,,, 7,,,.... Per sapere se un numero naturale è divisibile per 2, per o per esistono regolette molto semplici: Regola: Un numero è divisibile per 2 se l ultima cifra è pari (0, 2,, o ). Esempio: 02 è divisibile per 2. Infatti finisce con la cifra. Regola: Un numero è divisibile per se lla somma delle cifre dà un numero divisibile per.

4 Esempi: 2 è divisibile per. Infatti la somma delle cifre è + 2 = 77 è divisibile per. Infatti la somma di tutte le cifre è. La somma +, a sua volta, dà come risultato 9, che è divisibile per. Regola: Un numero è divisibile per se l ultima cifra è 0 o. Esempio: è divisibile per perchè l ultima cifra è. Nota: I numeri che finiscono per 0 sono divisibili sia per 2 che per. Siccome 2 = 0, questi numeri sono divisibili anche per 0 (che però non è un numero primo). Definizione: I fattori primi di un numero naturale n sono i numeri primi che, moltiplicati fra di loro, danno come risultato n. Esempio: I fattori primi di 0 sono 2, e. Infatti 2 = 0. Nota: Ovviamente, ogni numero naturale è divisibile per i propri fattori primi. Per esempio, 0 è divisibile per 2, per e per. Definizione: Quando si trovano i fattori primi di un numero si dice che lo si sta scomponendo in fattori primi. Nota: La scomposizione in fattori primi di un numero è unica. Per esempio, gli unici numeri primi che, moltiplicati fra loro danno 0 sono 2, e. Non esistono altre possibilità. Regola: Per scomporre un numero in fattori primi, si può dividere il numero ripetutamente per tutti i numeri primi a partire dai più piccoli, incolonnando in una tabella i risultati e i divisori, come negli esempi che seguono. Esempi: Scomporre in fattori primi il numero Primo passo: è divisibile per 2? La risposta è sì, perché finisce con, che è pari. Allora si fa la divisione: :2=2, e si incolonna così: 2 2 Secondo passo: 2 è divisibile per 2? La risposta è sì, perché finisce con 2, che è pari. Allora si fa la divisione: 2:2=2, e si continua: Terzo passo: 2 è divisibile per 2? La risposta è no, perché finisce con, che è dispari. Allora si passa al numero primo successivo, cioè il. Ci si chiede: 2 è divisibile per? La risposta è sì, perche lasomma delle cifre dà, quindi si fa la divisione: 2:=7, e si continua: Quarto passo: 7 è numero primo. quindi si chiude la scomposizione: Il risultato della scomposizione in fattori di è quindi = 2 2 7, cioè: = 2 2 7

5 Scomporre in fattori primi il numero 0 Si può fare come nel caso precedente, ma quando il numero da scomporre finisce con lo 0, esiste una scorciatoia. Infatti si tratta di un numero divisibile per 0 = 2. Allora si può segnare nella tabella questa divisione, togliendo lo 0 e proseguendo come sopra: Il risultato è quindi: 0 = 2 7 Lo stesso trucco si può applicare quando il numero da scomporre finisce con due, tre o più zeri. Per esempio nel caso di 00, si sarebbe prima diviso per 2 2 2, togliendo i due zeri e continuando. Esercizio: Scomporre in fattori primi i seguenti numeri: 2,, 0, 72, 2,. Minimo comune multiplo [p. 9] Definizione: I multipli di un numero n sono i numeri che si ottengono moltiplicando n per i numeri naturali (,2,... ). Definizione: Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri è il più piccolo dei multipli comuni di quei numeri. Esempio: Multipli di: Si vede che fra i multipli di e quelli di ve ne sono alcuni comuni, che sono scritti nel quadratino. Fra quelli comuni, il più piccolo è il 2. Quindi il 2 è minimo comune multiplo di e. Per trovare il m.c.m. di due o più numeri, non è necessario fare la lista di tutti i multipli di quei numeri, per scegliere alla fine il più piccolo. C è un metodo più veloce. Regola: Per trovare il m.c.m. di due o più numeri, li si scompone in fattori primi e si moltiplicano tutti i fattori trovati, prendendoli con l esponente più alto trovato. Esempio: Calcolare il m.c.m. dei numeri: 2, e 2. Soluzione: scomponiamo in fattori primi i tre numeri: Quindi: 2 = 2 2 = 2 = 2 I fattori sono: 2, e. La potenza maggiore di 2, presente nelle scomposizioni, è 2 2, e così anche per 2. Perciò il minimo comune multiplo di 2, e 2 sarà: m.c.m.(2,, 2) = = 2 = 00

6 Esercizi: Calcola il minimo comune multiplo fra i seguenti gruppi di numeri.,, 0 [m.c.m. =220] 2. 0, 90, 0 [m.c.m. =900]. 20, 0, [m.c.m. =0]., 9, 70 [m.c.m. =90]., 72, 2 [m.c.m. =0]. 2,, 0 [m.c.m. =0] 7., 00, 2 [m.c.m. =00]., 2, 0 [m.c.m. =720] 9. 0,, [m.c.m. =20] 2 Insiemi numerici I numeri vengono classificati in insiemi. Gli insiemi più importanti sono quelli dei numeri naturali (indicato con N) quello degli interi (Z) quello dei numeri razionali (Q) e quello dei numeri reali R. 2. Numeri naturali L insieme dei numeri naturali è quello più ovvio, che conosciamo da quando impariamo a contare (da qui il loro nome). Definizione: N = {0,, 2,,...} Usando i numeri naturali possiamo contare gli oggetti e anche sommarli, cioè fare le addizioni. Possiamo anche eseguire qualche sottrazione (per es. = ) ma ci troviamo in difficoltà quando il numero da sottrarre (minuendo) è più grande del numero da cui viene sottratto: =? 2.2 Numeri interi A questo scopo ci servono anche i numeri interi, che comprendono i numeri naturali, ma hanno anche la loro versione negativa : Definizione: Z = {...,, 2,, 0,, 2,,...} Tutti i numeri naturali (per esempio: ) sono anche numeri interi. Questo si esprime dicendo che l insieme dei numeri naturali è incluso in quello dei numeri interi: N Z Z 7 N Con i numeri interi possiamo fare qualunque sottrazione: =. La sottrazione può anche essere considerata come una somma di numeri interi: = + ( ).

7 2. Numeri razionali Se però vogliamo eseguire una divisione usando solo numeri interi, non possiamo sempre farlo: =? Ci serve un nuovo insieme di numeri, quello dei numeri razionali, che viene definito in base a questa proprietà: Definizione: Q: tutti i numeri che possono essere scritti come rapporto (divisione) di numeri interi è quindi un numero razionale perché è il rapporto fra e, che sono numeri interi. Gli stessi numeri interi sono numeri razionali, perché ogni numero intero può essere scritto come una frazione che ha al denominatore, per esempio: =. Quindi i numeri interi, che includono i numeri naturali, sono a loro volta inclusi nei numeri razionali: N Z Q Anche molti numeri decimali sono numeri razionali. Il numero, per esempio, può essere scritto come frazione:, = 0 Ogni numero decimale finito (cioè un numero con la virgola che ha un numero di cifre non infinito) può essere sritto come rapporto di numeri interi, quindi è un numero razionale. Ma c è anche un tipo di numeri con infinite cifre, che possono essere scritti come frazioni: i numeri periodici, come per esempio, =, 27, 27 = = (scopri la regola che è stata usata su un libro di aritmetica delle scuole medie). 2. Numeri reali Non tutti i numeri, però, si possono scrivere come rapporto di numeri interi. Questi sono i numeri irrazionali. L esempio classico è 2. Se calcoliamo la radice quadrata di due, e cerchiamo di scriverla come numero decimale, dovremo scrivere infinite cifre, senza mai trovare un gruppo di cifr che si ripete (cioè non è periodico): 2 =, (non fatevi ingannare dal fatto che la vostra calcolatrice scrive solo sei o otto cifre: è solo perché il display non ne contiene di più!). Anche il famoso, che usiamo per il pi greco, in realtà è l approssimazione di numero irrazionale: π =, Definizione: L unione dei numeri razionali e irrazionali, (cioè tutti i numeri che noi useremo) costituisce l insieme dei numeri reali R. I numeri reali includono quindi tutti gli insiemi che abbiamo visto: N Z Q R R Q Z N 7

8 2. Operazioni interne Definizione: quell insieme. Si dicono operazioni interne ad un insieme quelle operazioni che si possono svolgere con elementi di Per esempio, abbiamo visto che l addizione è un operazione interna all insieme dei numeri naturali N, perché posso addizionare due numeri naturali qualunque ed ottenere sempre come risultato un altro numero naturale. La sottrazione invece non è un operazione interna ad N, perché può dare come risultato un numero negativo, che non sarebbe un numero naturale. Però posso eseguire la sottrazione fra due numeri interi: il risultato sarà sempre un numero intero, quindi la sottrazione è un operazione interna a Z. Allo stesso modo, se divido fra loro due numeri interi ottengo un numero razionale. Quindi la divisione non è interna a Z, ma è interna a Q. Esercizio: A che insieme numerico, fra quelli visti, è interna la moltiplicazione? E la radice quadrata? Le frazioni: generalità. Definizioni n Come abbiamo visto, un rapporto fra numeri interi m è un numero razionale. La definizione del simbolo n m, detta frazione è semplicemente il quoziente (divisione) fra n ed m, ed è facile usare la definizione per ridurre la frazione in forma decimale: = : = 0, Definizione: Nella frazione a, il numero a è chiamato numeratore della frazione e il numero b è il suo denominatore. b Nota: Dalla definizione di frazione come divisione fra numeratore e denominatore, risulta che il suo valore è il numero che, moltiplicato per il denominatore, dà come risultato il numeratore. Cioè, se per esempio = 2 2 = Da ciò si deduce che non possono esistere frazioni che abbiano zero come denominatore: 0 = x x 0 = Infatti non esiste nessun numero x che, moltiplicato per 0 dia come risultato..2 Significato Nonostante sia facile ridurre una frazione a numero decimale, è spesso più conveniente considerarla come parte di qualcosa. Per esempio, si supponga di voler prendere tre quarti di una torta. Per valutare visivamente a quale parte della torta ciò corrisponda, anziché calcolare = 0, 7 è più utile immaginare di dividere la torta in parti (denominatore) e prenderne (numeratore): Supponiamo ora di voler prendere di una torta. Come si procede? Dividendo una torta in tre parti non se ne potrebbero prendere più di tre. È quindi necessario avere a disposizione più di una torta:

9 + 2 = Il motivo per cui è stato necessario avere più di una torta a disposizione è che il numeratore () è più grande del denominatore (). Il risultato della divisione è un numero maggiore di uno: =,. Ciò mette in evidenza il concetto di frazione propria (una vera frazione, cioè un numero che rappresenta una parte di un oggetto intero) e impropria (un numero che rappresenta più di un intero): Definizione: Una frazione propria è una frazione il cui numeratore è minore del denominatore. Una frazione impropria ha il numeratore maggiore del denominatore. Attenti all errore! non è un numero compreso fra e come si può pensare. Basta calcolare il rapporto ( : =, ) o considerare l esempio precedente: sarebbe come dire che rappresenta più di tre torte, mentre dal disegno si vede che sono più di una e meno di due. Esercizi:. Disegna un quadrato e colorane una parte corrispondente ai suoi. 2. Disegna un cerchio e colorane una parte corrispondente ai suoi.. Disegna un segmento e prendi la parte sinistra corrispondente ai suoi.. Dal libro di testo: p. 0, n. 0.. Rappresentazione sulla retta reale La retta reale è una retta su cui si rappresenta l insieme dei numeri reali. scegliendo tre cose: Ciò si ottiene prendendo una retta e. Un origine: si sceglie un punto a caso e si decide che esso corrisponde al numero zero: 0 2. Un verso positivo: si decide che i punti della retta rappresentano numeri maggiori se si trovano in una direzione scelta. Di solito il verso positivo è a destra, e ciò viene indicato con una freccia: 0. Un unità di misura: si sceglie la lunghezza di un segmento e si decide che corrisponde a un unità. Questa viene riportata infinite volte sulla retta assegnando i numeri interi ai punti della retta che corrispondono agli estremi del segmento: 9

10 2 0 2 In questo modo, tutti i numeri interi sono associati a un punto sulla retta. Per associare anche i numeri razionali (che possono essere scritti come frazioni) ai punti sulla retta, si può ricorrere al metodo illustrato con l esempio della torta. Per esempio, la frazione / si ottiene prendendo degli interi (le torte nell esempio del paragrafo precedente) dividendoli in parti ciascuno, e prendendone. Questa volta però l intero sarà il segmento scelto come unità di misura, e si conteranno le parti a partire dall origine: Nota: Nella pratica, i numeri decimali finiti, che sono anche essi razionali, possono essere associati a punti sulla retta in modo più semplice ricordandoci che i numeri dopo la virgola rappresentano decimi, centesimi, millesimi e così via. Per esempio, il numero,7 si trova in un punto che sta a sette decimi di distanza dal punto : Dividendo poi ogni decimo in dieci tratti si rappresentano i centesimi, e si può trovare, per esempio il punto,7, e così via. In questo modo, si vede che ci si può avvicinare quanto si vuole al punto che rappresenta un qualunque numero reale (così come si può scrivere un numero reale con un approssimazione grande come si vuole: basta scrivere abbastanza cifre dopo la virgola). Si intuisce quindi che ad ogni numero reale si può associare un punto sulla retta. Viceversa, per ogni punto sulla retta, esiste un numero reale che lo rappresenta. Si dice quindi che. esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti sulla retta e i numeri reali, 7. Le relazioni < e > La procedura descritta sopra costituisce un ordinamento dei numeri e dei punti sulla retta. Ci consente infatti di stabilire, presi due numeri a caso, quale viene prima (perché il punto associato sulla retta si trova più a sinistra) e quale dopo (perché il punto è più a destra). Ciò corrisponde alla nozione di maggiore, indicata con il segno > e minore, indicata col segno <. Per esempio, 2 <, oppure > 2, perché il punto associato a 2 sta a sinistra rispetto a quello associato al : Si noti che per i numeri negativi il concetto di maggiore o minore si inverte, rispetto alla nozione comune per i numeri positivi: < 2 e 2 > (infatti sta a sinistra di 2). 0

11 Esercizi:. Disegna l asse reale ed individua su di esso i punti corrispondenti ai numeri, 7,, 2,,. 2. Dal libro di testo: p. 02, n. -7. Dal libro di testo: p. 0, n. Proprietà invariantiva e conseguenze. Enunciato La proprietà invariantiva delle frazioni ci dice che: moltiplicando o dividendo per uno stesso numero, diverso da zero, numeratore e denominatore di una frazione, si ottiene una frazione equivalente, cioè una frazione che rappresenta lo stesso numero. Per esempio: ma si ha anche: = 0, = = 0, 7 Nota: Anche la proprietà invariantiva può essere vista nell interpretazione delle frazioni come parte di un intero. Per esempio, la frazione risulta visivamente: Per ottenere, basta dividere ogni quarto in due parti: Si vede subito che le parti di torta individuate dalle due frazioni sono le stesse..2 Riduzione ai minimi termini Noi siamo abituati ad usare questa proprietà al contrario, cioè dividendo numeratore e denominatore per un fattore comune. Facciamo così quando semplifichiamo una frazione: = Definizione: Quando abbiamo diviso numeratore e denominatore per tutti i fattori comuni e quindi trovato la frazione equivalente con i numeri più piccoli possibili, si dice che l abbiamo ridotta ai minimi termini.

12 Esercizi: Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni, qualora non lo siano già ; ; ; 0 ; ; 0 0 ; 2 [ ] 2 2,, 9 [ ] 2,, 2 [ ],,. Riduzione a denominatore comune Un altra applicazione della proprietà invariantiva è la possibilità di scrivere due o più frazioni in modo equivalente, ma con lo stesso denominatore. Per esempio, date le due frazioni e, si nota che i denominatori hanno come minimo comune multiplo il numero 2. È utile scrivere entrambe le frazioni come frazioni che abbiano 2 al denominatore: =? 2 =? 2 Grazie alla proprietà invariantiva, possiamo moltiplicare il denominatore e il numeratore di ogni frazione per lo stesso numero. Se moltiplichiamo numeratore e denominatore della prima frazione per 7 e della seconda per 2, raggiungiamo lo scopo: = 7 7 = 2 2 = 2 2 = 0 2 Nota: Come abbiamo capito quali erano i numeri per cui bisognava moltiplicare numeratore e denominatore di ogni frazione? È bastato dividere 2 per il denominatore. Infatti, 2 : = 7 e 2 : = 2, che sono i due numeri usati nelle moltiplicazioni. Esercizi: Riduci le frazioni di ognuno dei seguenti gruppi al minimo comune denominatore , ; 2, ;, 2 7, 0, 0 ;, 9 0, 0 ; 2,,,. Confronto fra frazioni [( 0, 0, 9 ), 0 [( 0, 0 ), ( 20 0, 27 0, 0 ( 0, 0 ), ), (, )] )] ( 2 2, 2, 72 2, 9 2 Date due frazioni, è facile capire quale delle due rappresenta un numero maggiore, quando i denominatori sono uguali. Per esempio, è logico che >, perché > e si sta confrontando un certo numero di parti uguali (quarti) fra di loro. Ma quando i denomiatori sono diversi, ciò non è sempre evidente. Per esempio, quale frazione è maggiore fra e? La soluzione consiste nello scrivere le due frazioni in modo equivalente con un numeratore uguale, cioè quello che si è fatto nel paragrafo precedente. In questo modo risulta chiaro che > perché e 2 2 > 0 2. = 2 2 = 0 2 Nota: Ancora una volta, potevamo renderci conto del fatto che > rappresentando le frazioni come parti di un intero: 2

13 tuttavia, questa rappresentazione, benché ci aiuti a intuire visivamente la situazione, non può essere utilizzata come dimostrazione matematica, perché come tutte i disegni geometrici, nella pratica comporta delle imperfezioni che la rendono non ideale. Oltre a questo può essere scomoda anche visivamente quando numeratore e denominatore sono molto grandi (si pensi di dover disegnare la fetta di torta che rappresenta 2!). Esercizi: Fra le seguenti coppie di frazioni, scegli quella maggiore. 2. 7, 2 ;, ;, 2 7, ; 2, 7 ; 9, [ ] 7,, [ ], 2, 9 Scrivi in ordine crescente le seguenti frazioni.,, 9, 2,, [ ], 9,,, 2,