SCHEDA DI LAVORO: CALCOLO LETTERALE

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1 SCHEDA DI LAVORO: CALCOLO LETTERALE ALUNNO:...CLASSE... CALCOLO LETTERALE...PERCHE? GUARDATI INTORNO E DESCRIVI IL NUMERO DI CIO' CHE VEDI: 1 COMPUTER 1 LIM 23 SEDIE... IN PRATICA QUANDO PARLI DI NUMERI NEL MONDO REALE HAI SEMPRE I NUMERI CON APPICCICATA UN'ETICHETTA: IL FATTO DI ESSERE LIBRI O PENNE. NON ESISTONO NUMERI SENZA UNA QUALITA'; SE DICI 2 NON HA SIGNIFICATO MENTRE SE DICI 2 SEDIE, 2 MELE E COSI' VIA HA SIGNIFICATO. ALLORA NOI DOBBIAMO STUDIARE LE PROPRIETA' DEI NUMERI CHE HANNO UN'ETICHETTA: COME SI COMPORTANO 2 MELE OPPURE 2 SEDIE RISPETTO ALLE OPERAZIONI? SENZA SCOMODARE MELE O SEDIE SEMPLIFICHEREMO CHIAMANDO I NUMERI CON RELATIVE PROPRIETA' 2a OPPURE 2b (UTILIZZANDO CIOE' IL MINOR NUMERO POSSIBILE DI LETTERE DELL'ALFABETO) IN PRATICA... PROVA A FARE QUESTO GIOCO: PENSA UN NUMERO MOLTIPLICALO PER 3 AGGIUNGI 4 AL RISULTATO AL RISULTATO CHE HAI OTTENUTO AGGIUNGI ANCORA IL NUMERO DI PARTENZA DIVIDI QUELLO CHE VIENE PER 4 TOGLI IL NUMERO CHE HAI PENSATO ALL'INIZIO...SCOMMETTO CHE IL RISULTATO È 1 COME HO FATTO? TI HO SEMPLICEMENTE FATTO FARE ALCUNE OPERAZIONI E POI LE STESSE OPERAZIONI AL CONTRARIO FINO A FARTI GIUNGERE AL RISULTATO E, QUALUNQUE NUMERO TU SCEGLI, IL RISULTATO E' SEMPRE 1 CIO' DOVREBBE FARTI CAPIRE L'IMPORTANZA DELLE LETTERE: POSSIAMO UTILIZZARE NELLE OPERAZIONI LE LETTERE AL POSTO DEI NUMERI ED IN QUESTO MODO POTREMO FARE TANTISSIME (INFINITE) OPERAZIONI SE HAI CAPITO BENE PROVA COME ESERCIZIO A COSTRUIRE QUALCHE GIOCHETTO COME QUELLO CHE TI HO MOSTRATO FACENDO IN MODO CHE IL RISULTATO SIA 1) IL NUMERO DI PARTENZA 2) IL DOPPIO DEL NUMERO DI PARTENZA 3) ZERO

2 I MONOMI SUPPONIAMO DI AVERE 2 MELE...OVVERO ABBIAMO UN NUMERO (2) SEGUITO DALLA PROPRIETA' DI ESSERE MELE; ECCO QUESTO E' UN MONOMIO, CIOE' INTUITIVAMENTE UN MONOMIO E' UN NUMERO SEGUITO DA UNA PROPRIETA' AD ESEMPIO SARANNO MONOMI 2 CASE, 3 QUADERNI, ED ANCHE UN NUMERO DA SOLO E' CONSIDERATO MONOMIO. IN GRECO MONOS SIGNIFICA UNO SOLO CIOE' NOI CONSIDERIAMO PIU' COSE COME UN TUTTO UNICO 2ab E' UN MONOMIO IL NUMERO 2 HA LA PROPRIETA' DI ESSERE ab CIOE' 2 X a X b 5a 2 b 3 E' UN MONOMIO IL NUMERO 5 HA LA PROPRIETA' DI ESSERE a 2 b 3 CIOE' 5 X a x a x b x b x b DOVRAI USARE LE SEGUENTI CONVENZIONI : IL SEGNO DI PRODOTTO TRA IL NUMERO E LE LETTERE E TRA LE LETTERE E' SOTTOINTESO; NON SCRIVERE IL NUMERO 1 DAVANTI ALLE LETTERE CIOE' INVECE DI SCRIVERE - 1ab SCRIVERAI ab NON SCRIVERE IL SEGNO + DAVANTI AD UN MONOMIO CIOE' INVECE DI SCRIVERE +7ab² SCRIVERAI 7ab² DEVI METTERE LE LETTERE IN ORDINE ALFABETICO IN SINTESI POSSIAMO AFFERMARE CHE: UN MONOMIO È IL PRODOTTO DI PIÙ FATTORI RAPPRESENTATI DA NUMERI E LETTERE. PARTE LETTERALE

3 ESEMPI DI MONOMI -3a 7ab 3 a³bc² 4 NON SONO MONOMI: 2b + 4c 5x 7y PROVIAMO A VEDERE SE HAI CAPITO: CERCHIA IN ROSSO I MOMOMI + a a -3a 2 b +4 ac -a - 5 c RICAPITALONDO: NEI MONOMI NON COMPAIONO MAI I SEGNI DELL'ADDIZIONE E/O DELLA SOTTRAZIONE. AD ESEMPIO NON SONO MONOMI PERCHÉ IN ESSI COMPAIONO I SEGNI DELL'ADDIZIONE E DELLA SOTTRAZIONE SE INVECE COMPARE IL SEGNO DELLA MOLTIPLICAZIONE SI TRATTA SEMPRE DI MONOMI È UN MONOMIO. INFATTI, SE MOLTIPLICHIAMO TRA LORO I FATTORI NUMERICI (+2) E (-3) ABBIAMO. SUCCESSIVAMENTE MOLTIPLICHIAMO I FATTORI LETTERALI QUESTO MONOMIO SI DICE RIDOTTO A FORMA NORMALE.

4 MONOMI SIMILI DUE MONOMI SI DICONO SIMILI QUANDO HANNO LA STESSA PARTE LETTERALE. LA PARTE LETTERALE DEVE AVERE LO STESSO ESPONENTE! 3a NON È SIMILE A 4a 2 ( RIPRENDENDO GLI ESEMPI INIZIALI: CASA NON È UGUALE A CASSA) ESEMPIO DUE MONOMI SONO UGUALI SE HANNO LA STESSA PARTE LETTERALE E LO STESSO COEFFICIENTE.

5 MONOMI OPPOSTI DUE MONOMI SI DICONO OPPOSTI QUANDO HANNO LA STESSA PARTE LETTERALE E COEFFICIENTE OPPOSTO. I COEFFICIENTI SI DICONO OPPOSTI SE HANNO LO STESSO VALORE ASSOLUTO, MA SEGNO CONTRARIO (VEDI I NUMERI RELATIVI). ESEMPIO: RICAPITOLANDO: MONOMI SIMILI MONOMI UGUALI MONOMI OPPOSTI STESSA PARTE LETTERALE STESSA PARTE LETTERALE STESSO COEFFICIENTE STESSA PARTE LETTERALE COEFFICIENTE OPPOSTO Esempio: +4a; - 8a Esempio: +4a; +4a Esempio: +4a; -4a

6 GRADO DI UN MONOMIO SI DICE GRADO COMPLESSIVO DEL MONOMIO LA SOMMA DEGLI ESPONENTI DELLE SUE LETTERE. CONSIDERIAMO AD ESEMPIO I SEGUENTI MONOMI: 4a 2 b 3 MONOMIO 4a 2 b 3 PARTE LETTERALE DEL MONOMIO a 2 b 3 ESPONENTE DELLA LETTERA a 2 ESPONENTE DELLA LETTERA b 3 SOMMA DEGLI ESPONENTI DELLE LETTERE 2+3 = 5 GRADO COMPLESSIVO MONOMIO 5 5x 2 y 5 z MONOMIO PARTE LETTERALE DEL MONOMIO 5x 2 y 5 z x 2 y 5 z ESPONENTE DELLA LETTERA x 2 ESPONENTE DELLA LETTERA y 5 ESPONENTE DELLA LETTERA z 1 SOMMA DEGLI ESPONENTI DELLE LETTERE = 8 GRADO COMPLESSIVO MONOMIO 8 N.B OLTRE AL GRADO COMPLESSIVO DI UN MONOMIO POSSIAMO DEFINIRE ANCHE IL GRADO DI UN MONOMIO RISPETTO AD UNA SUA LETTERA, CIOÈ : IL GRADO DI UN MONOMIO RISPETTO AD UNA SUA LETTERA È L'ESPONENTE DI QUELLA LETTERA. AD ESEMPIO: 5x 2 y 5 z GRADO DEL MONOMIO RISPETTO ALLA LETTERA x = 2 GRADO DEL MONOMIO RISPETTO ALLA LETTERA y = 5 GRADO DEL MONOMIO RISPETTO ALLA LETTERA z = 1 RICAPITOLANDO: GRADO COMPLESSIVO DI UN MONOMIO SOMMA DEGLI ESPONENTI DELLE SUE LETTERE +4a 2 b 3 GRADO COMPLESSIVO DEL MONOMIO: 2+3 =5 GRADO DEL MONOMIO RISPETTO AD UNA LETTERA ESPONENTE DI QUELLA LETTERA +4a 2 b GRADO DEL MONOMIO RISPETTO ALLA LETTERA a = 2 GRADO DEL MONOMIO RISPETTO ALLA LETTERA b = 1

7 SVOLGI I SEGUENTI ESERCIZI 1. SCRIVI QUATTRO MONOMI SIMILI AL MONOMIO +7a 3 b 2 _ 2. SCRIVI I MONOMI OPPOSTI AI SEGUENTI: - 3ab; +4a 2 c; - 4x 3 ; +5a; -ab; x 3. DIRE QUAL È IL GRADO COMPLESSIVO DEI SEGUENTI MONOMI: - 5a 2 b 5 + 3x 3 y - 7ab 2 c 4 + 2ab 4 c + 8xyz 4. DIRE QUAL È IL GRADO DEI SEGUENTI MONOMI RISPETTO ALLE LETTERE INDICATE: -ab 4 RISPETTO ALLA LETTERA a ALLA LETTERA b -4mn 2 RISPETTO ALLA LETTERA m RISPETTO ALLA LETTERA n +4x 2 y RISPETTO ALLA LETTERA x RISPETTO ALLA LETTERA y +5a 3 y 4 z RISPETTO ALLA LETTERA a RISPETTO ALLA LETTERA y RISPETTO alla lettera z - 10ax RISPETTO ALLA LETTERA a RISPETTO ALLA LETTERA x

8 OPERAZIONI CON I MONOMI SOMMA ALGEBRICA PER CAPIRE LE REGOLE CHE GUIDANO LA SOMMA FRA MONOMI DEVI PENSARE AL SEGUENTE ESEMPIO: 2 MELE + 3 BANCHI = (2 MELE + 3 BANCHI) 2 MELE + 3 MELE = 5 MELE FAI ATTENZIONE CHE LE LETTERE DOPO I NUMERI OLTRE AD ESSERE UGUALI DEVONO ANCHE AVERE GLI STESSI ESPONENTI ES: 2 CASE + 5 CASSE = (2 CASE + 5 CASSE) 2 CASE + 5 CASE = 7 CASE APPARE EVIDENTE CHE PUOI SOMMARE FRA LORO DEGLI OGGETTI SOLAMENTE SE SONO DELLO STESSO TIPO CIOE' SE DOPO IL NUMERO HAI LE STESSE LETTERE, QUINDI PUOI SOMMARE TRA LORO SOLO I MONOMI SIMILI SOMMA ALGEBRICA DI MONOMI SIMILI QUINDI SE I MONOMI CHE DOBBIAMO SOMMARE SONO SIMILI AD ESEMPIO: 4x 2 y + 5x 2 y PER SVOLGERE LA SOMMA ALGEBRICA BASTA SOMMARE ALGEBRICAMENTE I COEFFICIENTI. IN SINTESI: LA SOMMA ALGEBRICA DI DUE O PIÙ MONOMI SIMILI È UGUALE AD UN MONOMIO CHE HA: - LA PARTE LETTERALE UGUALE AI MONOMI DATI - IL COEFFICIENTE UGUALE ALLA SOMMA ALGEBRICA DEI COEFFICIENTI. 4x 2 y + 5x 2 y = 9x 2 y SOMMA ALGEBRICA DI MONOMI NON SIMILI PER ESEGUIRE LA SOMMA ALGEBRICA DI DUE O PIÙ MONOMI NON SIMILI È SUFFICIENTE SCRIVERE I VARI MONOMI, UNO DI SEGUITO ALL'ALTRO, CIASCUNO CON IL PROPRIO SEGNO. AD ESEMPIO SE VOGLIAMO SOMMARE TRA LORO I SEGUENTI MONOMI 4a 2 b; -5x; 2a POSSIAMO SCRIVERE 4a 2 b - 5x + 2a QUELLO CHE SI OTTIENE NON È UN MONOMIO: ESSO PRENDE IL NOME DI POLINOMIO

9 SVOLGI I SEGUENTI ESERCIZI 1. CALCOLA LA SOMMA DELLE SEGUENTI COPPIE DI MONOMI SIMILI: - 3ab + 4ab = - 5a 3 + 2a 3 = - 2xy 2 + 5xy 2 = - a 2 + 2a 2 = + 8ac - 8ac = 2a 2 b + 7a 2 b = 3b 3 c - b 3 c = 4x 2 z + 3x 2 z = -ab + 3ab = -7a 5-2a 5 = 2. CALCOLA LE SEGUENTI SOMME ALGEBRICHE: 5a + 6b 3a -2b - a = 3ab -2ab + abc + ab + 3abc = -4x 2 y - 3xy + 4x 2 + 2x 2 y + xy =

10 PRODOTTO DI MONOMI PER SVOLGERE IL PRODOTTO FRA MONOMI DEVI SEGUIRE QUESTE SEMPLICI REGOLE: 1. IL COEFFICIENTE NUMERICO VA MOLTIPLICATO CON IL COEFFICIENTE NUMERICO SECONDO LE REGOLE DEL PRODOTTO DEI NUMERI RELATIVI_ RIPASSA REGOLE DEI SEGNI_ (SE IL NUMERO NON C'E' E' SOTTOINTESO 1) 2. LE LETTERE VANNO MOLTIPLICATE CON LE LETTERE SECONDO LE REGOLE DELLE POTENZE _ RIPASSA LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE_ 3. LE LETTERE VANNO VANNO SCRITTE UNA ACCANTO ALL ALTRA (PER CONVENZIONE IN ORDINE ALFABETICO) ESEMPIO: (-4ab) (+5a 2 ) (+3ab 2 ) = 1. (-4) (+5) (+3) = +60 (I COEFFICIENTI NUMERICI VANNO MOLTIPLICATI TRA LORO) 2. (ab) (a 2 ) (ab 2 ) = a b 1+2 = a 4 b 3 QUINDI IL RISULTATO FINALE È: ESEMPIO: (LE LETTERE VANNO MOLTIPLICATE CON LE LETTERE SECONDO LE REGOLE DELLE POTENZE) (-2a 3 b) (- 3x 2 y) (+ax 3 ) = (-4ab) (5a 2 ) (+3ab 2 ) = + 60a 4 b 3 1. (-2) (-3) (+1) = +6 (I COEFFICIENTI NUMERICI VANNO MOLTIPLICATI TRA LORO) 2. (a 3 b) (x 2 y) (ax 3 ) = a 3+1 b x 2+3 y= a 4 bx 5 y QUINDI IL RISULTATO FINALE È: (LE LETTERE VANNO MOLTIPLICATE CON LE LETTERE SECONDO LE REGOLE DELLE POTENZE E VANNO SCRITTE UNA ACCANTO ALL ALTRA ) (-2a 3 b) (- 3x 2 y) (+ax 3 ) = + 6a 4 bx 5 y IN SINTESI (-2x 3 y) (-4x 2 y) (-x) = MONOMI COEFFICIENTE PARTE LETTERALE -2x 3 y -2 x 3 y -4x 2 y -4 x 2 y -x -1 x PRODOTTO (-2) (-4) (-1) = -8 (x 3 )(x 2 )(x) = x 3+2+1=5 = x 6 RISULTATO - 8x 6 y 2 (y) (y) = y 1+1=2 = y 2

11 POTENZA DI MONOMI PER ELEVARE ALLA POTENZA n-esima UN MONOMIO SI ELEVA A QUELLA POTENZA IL COEFFICIENTE E SI MOLTIPLICANO PER n GLI ESPONENTI DEI FATTORI LETTERALI. ESEMPIO: (-3ab 2 c 3 ) 3 = (-3) 3 (a 1x3 )(b 2x3 )(c 3x3 ) = -27a 3 b 6 c 9 SVOLGI I SEGUENTI ESERCIZI CALCOLA I SEGUENTI PRODOTTI DI MONOMI: 2a (-3a 2 b 2 c) = ab 3 (4a 2 b) = -2x (-3x 2 y) (+2x 4 ) = (-3m 2 np 3) (-3m 2 n 2 p 2 ) (+4mn 3 p) = + 4a 2 z (-4a 3 z 5 ) = +8a 2 b 3 (-2a 5 bc 2 ) = -5x 3 y (+5x 2 y 3 ) (+2y 4 ) = (+6a 2 b 3) (-3a 2 b 2 ) (-2a 3 b 5 ) = ESEGUIRE LE SOMME INDICATE E POI MOLTIPLICARE I MONOMI OTTENUTI: (-2a 2 b + 3a 2 b) (5ab 2 + 2ab 2 ) = (a 2 b 2-5a 2 b 2 ) (3a 3 c 2-6a 3 c 2 ) = (2a 3-5a 3 ) (3ab - ab) (2b 2 + 5b 2 ) = (-5ab 2 ) ( + 3ab) (-2a 2 b + 3b 2 ) = 3a (-a 2 b) -2b(-a 3 ) + 8ab (-2a 2 ) = 3ax 3 y (2ax 2 ) + (2ax 2 y) (+3b 4 ). CALCOLA LE SEGUENTI POTENZE DI MONOMI (-5ab 2 ) 2 = (+3a 2 b 2 ) 3 = (-1/2a 2 b 4 ) 3 = (2a 3 x 2 y) 4 = (-3a 2 x 3 ) 2 = (5x 3 y 4 ) 5 = (2x 2 z) 3 = (-3a 6 z 2 ) 4 =

12 QUOZIENTE DI MONOMI SVOLGERE IL QUOZIENTE DI MONOMI DEVI SEGUIRE QUESTE SEMPLICI REGOLE: 1. VERIFICARE CHE IL DIVIDENDO CONTENGA TUTTE LE LETTERE PRESENTI NEL DIVISORE CHE ESSE SIANO ELEVATE, CIASCUNA, AD UN ESPONENTE MAGGIORE O ALMENO UGUALE A QUELLO CHE FIGURA NEL DIVISORE. _SE QUESTA CONDIZIONE NON SI VERIFICA I DUE MONOMI NON SONO DIVISIBILI TRA LORO_ 2. DIVIDERE I COEFFICIENTI SECONDO LE REGOLE DEL QUOZIENTE DEI NUMERI RELATIVI (SE IL NUMERO NON C'E,' E' SOTTOINTESO 1) _ RIPASSA REGOLE DEI SEGNI_ 3. LE LETTERE VANNO DIVISE CON LE LETTERE SECONDO LE REGOLE DELLE POTENZE _ RIPASSA LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE_ PER CAPIRE MEGLIO IL PUNTO 1 ESAMINIAMO UNA SERIE DI CASI: 4a 2 : 2ab DIVIDENDO 4a 2 DIVISORE 2ab IL DIVISORE CONTIENE LE LETTERE a,b LA LETTERA b NON È PRESENTE NEL DIVIDENDO I DUE MONOMI NON SONO TRA LORO DIVISIBILI 3a 2 : 2a 4 DIVIDENDO 3a 2 DIVISORE 2a 4 IL DIVISORE E IL DIVIDENDO CONTENGONO LA LETTERA a LA LETTERA a COMPARE NEL DIVIDENDO CON ESPONENTE 2 E NEL DIVISORE CON ESPONENTE 4 QUINDI L ESPONENTE DEL DIVIDENDO È MINORE RISPETTO ALL ESPONENTE DEL DIVISORE I DUE MONOMI NON SONO TRA LORO DIVISIBILI 4a 4 b 2 : 2a 2 b 2 DIVIDENDO 4a 4 b 2 DIVISORE 2a 2 b 2 IL DIVISORE CONTIENE LE LETTERE a,b ENTRAMBE SONO PRESENTI ANCHE NEL DIVIDENDO. LA LETTERA a COMPARE NEL DIVIDENDO CON ESPONENTE 4, QUINDI L ESPONENTE DEL DIVIDENDO È MAGGIORE RISPETTO ALL ESPONENTE DIVISORE LA LETTERA b COMPARE NEL DIVIDENDO CON ESPONENTE 2 QUINDI L ESPONENTE DEL DIVIDENDO È UGUALE RISPETTO ALL ESPONENTE DIVISORE I DUE MONOMI SONO TRA LORO DIVISIBILI.

13 STABILITO CHE I MOPNOMI SIANO DIVISIBILI SI OPERA SECONDO LE REGOLE DEL PUNTI 2 E 3 ESEMPIO 4a 5 b 3 : 2a 2 b 3 MONOMI COEFFICIENTE PARTE LETTERALE 4a 5 b 3 4 a 5 b 3 2a 2 b 3 2 a 2 b 3 QUOZIENTE (4) : (2) = 2 a 5-2=2 = a 3 RISULTATO 2a 3 b 3-3=0 =1 (QUALSIASI NUMERO ELEVATO A ZERO È UGUALE A 1) N.B. QUANDO MONOMI NON SONO DIVISIBILI IL QUOZIENTE PUÒ ESSERE INDICATO SOTTOFORMA DI FRAZIONE UNA ESPRESSIONE SIMILE SI CHIAMA FRAZIONE ALGEBRICA: IN PRATICA CI TROVIAMO DI FRONTE AD UN MONOMIO FRAZIONARIO. ESEMPIO 4a 4 b 2 : 2a 2 b 2 = 4a 2a 4 2 b b 2 2