Prodotti Notevoli. 1. Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza
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- Emanuele Vitali
- 7 anni fa
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1 Prodotti Notevoli I prodotti notevoli sono particolari prodotti o potenze di polinomi, che si sviluppano secondo formule facilmente memorizzabili. Questi consentono di effettuare i calcoli in maniera più veloce in una qualsiasi espressione algebrica. I più comuni sono: Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza; il quadrato di un binomio; il quadrato di un trinomio; il cubo di un binomio 1. Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza Es. Supponiamo di avere il seguente prodotto : ( a + b) ( a b) eseguendo il prodotto normalmente avremo: a ab + ab b Come possiamo notare ab e +ab sono opposti e quindi si elidono e ciò che rimane sarà: a b Quindi possiamo scrivere che : Es. ( a + b) ( a b) a b ( a +1) ( a 1) eseguendo il prodotto normalmente avremo: 9a a + a 1 Anche qui possiamo notare che a e +a sono opposti e quindi si elidono e ciò che rimarrà sarà: 9a 1 Quindi possiamo scrivere che : ( a +1) ( a 1) 9a 1
2 Da qui la regola: Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo Attenzione E importante osservare che nel prodotto della somma di due monomi per la loro differenza si hanno due termini uguali e due termini opposti, per cui il risultato sarà uguale al quadrato dei termini uguali meno il quadrato dei termini opposti Es. ( 5ab + a) ( 5ab a) 5a b 4-9a Termini uguali Termini opposti Es. ( a + x 5 )( a + x 5 ) x 10 - a Termini uguali Termini opposti Risolvi i seguenti esercizi: ( )( 1 x) ( )( x y) 1+ x x + y ( )( a b) ( )( x + y) ( )( a + b) a + b x + y a + b ( )( ab + ) ab! x! x! 1 x + y! 1 x y
3 . Quadrato di un Binomio Consideriamo di avere un binomio al quadrato del tipo : ( a + b) per definizione di potenza equivale a: ( a + b) ( a + b) ( a + b) Calcolando il prodotto si avrà: Sommando i termini si otterrà: Quindi a + ab + ab + b a + ab + b ( a + b) a + ab + b Questa uguaglianza ci dà la seguente regola: Il Quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine il doppio prodotto del primo termine per il secondo più il quadrato del secondo. Attenzione Per doppio prodotto del primo termine per il secondo s intende ( a) b Il segno del doppio prodotto sarà positivo + concordi, mentre sarà negativo Es. Calcoliamo il seguente quadrato di binomio: ( x + y ) Seguendo la regola si avrà: ( ) ( ) se i due termini del binomio sono ( ) se i termini del binomio sono discordi. Il quadrato del primo termine cioè ( x) 4x ± il doppio prodotto del primo termine per il secondo, poiché i due termini del binomio sono concordi il segno sarà + e si avrà: ( +x) +y Più, il quadrato del secondo termine cioè: ( y ) 9y 4 Quindi ( x + y ) 4x +1xy + 9y 4 ( ) +1xy
4 Es. Calcoliamo il seguente quadrato di binomio: 4 a 7 b Seguendo sempre la regola avremo:! 4 Il quadrato del primo termine cioè a 16 9 a ± il doppio prodotto del primo termine per il secondo, poiché i due termini del binomio sono discordi il segno sarà ( ) e si avrà: + 4 a 7 b 8 ab Più, il quadrato del secondo termine cioè: Quindi : 4 a 7 b 16 9 a 8 ab b Esegui i seguenti esercizi: ( 4a 5b) x y ( x ) ( x 1) ( + a)! 1 x + y 6x + y 4 a 1 b ( ) a b 4 4a b 5! 1 4 a + b x 1! 5 x +10y a x xy a b
5 . Quadrato di un trinomio Consideriamo di avere il seguente trinomio al quadrato ( a + b + c) ( a + b + c) per definizione di potenza equivale a: Calcolando il prodotto si avrà: Sommando i termini si otterrà: Quindi: ( a + b + c) ( a + b + c) a + ab + ac + ab + b + bc + ac + bc + c a + b + c + ab + ac + bc ( a + b + c) a + b + c + ab + ac + bc Questa uguaglianza ci dà la seguente regola: Il Quadrato di un trinomio è uguale al quadrato del primo termine + il quadrato del secondo + il quadrato del terzo il doppio prodotto del primo termine per il secondo il doppio prodotto del primo per il terzo termine il doppio prodotto del secondo per il terzo termine. Attenzione Per doppio prodotto del primo termine per il secondo s intende ( a) ( b) Per doppio prodotto del primo termine per il terzo s intende ( a) ( c) Per doppio prodotto del secondo termine per il terzo s intende ( b) c Il segno del doppio prodotto sarà positivo + ( ) ( ) se i due termini di cui si effettua il prodotto sono concordi, mentre sarà negativo ( ) se i due termini di cui si effettua il prodotto sono discordi.
6 Es. Calcoliamo il seguente quadrato di trinomio: Seguendo la regola avremo: ( a b + c) Il quadrato del primo termine cioè: ( a) a Il quadrato del secondo termine cioè: ( b) +4b Il quadrato del terzo termine cioè: ( c) 9c ± doppio prodotto del primo termine per il secondo cioè: ( a) ( b) 4ab ± doppio prodotto del primo termine per il terzo cioè: ( a) ( +c) +6ac ± doppio prodotto del secondo termine per il terzo cioè: ( b) ( +c) 1bc Quindi : ( a b + c) a +4b +9c 4ab +6ac 1bc Esegui i seguenti esercizi: ( x y + z) 1 x + x 4 a x + y ( x y +1) ( x + y 4) a + a + a x + ay ax y 1 x y + 4 x 1 xy + y
7 4. Cubo di un Binomio Consideriamo di avere il seguente cubo di binomio : ( a + b) ( a + b) possiamo scriverlo sotto forma di quadrato di binomio per il binomio stesso cioè: ( a + b) ( a + b) Calcolando si avrà: ( a + ab + b ) ( a + b) Moltiplicando avremo: a + a b + a b + ab + ab + b Sommando i termini simili si avrà: a + a b + ab + b Quindi ( a + b) a + a b + ab + b Questa uguaglianza ci dà la seguente regola: Il Cubo di un binomio è uguale: al cubo del primo termine al triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo al triplo prodotto del quadrato del secondo termine per il primo al cubo del secondo termine Seguendo l ordine della suddetta regola, per quanto riguarda i segni si avrà: Se i termini del cubo di binomio sono entrambi positivi come ad es. ( a + b) tutti i termini dello sviluppo saranno positivi. Se i termini del cubo di binomio sono entrambi negativi come ad es. ( a b) tutti i termini dello sviluppo saranno negativi. Se i termini del cubo di binomio sono discordi come ad es. ( a b) tutti i termini dello sviluppo saranno a segni alterni partendo dal segno + se a è positivo, dal segno meno se a è negativo.
8 Es. Calcoliamo ( a + b) Cominciamo il nostro calcolo seguendo la regola. Intanto poiché i due termini del polinomio sono entrambi positivi, siamo in grado di dire che tutti i termini dello sviluppo saranno tutti positivi. 1. Il cubo del primo termine e cioè ( a) a. Il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo cioè: ( a) b 6a b. Il triplo prodotto del quadrato del secondo termine per il primo cioè: ( b) a 4b ( ) a 1ab 4. Il cubo del secondo termine cioè: ( b) 8b Es. Calcoliamo ( a b) Quindi lo sviluppo di ( a + b) a +6a b +1ab +8b Questa volta i termini del binomio sono entrambi negativi quindi, seguendo la regola, tutti i termini dello sviluppo saranno negativi. Cominciamo il calcolo 1. Il cubo del primo termine cioè: ( a) a. Il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo cioè: ( a) ( b) +a ( ) 6a b ( ) b. Il triplo prodotto del quadrato del secondo termine per il primo cioè: ( b) ( a) ( +4b ) ( a) 1ab 4. Il cubo del secondo termine cioè: ( b) 8b Es. Calcoliamo ( a b) Quindi lo sviluppo di ( a b) a 6a b 1ab 8b Questa volta i termini del binomio sono discordi quindi tutti i termini dello sviluppo saranno a segni alterni partendo dal segno + perché a è positivo. Cominciamo il calcolo: 1. Il cubo del primo termine cioè: ( +a) a. Il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo cioè: ( +a) ( b) +a ( ) 6a b ( ) b. Il triplo prodotto del quadrato del secondo termine per il primo cioè: ( b) ( +a) ( +4b ) ( +a) +1ab 4. Il cubo del secondo termine cioè: ( b) 8b Quindi lo sviluppo di ( a b) + a 6a b +1ab 8b
9 Es. Calcoliamo 1 x + xy 1. Il cubo del primo termine cioè: 1 x 1 8 x6. Il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo cioè: 1 x ( ( +xy ) x 4 ( ( xy ) x5 y. Il triplo prodotto del quadrato del secondo termine per il primo cioè: ( +xy ) 1 x ( ( +9x y 4 ) 1 x ( 7 x 4 y 4 4. Il cubo del secondo termine cioè: +xy Quindi lo sviluppo di 1 x + xy ( ) +7x y x x5 y 7 x 4 y 4 +7x y 6 Come possiamo notare, poiché i due termini del polinomio sono discordi, i segni dello sviluppo sono alternati a partire dal segno meno in quanto il primo termine è negativo Esegui i seguenti esercizi: ( x y) ( ) x + y ( 1 a) ( ) ( ) x + y x x ( x 4y) ( a + b) ( ) ( ) x 1+ a 1 a b! a + 1 b x xy
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