Prodotti Notevoli e Scomposizione. Feo Maurizio

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1 Prodotti Notevoli e Scomposizione Feo Maurizio August 12, 2013

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3 Preambolo Gli appunti che seguono non vogliono sostituire il testo, ma rappresentano solo una bozza per raccogliere in maniera organica e compatta le principali formule riguardanti i prodotti notevoli e la scomposizione dei polinomi. Importante Si ricordi che il riferimento fondamentale è il libro di testo! 3

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5 Capitolo 1 Prodotti notevoli 1.1 Formule dei prodotti notevoli fondamentali Prodotto di una somma per una differenza (a + b) (a b) = a 2 b 2 (1.1) Si ricava dal prodotto di due binomi; infatti (a + b) (a b) = a 2 +ab ab b 2 = a 2 b 2 }{{} (i termini opposti si elidono) Quadrato di un binomio (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (1.2) Si ricava dal prodotto di due binomi; infatti (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a 2 +ab +ab }{{} (i termini simili si sommano) +b 2 = a 2 +2ab+b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (1.3) Si ricava dal prodotto di due binomi; infatti (a b) 2 = (a b) (a b) = a 2 ab ab +b 2 = a 2 2ab+b 2 }{{} (i termini simili si sommano algebricamente) Cubo di un binomio (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (1.4) Si ricava dall applicazione del quadrato del binomio e dal prodotto di un trinomio per un binomio; infatti (a + b) 3 = (a + b) (a + b) (a + b) = (a + b) 2 (a + b) = 5

6 6 CAPITOLO 1. PRODOTTI NOTEVOLI = (a 2 + 2ab + b 2 ) (a + b) = a 3 +2a 2 b+ab 2 +a 2 b+2ab 2 + b 3 = (i termini simili si sommano) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 (1.5) Si ricava dall applicazione del quadrato del binomio e dal prodotto di un trinomio per un binomio; infatti (a b) 3 = (a b) (a b) (a b) = (a b) 2 (a b) = = (a 2 2ab + b 2 ) (a b) = a 3 2a 2 b+ab 2 a 2 b+2ab 2 b 3 = (i termini simili si sommano) = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b Prodotti che conducono a somma e differenza di cubi (a b) (a 2 + ab + b 2 ) = a 3 b 3 (1.6) Si ricava dal prodotto di un trinomio per un binomio; infatti (a b) (a 2 + ab + b 2 ) = a 3 +a 2 b+ab 2 a 2 b ab 2 b 3 = a 3 b 3 (i termini opposti si elidono) (a + b) (a 2 ab + b 2 ) = a 3 + b 3 (1.7) Si ricava dal prodotto di un trinomio per un binomio; infatti (a + b) (a 2 ab + b 2 ) = a 3 a 2 b+ab 2 +a 2 b ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 (i termini opposti si elidono)

7 Capitolo 2 Scomposizione 2.1 Consigli per la fattorizzazione di un polinomio Raccoglimento a fattor comune (messa in evidenza) La prima cosa da fare in una scomposizione è verificare se i termini del polinomio hanno un fattore comune (il MCD dei termini) che può quindi essere raccolto a fattor comune. Esempi: 18x x 2 y + 36xy 2 = 6x (3x 2 + 2xy + 6y 2 ) 50a 3 b 2 c + 20a 2 b 5 30a 3 b 3 = 10a 2 b 2 (5ac + 2b 3 3ab) (2.1) Scomposizione con la regola di Ruffini Si rimanda al testo Se il polinomio ha due termini... può essere la differenza di due quadrati: a 2 b 2 = (a + b) (a b) (2.2) Esempi: 4x 2 9 = (2x) 2 (3) 2 = (2x + 3) (2x 3) 36a 2 b 2 = (6a) 2 (b) 2 = (6a + b) (6a b) (2.3) 7

8 8 CAPITOLO 2. SCOMPOSIZIONE oppure somma o differenza di due cubi a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 ab + b 2 ) (2.4) a 3 b 3 = (a b) (a 2 + ab + b 2 ) (2.5) oppure non sapete scomporlo Se il polinomio ha tre termini... può essere il quadrato di un binomio a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 (2.6) a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 (2.7) oppure il cosiddetto trinomio caratteristico: (siano s = x 1 + x 2 la somma e p = x 1 x 2 il prodotto di due termini x 1 e x 2 ) x 2 sx + p = (x x 1 ) (x x 2 ) (2.8) Esempi: Scomporre il trinomio x 2 7x Si ha : s = ( 7) p = +10 cioè : x 1 + x 2 = 7 x 1 x 2 = 10. Si ottiene così : x 1 = 2; x 2 = 5. P ertanto : x 2 7x + 10 = (x 2) (x 5) (2.9)

9 2.1. CONSIGLI PER LA FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO 9 Scomporre il trinomio x 2 + 5x + 6. Si ha : s = (+5) p = +6 cioè : x 1 + x 2 = 5 x 1 x 2 = 6. Si ottiene così : x 1 = 3; x 2 = 2. P ertanto : x 2 + 5x + 6 = (x ( 3)) (x ( 2)) = (x + 3) (x + 2) Scomporre il trinomio x 2 + 6x 7. Si ha : s = (+6) p = 7 cioè : x 1 + x 2 = 6 x 1 x 2 = 7. Si ottiene così : x 1 = 7; x 2 = 1. P ertanto : x 2 + 6x 7 = (x ( 7)) (x 1) = (x + 7) (x 1) (2.10) (2.11) oppure il trinomio ax 2 + bx + c con coefficiente a diverso da 1: (siano x1 ed x2 due valori tali che: x 1 + x 2 = b e x 1 x 2 = a c ) ax 2 + bx + c = (ax x 1 )(x x 2 a ) (2.12) Conviene dimostrare questa relazione. Da si ottiene Cosí: x 1 + x 2 = b x 1 x 2 = a c b = (x 1 + x 2 ) c = x 1 x 2 a (2.13) (2.14)

10 10 CAPITOLO 2. SCOMPOSIZIONE ax 2 + bx + c = = ax 2 (x 1 + x 2 )x + x 1x 2 a = ax 2 x 1 x x 2 x + x 1x 2 a = = (2.15) = (ax x 1 )x x 2 a (ax x 1) = = (ax x 1 )(x x 2 a ) Esempi: Scomporre il trinomio 2x 2 3x 9. Si ha : a = 2 b = 3 c = 9 cioè : x 1 + x 2 = ( 3) = +3 x 1 x 2 = 2( 9) = 18. Si ottiene così : x 1 = +6; x 2 = 3 oppure x 1 = 3; x 2 = +6 P ertanto : 2x 2 3x 9 = (2x ( 3)) (x 6 2 ) = = (2x + 3) (x 3) (2.16) Esiste un metodo alternativo di soluzione, che rende inutile applicare la formula. Si debbono solo ricavare correttamente x 1 ed x 2.

11 2.1. CONSIGLI PER LA FATTORIZZAZIONE DI UN POLINOMIO 11 Scomporre il trinomio 2x 2 3x 9. Si ha : a = 2 b = 3 c = 9 cioè : x 1 + x 2 = ( 3) = +3 x 1 x 2 = 2( 9) = 18. Si ottiene così : x 1 = +6; x 2 = 3 oppure x 1 = 3; x 2 = +6 P ertanto : 2x 2 3x 9 = 2x 2 6x + 3x 9 = = 2x(x 3) + 3(x 3) = (2x + 3) (x 3) (2.17) oppure non sapete scomporlo Se il polinomio ha quattro termini... può essere il cubo di un binomio a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 (2.18) a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 = (a b) 3 (2.19) o necessita di un doppio raccoglimento a fattor comune ac + ad + bc + bd = (a + b) (c + d) (2.20) infatti: ac + ad + bc + bd = a (c + d) + b (c + d) = (a + b) (c + d) oppure non sapete scomporlo Se il polinomio ha sei termini... può essere il quadrato di un trinomio a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c) 2 (2.21) o necessita di un doppio raccoglimento a fattor comune ac + ad + ae + bc + bd + be = (a + b) (c + d + e) (2.22) infatti: ac + ad + ae + bc + bd + be = a (c + d + e) + b (c + d + e) = = (a + b) (c + d + e)

12 12 CAPITOLO 2. SCOMPOSIZIONE oppure non sapete scomporlo.