GLI INSIEMI NUMERICI. 1. Calcola il valore dell espressione applicando le proprietà delle potenze.

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1 GLI INSIEMI NUMERICI. Calcola il valore dell espressione applicando le proprietà delle potenze : : : ( 4 ) : ( ) 7 7 0, + 0, 0,8 : + 0,7 + : 4, Calcola il valore della seguente espressione, assegnando alle lettere i valori indicati a fianco x x y y ( x y) + + ; 4 x=, y = a a b + ; b a b+ 5 a =, b= Traduci in espressione la seguente frase e calcolane il valore con i dati assegnati Sapendo che a = c = e b = sottrai 7 di a ai 47 di b, dividi poi il risultato per i 8 5 del 4 cubo di c; 5 4. Risolvi i seguenti problemi Un rettangolo con il perimetro di 7 cm ha un lato che è rettangolo. 7 dell altro. Determina l area del 4 cm In un gruppo di 0 ragazzi il 0% ha 4 anni, il 40% ha 5 anni e i rimanenti hanno 6 anni. Calcola quanti ragazzi hanno 4 anni, quanti ne hanno 5 e quanti ne hanno 6. [9; ; 9]

2 Una scuola ha classi, il 5% di queste è formato da 0 alunni, il 50% è formato da 5 alunni e le restanti da 0 alunni. Calcola quanti alunni frequentano la scuola. Sapendo che di essi il 40% frequenta il biennio, calcola quanti sono gli alunni del triennio. [00; 80] In una comitiva ci sono italiani, 0 tedeschi, 5 americani e 8 francesi. Qual è la percentuale degli italiani sull intera comitiva? E quale, tra gli europei? [6%; 0%] Una casa editrice applica uno sconto del 0% su un libro. All acquisto in libreria, l esercente applica un ulteriore sconto del 0% più un bonus di 5. Se il libro viene pagato, qual era il suo prezzo originario? [ 50]

3 GLI INSIEMI. Dati gli insiemi: 5 A=,, 5, 9, B=,, 0,, C = 4,, 0,, 4 completa con i simboli e le seguenti proposizioni in modo da renderle vere A ; ( ) ( ) 5... B; +... A; +... C. 4. Rappresenta i seguenti insiemi graficamente e poi mediante la proprietà caratteristica. A = 8, 9, 0, ; { } { } C = {... 5, 4,, }. B =,, 0,,,, 4 ;. Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi. { xx è una consonante nella parola «eccezionale»}; { xxè una squadra di calcio di Milano }; 4. Rappresenta i seguenti insiemi graficamente e poi scrivi la loro rappresentazione per elencazione. {, 7 }; { P } A= x x x> B= x x, 4 < x 0 ; C = { x x Z,7 x < }

4 5. Considera l insieme S = { 5; 7; 9;;} e stabilisci se sono vere o false le seguenti proposizioni: a) 7 S V F { } 9 S b) V F c) S V F { } S d) V F { } xx D, 4 x< 0 S e) V F { } xx D, < x S f) V F 6. Considerando i seguenti insiemi, determina l insieme unione e l insieme intersezione, rappresentandoli per elencazione e con un diagramma di Eulero-Venn. A =, 5, 8, 4, { } B = {,, 4 }; 7. Considerando i seguenti insiemi, determina l insieme unione e l insieme intersezione, rappresentandoli per elencazione e con un diagramma di Eulero-Venn. C = x xè una lettera della parola «ortolano», { } D= { x xè una lettera della parola «fruttivendolo»}. 8. Rappresenta graficamente gli insiemi A, B, C e determina per elencazione l insieme AB e l insieme B C. A = {,, }; B = {,,, 4, 5, 6, 7 }; C = {, 4, 8, 9 }. AB = { 4, 5, 6, 7 }; B C = {,, 5, 6, 7} 4

5 9. Rappresenta per elencazione la differenza A Bdei seguenti insiemi numerici. { } { } A= x x, x multiplo di 5, x 0, B = x x, x multiplo di 0, x In ognuna delle seguenti figure, esprimi la parte a righe usando le operazioni di unione e intersezione fra gli insiemi A, B e C assegnati.. Ricopia la figura e colora i seguenti insiemi.. Dati i due insiemi A e B, scrivi la rappresentazione per elencazione di A Be la rappresentazione per elencazione di B A; poi fai le rappresentazioni cartesiane. A = { a, b, c, d}, B= { a e c},,. 5

6 I MONOMI E I POLINOMI. Riduci a forma normale i seguenti monomi e indicane il grado complessivo 7 ( 9 ) ; 8 b ac b a c ab mn m 4 ( ) n n mn abc, grado; mn, 9 grado 4 5. Semplifica le seguenti espressioni ( ) + : :( ) + ( ) x xy x 4 y xy xy y x 5 x + x y : xy + x z : xz : x ( ) ( ) ( ) xy xy : xy + y ( x) ( xy) + xy xy+ xy x y x xy ( xy ) :( xy ) ( x) xy x y : ( xy ) x ( y ) + 5 [ 0]. Traduci la seguente frase nell uguaglianza fra due monomi: «Il quadrato del prodotto di un numero per il doppio di un secondo numero è uguale al quadruplo del prodotto dei quadrati dei due numeri». ( ) x y = 4x y 6

7 4. Esprimi la misura dell area grigia mediante un monomio. 4 a 5. Esprimi attraverso un monomio in b e h l area della regione evidenziata. 4 bh 6. Un trapezio ha la base maggiore uguale a 7 a, la base minore uguale a a e l altezza è la metà della base maggiore. Calcola l area del trapezio. Se si aumenta la base maggiore di 5 a, qual è la differenza tra l area del nuovo trapezio e l area di quello vecchio? 5 55 a ; a Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di monomi. 4 0 abc, 5 8 ab, ac; a ab, 4a b 4 ab. 7

8 8. Semplifica l espressione. 5 7 x x y y xy + x y y x + xy 4 4 x y xy xy x y ( xy) xy x y xy + xy x y a+ b ab a+ b a b + b a a+ b ( )( ) ( ) ( ) ab 9. In un trapezio isoscele la base maggiore supera di a la base minore b, il lato obliquo è 4 della base minore, mentre l altezza è metà della base maggiore. Esprimi con un polinomio ridotto la misura del perimetro e dell area del trapezio. 4 a + b; a + ab + b 0. Esprimi mediante un polinomio ridotto a forma normale il perimetro e l area della zona evidenziata. 4a + 8 c; a + b + 4ab c 8

9 . Utilizza i prodotti notevoli per semplificare l espressione. a+ b ba a+ b a a+ b ( ) ( ) 4 9 b a 4 ( ) ( ) 8 x y x x+ y x y y+ x + x 4 y xy 4 ( a+ b ) b a + ( b+ )( b ) + ( a + b ) 4 4 a a b + + a a b a b b b a a 4a b a b ( ) + + ( + ) + ( ) + ( ) 4a ( x x+ ) + x ( x+ )( x) x( x ) + x( x + 0) x + 4. Calcola il risultato della seguente divisione di un polinomio per un monomio ed esegui la verifica. 4 4 ab + ab + 4 ab : ab 4 8 a ab 6b. Esegui la seguente divisione fra polinomi e scrivi quoziente e resto. ( b b + 8b 4 b+ 5 ): ( 4b + ) Q= b b+ R= 5; 0 5 x + x x + 4 : x + ( ) = + ; = + 5 Q x x R x 7 ( ) 6 4 x + x 4x x 5 x+ : x + x+ 4 Q= x x + x x ; R= x+ 9

10 4. Esegui la divisione applicando la regola di Ruffini. ( a 4a + a 5 6 ):( a) = + + ; = 0 4 Q a a R 4 5 4y y 9y 9 : y Q= 4y y + y ; R= 4 6 0

11 LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE. Scomponi in fattori i seguenti polinomi, raccogliendo a fattor comune un monomio. 4xy 6xy+ 8xy ; 5 x x x ( + ) ( ) 6 xyy x 4 y ; x 5x 7x. Scomponi in fattori con il metodo del raccoglimento parziale (con m, n ). ax ab + b x x ; ( ) y y y + y 7 7 ; ( + ) ( + ) + ( ) a x y x y b b a. ( ax)( x b)( x+ b) ; y( y)( y y7 );( a b)( x + y + ab). Scomponi in fattori, dopo aver osservato che ciascun polinomio è la differenza di due quadrati. a 64 b ; x y ; ( a ) 4. ( a 8b)( a+ 8 b) ;( x y)( x+ y)( 4 x + y ); a( 4a)

12 4. Scomponi in fattori, dopo aver osservato che ciascun polinomio è il quadrato di un binomio. 9x 6 xy+ y ; ; a a ( a ) ( a ) ( x y) ; ( a+ 4 ) ;( a7) 5. Scomponi in fattori, dopo aver scritto ciascun polinomio come la differenza di due quadrati. x + 6xy+ y ; ( ) a+ b + b. ( x+ y+ )( x+ y ) ( a+ b+ )( a b+ ) ; 6. Riconosci nel seguente polinomio il quadrato di un trinomio b + a + b ab + a. 4 9 b a+ 7. Scomponi in fattori, riconoscendo il cubo di un binomio. 7xy x + 9x y + 7 y ; ab ab + ab ab ( yx) ; a b ab 8. Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi. 6 xy 5; 6 9 a + b ; 8 ( a+ ) + ( a ). 4 9 ( )( 4 ) 6 xy 5 x y + 5xy + 5 ; a + b a ab + b ;( a )( a a + 7)

13 9. Scomponi in fattori i seguenti trinomi particolari di secondo grado. x x48; a + 5ab 6 b. ( x 8)( x+ 6 );( a+ 6b)( ab) 0. Scomponi in fattori utilizzando la regola di Ruffini. + ( x )( x + x+ 7) 4x 5x x. + + ( x )( x+ )( x) 6x x 4x.. Semplifica le seguenti frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di esistenza. 6xy 0 4 xyz ; # & x 0 y 0 z 0; $ % 5xz' ( b+ b b b. $ b 0 b ; b ' % & ( ) b 4 4 a x a a x + ax x ; # % x a; a + x % $ a x ( ) ( ) a + x ( ) & ( ( ' ( x y) ( x+ y) y x xy. # x & % x y; ( $ x y' xa y 8xy x a y + x ay + 4x y ; $ ay y' x 0 y 0; % & x ( ) y xyx y 4x. $ y x y x; x + y ' & ) % x + y(

14 . Esegui l espressione e semplifica il risultato, se è possibile. x + x x + x x+ x + x x 7x+ 6 x + x x xy 4x y y 5y x xy x y xy x y + [ ] x 4x+ 5 x + x x x x x +. Semplifica l espressione. b 4 b 5 : b b b b b b b b b ( b )( b+ ) a b ab a ab a a b a + b b a b a b a + b ab ab a + b ( a b ) ( a + b ) 4. Esprimi la lunghezza b della base del rettangolo in funzione di a, x e A, dove A è l area della zona ombreggiata. 4A+ x b = 4a 5. Indicata con A l area del trapezio, esprimi la lunghezza b della base minore in funzione di a, h, e A. 4A ah b = 4h 4

15 LE EQUAZIONI LINEARI. Risolvi l equazione numerica intera. 6 x = x x ( x ) x = x x+ ( x) = x x [ x = 0] ( )( ) x + x ( ) x x + x + = 4 4 x = 5 ( ) x = + + x x x x 4 x = ( x+ ) ( x ) ( x+ ) ( x) + = x = 7 ( x ) ( x)( x) x 5 + = x = x+ x x x x x + = x = x x ( x ) 5 8 : 5 : 5 5 = x = 6 5

16 . Risolvi l equazione numerica fratta, scrivendo C.E. e m.c.m. dei denominatori. 4x+ x+ 6x x+ = + x+ 4x+ x+ x+ 6 x = 6 x x x+ = x 4 x+ 5 x x+ 5 x+ 4x + x = + x+ 5 x x x+ x x + x + = + 4x x 4x x 4 ( ) [ x = ] ( 8x ) x = [ x =] + 4x + = [ x = ] x 5 6x 9x 0 x. Marco e Paolo giocano alla roulette: Marco ha a disposizione 5 e Paolo 5. Alla fine della serata Marco possiede il triplo di quanto possiede Paolo. Quale somma ha perso Paolo? 4. [ 5] 5. Il rettangolo ABCD viene trasformato in quadrato, diminuendo di 5 cm la lunghezza dell altezza e aggiungendo cm alla lunghezza della base. Calcola il perimetro del rettangolo, sapendo che la lunghezza dell altezza è doppia di quella della base. [ cm] 6. Una corda lunga 58 cm viene divisa in tre parti. Sapendo che la seconda è lunga cm più del doppio della prima, e che la terza è lunga cm più del doppio della seconda, quanto misurano le tre parti? [7 cm; 6 cm; 5 cm] 7. Se a un numero si aggiunge il suo triplo e si sottrae la sua terza parte, si ottiene 44.Determina il numero. [] 8. Un trapezio isoscele di area 9 cm ha l altezza lunga 4 cm. Sapendo che la base minore è lunga il quadruplo del lato obliquo e che la base maggiore supera di cm il triplo dello stesso lato obliquo, determina il perimetro del trapezio. [56 cm] 9. La somma di numeratore e denominatore di una frazione è ; sommando 7 a entrambi si ottiene 5 Calcola numeratore e denominatore. [8; ] 0 0. Determina le lunghezze di due percorsi stradali sapendo che la loro differenza è pari a 75 km e che il loro rapporto è uguale a 5 [87,5 km;,5 km] 6

17 FUNZIONI. Completa la seguente tabella m... x y=mx Il seguente grafico rappresenta una funzione y = mx Deduci dal grafico: a) il valore di y per x=4 b) per quale valore di x la y vale -? c) l'equazione della retta rappresentata. Quanto vale il coefficiente angolare della retta che passa per i punti A(,4) e B(7,4)? 7

18 4. Osserva il grafico. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? A. Le due rette hanno la stessa pendenza perché entrambe passano per l'origine degli assi cartesiani. B. La retta ha coefficiente angolare maggiore della retta C. La retta ha coefficiente angolare maggiore della retta D. Il coefficiente angolare non si può calcolare 5. Le due grandezze rappresentate nella figura sono direttamente proporzionali. Quanto vale la costante di proporzionalità? A.,5 B. 0,67 C. 6,7 D. non si può rispondere 8

19 6. Se una tegola cade dal tetto di un edificio alto 0 m, l'altezza che essa ha rispetto al suolo t si calcola con la formula h = 0 4,9t A. Possiamo dire che h è funzione di t? B. Che tipo di funzione è? 7. Considera le seguenti funzioni y = x e y = x a) Costruisci il grafico delle due funzioni assegnando a x dieci valori b) Cosa puoi dire riguardo alla concavità delle due funzioni? 8. Stabilisci se x e y sono direttamente o inversamente proporzionali. Scrivi la funzione di proporzionalità e fai il grafico. a) x y b) x 0 4 y Scrivi la funzione di proporzionalità diretta avente costante di proporzionalità uguale a 5; calcola i valori di x per y = 0 e per y = Scrivi la funzione di proporzionalità inversa avente costante di proporzionalità uguale a 48; calcola i valori di x per y = e per y = 6. Risposte: 4)C 5)A 8a) xy = 8b) y = x, 9) - 7 0)

20 STATISTICA. Nella seguente tabella sono riportati il peso e l'altezza di 4 studenti: Studente Altezza (in cm) Peso (in kg) Paolo 85 8 Marco 8 75 Stefano 75 7 Michele Calcolare la media e la deviazione standard dell'altezza e del peso Esiste più variabilità nell'altezza o nel peso degli studenti? [ ]. Vengono intervistati 6 torinesi, a cui viene chiesto il numero di stanze presente nella propria abitazione. Le risposte sono le seguenti: costrire la tabella con le frequenze assoute, relative e comulate determinare media, moda, mediana e varianza La stessa indagine è stata svolta a Milano e le risposte fornite dai 6 milanesi hanno dato un valor medio uguale a.5 ed una varianza uguale a.6. Confronta i risultati e commenta. [ - -.]. La seguente tabella (tratta da Il Mondo ) riporta il traffico aeroportuale di passeggeri nella regione Puglia: Aeroporti Bari Brindisi Foggia Totale Esprimi, in termini quantitativi, assoluti e percentuali, di quanto ciascun aeroporto ha visto incrementare il proprio traffico passeggeri tra il 009 e il 00 Quale aeroporto ha registrato l incremento maggiore e quale il minore? In che misura il traffico passeggeri dell aeroporto di Bari incide sul traffico passeggeri totale della regione Puglia? 0

21 4. Quanti dei 600 ragazzi vanno a scuola in bicicletta?