RECUPERO LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN Z

Transcript

1 I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Recupero LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN Z [( ) ] {[( ) ] [( ) ] [( ) ] }. [( ) ] {[( ) ] [( ) ] [( ) ] } () {() ( ) ( ) } Applica la proprietà della potenza di potenza. ( ) {( ) ( ) } Applica la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base. ( ) ( ) Applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base due volte. ( ) 9. Calcola la potenza. Semplifica la seguente espressione, applicando le proprietà delle potenze: [( ) ] [ ( ) ] ( 7). [( ) ] [ ( ) ] ( 7) ( ) ( 7) ( ) ( 7) Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze. [( ) 6 () 6 ] ( ) [ 7] 9 {[ (0 8) ] (6 ) } ( ) [ ] [( 6) 8 ] 6 ( ) [] 0 {[( ) ] [( ) ] } 0 {[( 6) ( ) ]} [ 7] [ ( 7) ] ( ) 9 [ 7] [( ) ] [( ) ] ( ) [6] 6 {[(6 ) (6) ] 6 } 0 [] [( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ] 7 ( ) ( ) ( ) [9] (6 ) ( ) ( ) [ ] 8 ( ) [( ) ( ) ] 0 [8] ( ) [( ) ( ) 8] ( ) [ ] 6 7 [(8 7 ) ] ( ) [] ( ) ( ) ( ) ( 6) [ 7] [( ) ( ) ( ) 6 ] ( 9) ( 0) [ ] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

2 I NUMERI RAZIONALI Recupero ESPRESSIONI E PROPRIETÀ DELLE POTENZE Esegui le operazioni dentro le parentesi tonde. 0 7 Trasforma la divisione in moltiplicazione. 8 7 Esegui la moltiplicazione e applica la proprietà del prodotto di potenze con lo stesso esponente Calcola la potenza ed esegui le operazioni Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

3 I NUMERI RAZIONALI Recupero Semplifica le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze [] [] ( ) [ ] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

4 I NUMERI RAZIONALI Esercizi in più ESERCIZI IN PIÙ PROBLEMI CON LE PERCENTUALI Risolvi i seguenti problemi. Ho letto 0 pagine di un romanzo, pari all 80% del libro. Quante pagine mancano alla fine? [80] Una coppia di sposi acquista un appartamento che costa Per pagarlo chiedono un prestito pari al % del prezzo di acquisto. Per la restituzione si impegnano a versare alla fine di ogni anno 000, pagando però un interesse del 6% sul debito di ogni anno. Calcola a quanto ammonta il prestito e quale cifra viene pagata alla fine del terzo anno. [ 000; 600] Un ragazzo acquista uno scooter, il cui prezzo di listino è di 9. Per ottenere uno sconto, paga subito 68,6 in contanti e si impegna a portare il resto in due assegni: il primo, dopo una settimana, di 6 e il secondo, di importo doppio del primo, dopo due settimane. Quale sconto in percentuale ottiene? [%] Chiedo a un amica in prestito 00 per un anno. Alla fine del periodo riscuoterà la cifra prestata maggiorata del %. Un amico è disponibile a prestarmi la stessa cifra chiedendomi alla fine la cifra, 0,0 di spese e il % del capitale come interessi. Quale proposta è più conveniente? Qual è il vantaggio in percentuale? [amica: 0; amico:,0; %] In una classe prima, gli studenti provengono da quattro comuni. COMUNE A COMUNE B COMUNE C COMUNE D Femmine 9 Maschi 7 Quale percentuale di studenti proviene dal comune A? E quale percentuale dal comune D? [7,%; 0,7%] 6 Nella prima fase di un gioco a quiz undici concorrenti realizzano i seguenti punteggi. 9 Il prezzo di vendita di un divano è di 6. Calcola quanto è costato al rivenditore sapendo Punteggi che ha realizzato un utile del 8%. [ 69,] n. concorrenti 7 8 Per poter passare alla fase successiva occorre un punteggio di almeno 0. Qual è la percentuale di candidati che supera la prima selezione? [,%] Riscaldando una sbarra di alluminio, questa si allunga del e raggiunge una lunghezza di,6 m. Quanto era lunga inizialmente la sbarra? [,8 m] In una azienda il % è costituito da impiegati, il 0% da tecnici specializzati e infine vi sono 7 operai. Quanti sono gli impiegati e quanti i tecnici? [6; 8] 0 Un lettore di musica seleziona i brani da un archivio così composto: GENERE LINGUA Rock Folk Melodico Inglese Italiano 6 Spagnolo / Calcola la probabilità che venga eseguito un brano: a) folk; d) in inglese o in spagnolo; b) rock in inglese; e) melodico o rock in italiano. c) in inglese; [a) 0%; b) 0%; c) 0%; d) 6%; e) %] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

5 GLI INSIEMI E LA LOGICA Recupero L INTERSEZIONE E L UNIONE Dati gli insiemi A {x x N e x è divisore di } e B {x x N e x è divisore di 0}, rappresenta per elencazione gli insiemi A B e A B. A {,, } B {,,, } A B {, } A B {,,,, } Rappresenta A per elencazione. Rappresenta B per elencazione. Scrivi A B:l insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B. Scrivi AB, cioè l insieme degli elementi che appartengono ad A,oppure a B. Dati gli insiemi A {x x N e 7 x } e B {x x N, x è dispari e x 0}, determina gli insiemi A B e A B mediante la rappresentazione per elencazione. A {7,8,,, } B {,,,, } A B {, } A B {,,7,8,,,, }. 6 Dati gli insiemi A {x x è una lettera della parola «contadino»} e B {x x è una lettera della parola «appendino»}, determina A B e A B. Dai la rappresentazione per elencazione e mediante l opportuno diagramma di Eulero-Venn. Dati gli insiemi A {x, y, z}, B {x, y, z, t, v, u} e C {z, t, l, m}, determina: (A C) (B C) e (A C) (B C). Dati gli insiemi A {x x N e x è divisore di } e B {x x N e x }, determina A B e A B per elencazione. Dati gli insiemi A {x x Z e x } e B {x x N e x }, determina A B e A B per elencazione e mediante l opportuno diagramma di Eulero-Venn. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

6 I MONOMI E I POLINOMI Recupero LE ESPRESSIONI CON I POLINOMI x x y (x y). x x y (x y) x x x y x y y x x y x x y x y. Esegui la moltiplicazione. Somma i monomi simili. Elimina le parentesi tonde. Somma i monomi simili. (b b ) (b b ) b(b ). (b b ) (b b ) b(b ) b b b b b Semplifica le seguenti espressioni. (a b ) (b a) b( b) [ a 8b] 7 a a b a a b [a ab] a(a b) b(a b) 6b [a ] 8 [a (a )(a )] a(a ) [a a ] 6 b[a(a b) b(a b) a b ] [ab ] ab a b ab a b a b 9 0 (y ) (y ) y (y ) [ y ] (6x x ) (x )(x ) [x] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

7 I MONOMI E I POLINOMI Recupero I PRODOTTI NOTEVOLI (b )(b ) (b ). (b )(b ) (b ) (b ) (b b ) b b. Calcola il prodotto notevole e sviluppa il quadrato. Togli le parentesi cambiando i segni ai termini del secondo polinomio. Somma i termini simili o elimina gli opposti. (x a)(x a) (x a). (x a)(x a) (x a) (x a ) (x a ) x a x a (t ) (t t ). (t ) (t t ) (8t t ) [t t t t ( ) ( )] (8t t 6t ) (t t t t t) 8t t 6t t t t t t t t t 0t. Semplifica le seguenti espressioni utilizzando i prodotti notevoli. 6 (a b)(a b) [a b ] (a )(a ) [a ] a b a b b a 6b Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

8 I MONOMI E I POLINOMI Recupero (a b) [9a ab b ] (a b) ab a b ab [a b ] a ab b (a )(a ) (a ) [ 6a 8] (a ) (a )(a ) [a] (a b ) [a b 9 ab 6a b ] a ab b a b a a a b b a b a b ab a b 9 ab a b 8a 8 6a a (a b) [7a 8b a b 6ab ] a b 8 8 a b 7 a b ab (a b) (a b) 6ab [a ] (a a ) (a a ) [ a a ] (t ) ( t)( t) 0t [ t 0] (x ) (x )(x ) (x )(x ) [x x ] (a a ) (a ) a (a ) [a a ] (x ) (x x ) (x x ) [6x x ] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

9 I MONOMI E I POLINOMI Recupero LA DIVISIONE FRA POLINOMI CON LA REGOLA DI RUFFINI Esegui la seguente divisione, applicando la regola di Ruffini: (b b 6b ) (b ). (b b 6b ) (b ) Predisponi lo schema inserendo in alto solo i coefficienti del polinomio b b 6b, dopo aver notato che questo è completo e ordinato. Separa il termine noto. In basso a sinistra scrivi il termine noto di b cambiato di segno. 0 Abbassa il primo termine, cioè, e moltiplicalo per. Scrivi il risultato sotto al. Poi calcola la somma algebrica e scrivila in basso. Ripeti il procedimento sempre moltiplicando per. Q b b, La riga in basso rappresenta i coefficienti del quoziente Q. R. Il numero in basso a destra rappresenta il resto R della divisione. Esegui la seguente divisione, applicando la regola di Ruffini: (x x 6x ) (x ). (x x 6x ) (x ) Q x 9x ; R. 8 9 Esegui le seguenti divisioni di polinomi, applicando la regola di Ruffini. (a a ) (a ) [Q a 7, R 6] (t t t ) (t ) [Q t t t, R ] (x x 7) (x ) [Q x, R ] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

10 I MONOMI E I POLINOMI Recupero (x x x ) (x ) [Q x x, R ] (x x ) (x ) [Q x x x, R ] (a 6a a ) (a ) [Q a a a, R ] (b 7b b ) (b ) [Q b 6b b 7, R ] c c (c ) Q c c, R Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

11 LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero LA SCOMPOSIZIONE MEDIANTE RACCOGLIMENTO E PRODOTTI NOTEVOLI Scomponi il seguente polinomio: b b b. b b b b ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ). Raccogli parzialmente. Raccogli il fattore comune fra parentesi. Utilizza la differenza di quadrati. Scomponi il seguente polinomio, raccogliendo a fattor comune: a b 7ab. a b 7ab a (a ) a (a )(a ). la seguente tabella. POLINOMIO SCOMPOSIZIONE POLINOMIO SCOMPOSIZIONE x 9 (x )(x ) x y xy x y (x y ) a a (a ) y 8 (y )(y ) x x x (x ) x x 6 (x )(x ) la seguente tabella. POLINOMIO SCOMPOSIZIONE POLINOMIO SCOMPOSIZIONE 9x 8a ( a) 8 b 6b b ( ) x xy z y xz yz Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

12 LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero la seguente tabella. 6 9 a b a b a b 6 a ab b a b POLINOMIO a 6a 9 x x x a b ab a b x 7 x 0x [(x ) ] 9a ab b [(a b) ] a a [(a ) ] x x x 8 x 8 x y 7 x y x 6 xy 9 y x xy ay y a xa [(x y a) ] SCOMPOSIZIONE (a ) (x ) (a b ) (x )(x x ) x x (x )(x ) x x 6 Scomponi in fattori i seguenti polinomi. (x )(x ) x xy y 9 8 a 7 x y a a a 9 x [( x )(x x )] a 6a 8 [(a a 6)] x xy x 6y [(x y)(x 6)] a a a [a(a ) ] a a b a ab a b [(a b)(a ) ] a 6 [(a 6)(a 6)] a b 9 x xb b a 7 b a 7 b x b 6 a y b y [y(a b)(a ab b )] a a b 6a b [a (a b b )] a b a ab [( a)(a b)] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

13 LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero LE ESPRESSIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE x x x x x x. x x x x x x x x x x x( ) Campo di esistenza: x 0 x ; x 0; x 0 x (x )( ) x x x x ( ) Scomponi il denominatore x x e scrivi x come frazione. Determina le C.E. delle frazioni che compaiono. x x x x x( ) x x x x x( ) (x ) x x. x x( ) x Calcola i prodotti indicati ed elimina la parentesi tonda. Somma i termini simili nella prima frazione. Scomponi x x e semplifica i numeratori con i denominatori. a a. a a a a a a a a a a a a (a )(a ) C.E.: a a a 0 a a(a ) (a ) a (a )( ) a a a (a )( ) a a (a ) ( ) (a ) (a )( ) a. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

14 LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero x x x. x x x x x x x (x )(x ) x C.E.: x 0 x x 0 x (x )(x ) (x )(x ) x x x x (x )(x ) x x x (x )(x ) x (x )(x ) (x )(x ) x x (x )(x ). x x y (x x) (y ). x x y (x x) (y ) (x ) (y ) (y [(y )(y y )] ) (x ) (x ) (y ) (y ) x (y ) (y y ) (x ) C.E.: y x x (x ) x (y ) (y y ) (y ) (y ) (x ) (x ) (y )(y y ) x (y ) Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

15 LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE Recupero Semplifica le seguenti espressioni. b b b b ; b 0 b a ab a b a b 6 a ; a 0 b 0 b a b a b b a 7 6a b ; a 0 b x x x a a a a x x x x x a b a b b x x ; x x a ; a a a ; x x x a ; a 0 b 0 a b ab a a a a a ; a a 0 a a b a a a a b [a b; a 0 a b] a a ; a 0 a a a a a a [; a a ] a a a a ; a 0 a a a a a a a a a a [ a; a a 0] x y x y xy [(y x); x 0 y 0 x y] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

16 LE EQUAZIONI LINEARI Recupero LE EQUAZIONI NUMERICHE INTERE Risolvi la seguente equazione numerica intera: (x ) (x ) 6 x. x x 6 x m.c.m. (, ) x x 6 x 6 x x x 6 x Esegui le moltiplicazioni. Calcola il m.c.m. tra i denominatori. Elimina i denominatori moltiplicando i due membri dell equazione per il m.c.m. Applica la regola del trasporto. Riduci i termini simili. x equazione Determina la soluzione. Risolvi la seguente equazione numerica intera: x x (x )(x ) (x ) x ( x). x x 9x 9x 6x x x x x x x x x x x. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

17 LE EQUAZIONI LINEARI Recupero Risolvi le seguenti equazioni. (x ) 9 7(x ) [x 6] (x ) (x ) x (x ) ( x) x [x 0] [x ] (x ) ( x) (x ) [impossibile] (x )(x ) (x ) [x ] (x )(x ) (x ) 6x x ( x) x ( x) [indeterminata] [x(x ) (x ) ] (x ) [x ] (x )(x ) x (x ) x x [x (x ) (x ) ] (x ) [x ] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

18 LE EQUAZIONI LINEARI Recupero LE EQUAZIONI E I PROBLEMI Un numero è tale che il suo triplo diminuito di è uguale alla somma tra la sua metà e il suo successivo. Determina il numero. x numero x triplo del numero diminuito di Indica con x il numero. Scrivi le relazioni del problema. (x ) somma fra la metà del numero e il suo successivo x (x ) Scrivi l equazione risolvente. (x) ( ) (x ) 6x x Risolvi l equazione. 6x x x x Aggiungendo a un numero il suo triplo e sottraendo alla somma ottenuta la sua metà, si ottiene. Trova il numero. x numero x x x numero a cui hai aggiunto il suo triplo e sottratto la sua metà x x x x x x x x Risolvi i seguenti problemi. 6 7 Un numero è tale che il suo triplo diminuito di è uguale al doppio di 8. Determina il numero. [6] La somma di due numeri è e uno è la terza parte dell altro. Determina i due numeri. [; 9] Determina un numero naturale sapendo che il doppio del suo consecutivo è uguale al triplo del numero stesso. [] Un numero è tale che la sua quinta parte, aumentata di, è uguale alla sua metà diminuita di. [0] Determina due numeri sapendo che la loro differenza è e che il triplo del maggiore è uguale al quadruplo del minore. [8; 6] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

19 LE EQUAZIONI LINEARI Recupero In un numero di due cifre la cifra delle decine è il doppio di quella delle unità; scambiando le cifre si ottiene un nuovo numero che differisce dal primo di 9. Determina il numero. [] La somma di due numeri è 8 e la loro differenza è. Determina i due numeri. [8; 0] La differenza tra due numeri è 8. Sapendo che la quarta parte del maggiore è uguale alla terza parte del minore, determina i numeri. [; ] La somma di un numero con la sua metà divisa per il doppio del numero stesso diminuito di è uguale a.determina il numero. [] 6 In un numero di due cifre la cifra delle decine è ; scambiando di posto le cifre si ottiene un nuovo numero che supera il primo di 9. Determina il numero. [] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

20 LE EQUAZIONI LINEARI Recupero LE EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE Risolvi la seguente equazione fratta:. x 9 x x 6 x (x )( x ) (x )( x ) (x ) C.E. x x x x (x ) m.c.m. (x )(x )(x )(x ) (x )(x ) (x )(x )(x )(x ) (x )(x )(x )(x ) (x )(x ) (x )(x ) (x )(x )(x )(x ) Riscrivi l equazione scomponendo i denominatori mediante i prodotti notevoli (differenza di quadrati e trinomio particolare). (x )(x )(x )(x ) Poni le C.E. Calcola il m.c.m. Riduci le frazioni allo stesso denominatore e moltiplica per il m.c.m. (x ) (x x x ) (x ) Riconosci i due prodotti notevoli ed esegui la moltiplicazione tra i due binomi. x x x x x Esegui le moltiplicazioni. x x x x x Applica la regola del trasporto e somma i termini simili. x Dividi entrambi i membri per il coefficiente di x. x x Ricava x. Soluzione accettabile. Confronta la soluzione con le C.E. Risolvi la seguente equazione fratta: 6 x 8. x 9 x x 6x 8 (x )( x ) x x C.E.: x x Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

21 LE EQUAZIONI LINEARI Recupero m.c.m. (x )(x ) 6x 8( x ) (x ) (x )(x ) (x )(x ) ( x ) ( x ) (x ) (x ) 6x 8x x 6x 8x x x x soluzione non Risolvi le seguenti equazioni fratte. x x x x x x x x x x 6 x x x x 7 x x 8 (x ) x x x x x 9 x x x x 0 x x x x x x,accettabile [x 8, accettabile] x 8,accettabile x,accettabile x,accettabile [x, accettabile] [x, non accettabile] x,accettabile [x, non accettabile] Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

22 LE RELAZIONI E LE FUNZIONI Recupero IL GRAFICO DI UNA FUNZIONE DI PROPORZIONALITÀ Considera la tabella e stabilisci se i valori di x e y riportati sono direttamente proporzionali. In caso affermativo scrivi la funzione di proporzionalità diretta che lega x e y e tracciane il grafico. x 0 y 0 x 0 y 0 Considera il rapporto x y e completa la tabella relativa. x y x y y x y Hai trovato che è costante x y tranne per la coppia (0; 0) ed è x. Scrivi la funzione di proporzionalità diretta. y Traccia il grafico della funzione. x Considera la tabella e stabilisci se i valori di x e y riportati sono inversamente proporzionali. In caso affermativo, scrivi la funzione di proporzionalità inversa che lega x e y e tracciane il grafico. x y Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]

23 LE RELAZIONI E LE FUNZIONI Recupero x y x y x y ovvero y x y xy =... x Stabilisci se fra x e y nella tabella riportata c è proporzionalità inversa. In caso affermativo scrivi la funzione di proporzionalità inversa e tracciane il grafico. Stabilisci se fra x e y nella tabella riportata c è proporzionalità quadratica. In caso affermativo scrivi la funzione di proporzionalità quadratica e tracciane il grafico. x x 0 y y Stabilisci se x e y sono direttamente o inversamente proporzionali. Scrivi la funzione di proporzionalità che lega x e y. x 6 8 y 6 8 x e y sono inversamente proporzionali; xy 8 Stabilisci se fra x e y c è proporzionalità diretta, inversa o quadratica. Scrivi la funzione di proporzionalità che lega x e y e tracciane il grafico. x 0 y 0 x e y sono direttamente proporzionali; y x Stabilisci se fra x e y c è proporzionalità diretta, inversa o quadratica. Scrivi la funzione di proporzionalità che lega x e y e tracciane il grafico. x y 0 0 x e y sono inversamente proporzionali; xy Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [68 der]