Precorso di Matematica A. A. 2017/2018. Algebra

Transcript

1 Precorso di Matematica A. A. 017/018 Algebra 1

2 Monomi Monomio: espressione algebrica ottenuta come prodotto di fattori sia numerici sia letterali. Grado di un monomio rispetto ad una sua lettera: esponente col quale questa lettera figura nel monomio. Grado assoluto di un monomio: somma degli esponenti delle lettere che costituiscono la sua componente letterale. Esempio: il monomio 3 5 7a bc possiede grado assoluto 10, mentre ha grado tre in a, cinque in b edueinc. Monomio fratto (o frazionario): almeno una lettera è presente al denominatore: 7a b 4 c

3 Monomi Due monomi (interi o fratti) sono identici se hanno la stessa componente numerica e la stessa componente letterale; opposti se hanno la stessa componente letterale ma componente numerica opposta; simili se hanno la stessa componente letterale. Somma di due o più monomi simili monomio simile agli addendi, la cui componente numerica è la somma delle componenti numeriche degli addendi: 6abc 3abc 8abc 11abc

4 Monomi Prodotto di due o più monomi monomio la cui componente numerica è il prodotto delle componenti numeriche dei fattori e la cui componente letterale è il prodotto delle componenti letterali delle componenti: Reciproco di un monomio (indicato con l esponente -1) non nullo quel monomio che moltiplicato per il monomio dato ha per risultato uno: 4 4ab bc 8abc abd ac 4bcd 8abcd a b c 4 3ab c ab c 3

5 Monomi Quoziente di due monomi non nulli prodotto del primo per il reciproco del secondo (applicare le proprietà delle potenze): abcd : 6abc 5 4 8abcd 4ad ab c 3bc Due monomi sono divisibili l uno per l altro quando il risultato del loro quoziente dà come risultato un monomio intero (il primo monomio risulta quindi un multiplo del secondo): 6 abc : 3ab abc

6 Monomi La potenza (per un numero intero) di un monomio è un monomio ottenuto effettuando la potenza sia della parte numerica sia della parte letterale: Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più monomi è quel monomio di grado più alto divisore di tutti i monomi dati: Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più monomi è quel monomio di grado più basso multiplo di tutti i monomi dati. 6 abc 3 8abc M.C.D. 8,4, abc abc abc abc m.c.m. 8 abc,4 abc,16abc 16abc

7 Polinomi Un polinomio è un espressione algebrica (irriducibile) ottenuta sommando due o più monomi interi non simili. Un binomio (trinomio, quadrinomio, ecc ) è un polinomio costituito da due (tre, quattro, ) monomi. Il grado relativo di un polinomio rispetto ad una sua lettera è il massimo grado con cui compare questa lettera nel polinomio. Il grado assoluto di un polinomio rappresenta il grado del monomio di grado assoluto più elevato. 7

8 Polinomi 6abc 4abd bc Esempio: è un polinomio di grado assoluto 9, e di grado relativo 5 rispetto ad a, 5 rispetto a b, rispetto a c e 1 rispetto a d. Unpolinomiosidicefratto se è fratto almeno uno dei monomi che lo compongono. Esempio: x 4xy z z yz Polinomio in una sola lettera: si dà a tale lettera il nome di variabile. Un polinomio intero ad una sola lettera si dirà completo se contiene tutte le potenze di quella lettera dal grado più alto a quello nullo. 8

9 Polinomi Esempio: 3 7x 4x 5x11 Un polinomio intero si dice omogeneo se tutti i monomi che lo compongono hanno lo stesso grado. 3 Esempio: 5x y z xyz 6xz Somma di due polinomi: quel polinomio composto dai monomi che formano i polinomi addendi. I monomi simili possono essere semplificati utilizzando il procedimento visto per i monomi. Esempio: 6x yz4xy 3xy yz 6xyzxy yz

10 Polinomi Differenza di due polinomi: si somma al primo l opposto del secondo. Esempio: 6x yz4xy 3xy yz 6xyz7xy yz Prodotto di un polinomio per un monomio: polinomio ottenuto sommando i prodotti del monomio con ciascun monomio che costituisce il polinomio dato. Esempio: x y yz 3xy 6x y 3xy z

11 Polinomi Prodotto di due polinomi: si moltiplica ciascun monomio del primo per ciascun monomio del secondo e si sommano quindi i monomi ottenuti. Esempio: x yxz xz y x yz x y x z xy z 11

12 Polinomi Quoziente di un polinomio per un monomio: somma algebrica dei quozienti di ciascun monomio che costituisce il polinomio col monomio dato. Un polinomio intero è divisibile per un monomio intero se il polinomio quoziente è anch esso un polinomio intero. In tal caso il grado del polinomio quoziente è la differenza tra il grado del polinomio dividendo e il grado del monomio divisore. Esempio: 1 6xyz 8xyz 4xyz xy z x z x yz x y z

13 Polinomi Quoziente di due polinomi ad una sola variabile. Siano dati due polinomi ad una sola variabile x, il polinomio dividendo P ( di grado n ed il polinomio n x ) divisore S ( di grado m (con ). Si può dimostrare m x ) n m che esistono sempre, e sono unici, il polinomio quoziente Q ( ) di grado n-m ed il polinomio resto di nm x Rt ( x) grado t mtali che si abbia identicamente: Pn( x) Sm( x) Qnm( x) Rt( x) ossia: Pn( x) Rt( x) Qnm( x) S ( x) S ( x) m m 13

14 Polinomi Se il polinomio resto R è identicamente nullo diremo che il polinomio ( ) t ( x) P è divisibile per il polinomio. n x Sm( x) Si ha perciò: Pn ( x) Pn( x) Sm( x) Qnm( x) Qnm( x) Sm( x) Esempio: 4 3 x x 3x 8x 4 x x x

15 Polinomi (scomposizione) Se il polinomio P ( ) è divisibile per il binomio si n x x c avrà: P ( x) ( xc) Q ( x) n Valore del polinomio nel punto c: Pn() c ( cc) Qn 1() c 0 Qn 1() c 0 un tale punto si chiama radice (o zero ) del polinomio. n1 Trovare le radici del polinomio: P ( ) 0 n x 15

16 Polinomi (scomposizione) Polinomio di primo grado P( x) axb 1 unica radice b x a Polinomio di secondo grado ( ) posto tre casi possibili: 16 b 4ac P x ax bxc b 0 x1, P ( x) axx1 xx a b 0 x1 P( x) axx1 a 0nessuna radice reale (nessuna scomposizione)

17 Prodotti notevoli Quadrato di un binomio: ( x y) x xy y ( x y) x xy y Differenza di due quadrati: x y ( x y) ( x y) x y x y x y ( x y) ( x y) x y Quadrato di un trinomio: 4 4 ( x yz) x y z xyxzyz Cubo di un binomio: ( x y) x 3x y3xy y ( x y) x 3x y3xy y

18 Prodotti notevoli Differenza di due cubi: x y ( x y) x xy y 3 3 Somma di due cubi: x y ( x y) x xy y 3 3 Generalizzazione: x y ( x y) x x yx y xy y

19 Frazioni algebriche Si chiama frazione algebrica il rapporto di due espressioni algebriche, tali che la prima non sia divisibile per la seconda (con denominatore non nullo). Esempio: 4 4 a b 3 3 a b (non definita per a b). Dopo aver scomposto in fattori il numeratore ed il denominatore di una frazione algebrica, possiamo semplificare eventuali fattori comuni diremo che la frazione algebrica è ridotta ai minimi termini. 19

20 Frazioni algebriche Esempio: a b a bc a b a c ( ) 3 3 a ab a bcb c abc 4 a a b a cb c a c Per sommare (o sottrarre) due o più frazioni algebriche aventi lo stesso denominatore, dobbiamo sommare (o sottrarre) i numeratori lasciando inalterato il denominatore. Esempio: 3 3 abc b c abcb c b a b ab ab ab ab 0

21 Frazioni algebriche Se i denominatori sono diversi, dobbiamo ridurre le frazioni ai minimi termini e calcolare il minimo comune multiplo dei denominatori. Trasformiamo quindi ogni frazione algebrica in modo tale che ciascuna abbia come denominatore il m.c.m. Possiamo infine sommare come nel punto precedente. Esempio: 3 3 b a c b b a a b c b( ab) a b b ab b a b b a b b a b b a ab abc b c b a b 1 4 3

22 Frazioni algebriche Il prodotto di due frazioni algebriche è una nuova frazione algebrica il cui numeratore è il prodotto dei numeratori e il cui denominatore è il prodotto dei denominatori. Esempio: c ab abc a b ab a b La potenza (intera) di una frazione algebrica si ottiene elevando a quella potenza sia il numeratore sia il denominatore: Esempio: ab ab 3 3 a b a b

23 Frazioni algebriche Il reciproco di una frazione algebrica si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore (si richiede che anche il numeratore sia non nullo). Esempio: 1 ab c b c b c ab c Il quoziente di due frazioni algebriche si ottiene moltiplicando la prima per il reciproco della seconda. Esempio: a b ab a b c a b c : 4 3 bc c bc ab ab 3 3 3