Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino Università degli Studi di Torino Di.S.A.F.A.

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1 Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino Università degli Studi di Torino Di.S.A.F.A. Calcoli di ordini di grandezza Proporzioni ( 10.3 del testo) Percentuali ( 10.3 del testo) Monomi e polinomi ( 2.1 del testo) Oparazioni con i monomi ( 2.1 del testo) Operazioni coi polinomi ( 2.1, 2.2, 2.3 del testo) MATEMATICA CdS Scienze e Tecnologie Agrarie e Scienze Forestali ed Ambientali

2 M.M.Obertino Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie, Scienze Forestali ed Ambinetali Notazione scientifica La notazione scientifica è molto utile quando si deve operare con numeri molto grandi o molto piccoli (N.B. per le potenze di 10 valgono le proprietà delle potenze viste in precedenza): M terra = kg à Sposto di 24 posizioni verso sinistra la virgola à à M terra = kg M atomo idrogeno = kg à Sposto di 27 posizioni verso destra la virgola à à M atomo idrogeno = kg à M terra M atomo idrogeno = ( kg) ( kg) = = ( ) ( ) kg kg= kg 2

3 M.M.Obertino Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie, Scienze Forestali ed Ambinetali Calcoli con gli ordini di grandezza L ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 che meglio approssima quel numero. ESEMPIO: Durante un temporale cade 1 cm di pioggia, coprendo un area di circa 10 8 m 2. Quante gocce sono cadute? ü Volume di pioggia caduta: 10 8 m 2 x 10-2 m = 10 6 m 3 ü Volume di una goccia (raggio ~2 mm): 4/3 π R 3 ~4x(2x10-3 m) 3 ~30x10-9 m 3 ~3x10 x10-9 m 3 = 3 x10-8 m 3 ~10-8 m 3 ü Numero di gocce ~10 6 m 3 / 10-8 m 3 ~10 14 È una stima approssimata di un numero con un incertezza di un fattore 10 (... a meno di un fattore dieci oppure ordine di grandezza ) Utile per controllare il risultato di un esercizio

4 unita alla conoscenza delle proprietà delle potenze permette di eseguire velocemente operazioni complicate, con risultati esatti 0, , 0003 = 0, , 4 4 0, 0016 = Quindi la notazione scientifica = = [ ] -9 R [ R. 2,5] [ R. 0,2] o con risultati approssimati, ma non lontani dal risultato vero: [ ] 8 R. 5,6 10

5 Proporzioni Quattro grandezze A, B, C, D formano una proporzione se Estremo A e C à antecendenti A : B = C : D Medi A A : B = C : D equivale a? B = C D SI! Estremo B e D à conseguenti A D = B C? Si à proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi 58 : 29 = t : 9 29 t = 58 9 t =

6 Proporzioni: altre proprietà Proporzione à A : B = C : D Proprietà dell invertire B : A = D : C Permutazione dei medi A : C = B : D Permutazione degli estremi D : B = C : A Proprietà del comporre (A+B) : A = (C+D): C (A+B) : B = (C+D): D Proprietà dello scomporre (A-B) : A = (C-D): C (A-B) : B = (C-D): D

7 Esercizi sulle proporzioni 1. Uno studente di scienze agrarie vuole distribuire nel proprio orto un agrofarmaco. Quest ultimo è una polvere da miscelare in acqua. La confezione da 1 kg è sufficiente per preparare 1 hl di miscela, ma allo studente sono necessari solo 6 litri. Quanti grammi di agrofarmaco occorrono? 2. Uno studente di scienze forestali intende concimare il proprio prato inglese. La confezione di concime granulare che ha acquistato è da 5 kg e sull etichetta viene riportato che la dose corretta da distribuire è di 100 kg per ettaro. Quanti kg di concime devono essere distribuiti se il prato dello studente ha una superficie di 50 m 2? 3. Occorre somministrare un farmaco nella misura di 0.25μg ogni 5 kg di massa corporea del paziente. Quale dose va somministrata ad un paziente di 65 kg? 4. Mediante perfusione intravenosa vengono somministrate 50 gocce/min di soluzione fisiologica (20 gocce = 1mlitro). Dopo tre ore, quanti litri di soluzione sono stati somministrati?

8 Grandezze direttamente proporzionali Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se il loro rapporto si mantiene costante. y x = k La relazione di proporzionalità diretta è quindi descritta matematicamente dalla legge y = kx che nel piano cartesiano è rappresentata da una retta passante per l origine Date due grandezze direttamente proporzionali x e y che assumono valori (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ), valgono proporzioni del tipo: x 1 : y 1 = x 2 : y 2 o equivalenti (es. x 1 : x 2 = y 1 : y 2 ) y x

9 Grandezze inversamente proporzionali Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se il loro prodotto si mantiene costante. xy = k La relazione di proporzionalità inversa è descritta matematicamente dalla legge y = k x che nel piano cartesiano è rappresentata da una iperbole equilatera Date due grandezze inversamente proporzionali x e y che assumono valori (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ), è possibile impostare una proporzione? Si, ma attenzione: x 1 : x 2 = y 2 : y 1 à x 1 y 1 = x 2 y 2 y x

10 % x% x 100 = x 10 2 = x 0.01 Percentuale di una quantità Q Percentuali x% di Q = Q x 100 Esempio Una lega ferro-nichel è costituita (in peso) dal 64% di ferro e dal 36% di nichel. Calcola la quantità di ciascuno di tali elementi contenuta in una barra di massa 25.5 kg. Quantità di ferro: Quantità di nichel: 64% di 25.5 kg = % di 25.5 kg = =16.32 kg = 9.18 kg

11 Percentuali (II) La percentuale è una delle forme in cui possiamo esprimere un rapporto tra due grandezze. Regola pratica: per passare dal rapporto alla sua forma percentuale si moltiplica per 100 Es. In una soluzione di massa 75 g sono contenuti 9 g di un sale. Determinare la concentrazione del sale nella soluzione c = 9 g 75 g = %

12 Variazione percentuale La variazione percentuale di una grandezza x che ha come valore iniziale x i e valore finale x f è data da: Δx% = x f x i x i 100 Es1 Dato un flacone contenente 50 ml di soluzione, indicare la quantità di soluzione corrispondente a: 1. il 15% del contenuto del flacone: 2. il contenuto del flacone aumentato del 5%: 3. il contenuto del flacone diminuito del 7%: Es2. Un agricoltore sta essiccando 100 quintali di granella di mais. Al termine di tale processo la massa della granella è diminiuta del 10%. Determinare: a. la massa di granella che si ottiene alla fine del processo b. la massa di acqua evaporata

13 Monomio: una qualunque espressione algebrica che si presenta sotto forma di prodotto di fattori numerici e letterali (non compaioni somme algebriche!) Coefficiente Monomi 4 3 ab 3 Grado nella lettera b Parte letterale Grado di un monomio è la somma degli esponenti delle sue lettere (nell esempio 1+3=4) Monomi identici se hanno stesso coefficiente e stessa parte letterale a 3 b ; 4 a 6 b ; 0,6a Monomi simili se hanno la stessa parte letterale e diverso coefficiente a bc ; a bc ; 5,2a bc ;! 7 b ;

14 Il polinomio è una somma algebrica di più monomi non simili 2a 3b ; mn + 2n 4 ; 3ab 4a + 2b 9 binomio trinomio Polinomi Termini del polinomio: monomi che costituiscono il polinomio Grado del polinomio: il massimo dei gradi dei termini che lo costituiscono Grado dei termini Grado del polinomio: xy + 9x3 y + 2x 2 y xy4 3y 2 z Termine noto Polinomio omogeneo: tutti i termini del polinomio hanno lo stesso grado

15 Operazioni con i monomi (I) Somma e differenza tra monomi si possono sommare o sottrarre soltanto monomi simili la somma algebrica di più monomi simili è un monomio simile a quelli dati con coefficiente uguale alla somma algebrica dei coefficienti dei monomi addendi 1 2 xy2 + 2xy xyz 1 2 xy2 4ab 2 c ab2 c 2 3 ab2 c = 1 2 xy2 + ( )ab2 c = = xy2 + ( )ab 2 c = xy ab2 c Potenza di un monomio Si eleva a potenza ogni singolo fattore del monomio, sia numerico che letterale ( 3ab 2 c 3 ) 3 = ( 3) 3 a 3 (b 2 ) 3 (c 3 ) 3 = 27a 3 b 6 c 9

16 Operazioni con i monomi (II) Prodotto di monomi: è monomio avente: per coefficiente il prodotto dei coefficienti per parte letterale il prodotto delle parti letterali ( 4ab 2 c) (+ 3 4 a3 b) ( 5bc 2 ) = ( 4) (+ 3 4 ) ( 5) a a3 b 2 b b c c 2 = =15a 4 b 4 c 3 Divisione di monomi Q=A/B [B non nullo]: A è divisibile per B se e solo se contiene ogni lettera di B con esponente maggiore o uguale a quello con cui la stessa lettera compare in B Q ha per coefficiente il rapporto dei coefficienti e per parte letterale il rapporto delle parti letterali 12a 2 b 4 cd 3 5ab 2 d 3 = 12 5 a2 1 b 4 2 c d 3 3 = 12 5 a b2 c 4a 3 bc 4 3ab 2 d = 4 3 a3 1 b 1 2 c 4 d 1 = 4 3 a 2 c 4 bd Frazione algebrica!

17 Operazioni con i monomi (III) Massimo comune divisore (M.C.D.) Parte letterale: prodotto dei soli fattori comuni, presi con il minimo esponente Coefficiente: se i coefficienti dei monomi sono interi, si prende il loro M.C.D. con segno positivo; altrimenti si considera 1 16a 4 b 3 c 3 12a 2 b 4 c 8a 3 b 2 d 2 M.C.D. = 4a 2 b 2 Minimo comune multiplo (m.c.m.) Parte letterale: prodotto di tutti fattori comuni e non, presi con il massimo esponente Coefficiente: se i coefficienti dei monomi sono interi, si prende il loro m.c.m. con segno positivo; altrimenti si considera 1 2ab 3 c; 1 3 a2 bc 2 ; 4 5 a4 c 2 m.c.m. =1a 4 b 3 c 2 16= x2 2 8=2 3

18 a b + 2ab 5a b ab ( 2 ) ( 2 6ab 3a b)= 5 8a b 2ab 2 3 = ( 2 3) 2 3a bc = 5a 4 b 2 ( a 2 ) 2 + b5 ( a 2 ) 3 3(a 2 b) 3 5b3 b = 2 = Esercizi [ R ab a b] 2 2. = 2 [ ] 3 3 R. = 18a b R. = 4 a b 4 [ ] R. = 9a b c! R. = 1 $ " # 3 b2 % &

19 Operazioni con i polinomi (I) Addizione e sottrazione Si sommano algebricamente i termini simili. ( 5a 3 b + 3ab 2 8a 4 ) ( 7a 3 b + 2ab 2 3a 4 ) = = 5a 3 b + 7a 3 b + 3ab 2 2ab 2 8a 4 + 3a 4 = = 2a 3 b + ab 2 5a 4 Moltiplicazione Si moltiplica ciascun termine di un polinomio per ciascun termine dell altro. (2x 5y) ( 3x 2 + 2xy y 2 ) = = 2x ( 3x 2 + 2xy y 2 ) 5y ( 3x 2 + 2xy y 2 ) = = 6x 3 + 4x 2 y 2xy 2 +15x 2 y 10xy 2 + 5y 3 = = 6x 3 +19x 2 y 12xy 2 + 5y 3

20 Divisione di un polinomio per un monomio Il quoziente di un polinomio per un monomio è uguale alla somma algebrica dei quozienti di ciascun termine del polinomio per il monomio divisore. ( 8a 2 b 12ab 2 ) :( 4ab) = 8a2 b 4ab 12ab2 4ab = 2a 3b

21 Divisione tra due polinomi Dati due polinomi nella stessa lettera P(x) e D(x) di gradi n ed m, se n m esistono e sono univocamente determinati un polinimio q(x) di grado n-m un polinomio r(x) di grado t<m tali che P(x) = q(x)d(x) + r(x) Resto Dividendo Divisore Quoziente Se r(x) = 0 à P(x) è divisibile per D(x) e la divisione si dice esatta

22 Divisione tra due polinomi: procedimento P(x) : D(x) 1. Si ordinano i due polinomi P e D secondo le potenze decrescenti di una lettera, indicando con 0 ogni grado mancante in P 2. Si divide il termine di grado massimo di P per il termine di grado massimo D, ottenendo il primo termine del quoziente 3. Si moltiplica il divisore D per il primo termine del quoziente e si sottrae quanto ottenuto dal dividendo à primo resto parziale 4. Se il grado del resto parziale è maggiore o uguale a quello del divisore D si continua la divisione assumendo come dividendo il resto parziale 5. Esempi: (3x 4 10x 3 5x 2 +11x +10) : (3x + 2) (14a 2 + 6a 3 7) : (2a 2 + 4a 5)