1 Le espressioni algebriche letterali

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Biaggio Ferrari
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1 1 Le espressioni algebriche letterali DEFINIZIONE. Chiamiamo espressione algebrica letterale un insieme di numeri, rappresentati anche da lettere, legati uno all altro da segni di operazione. ESEMPI 2a 3x Si legge <<due a meno tre x>> 5ax 2a Si legge <<cinque ax più due a>> Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 92 1

In un monomio è possibile distinguere una parte numerica, chiamata coefficiente, e una parte letterale.

2 2 I monomi DEFINIZIONE. Si chiama monomio un espressione letterale in cui i numeri e le lettere sono legati tra loro solamente dalle operazioni di moltiplicazione. In un monomio è possibile distinguere una parte numerica, chiamata coefficiente, e una parte letterale. parte letterale parte letterale parte letterale 5ab 1 4 a2 b 2 c 2 ab coefficiente coefficiente REGOLA. Se in un monomio non figura alcun coefficiente si considera come coefficiente: il numero +1 se il monomio è preceduto dal segno più; il numero 1 se il monomio è preceduto dal segno meno. Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 94 2

3 2 I monomi DEFINIZIONI. due monomi si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale, ovvero le stesse lettere con gli stessi esponenti; due monomi si dicono opposti quando sono simili ed hanno coefficienti opposti; due monomi si dicono uguali quando sono simili ed hanno lo stesso coefficiente. DEFINIZIONE. Il grado di un monomio rispetto ad una sua lettera è l esponente con cui questa vi figura. DEFINIZIONE. Il grado complessivo di un monomio è la somma degli esponenti delle varie lettere che in esso figurano. Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 94 3

4 3 L addizione algebrica di monomi REGOLA. La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio simile ai monomi dati avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti dei monomi simili. Se i monomi non sono simili la somma algebrica si lascia indicata. 8a 2 b 2 c ab 4a2 b 2 c ab 8 4 a 2 b 2 c ab 4 12a 2 b 2 c ab Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 96 4

5 4 La moltiplicazione di monomi Prima di eseguire la moltiplicazione di due monomi è utile ricordare che: PROPRIETÀ. Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. a 3 a 2 a a a 6 PROPRIETÀ. Il prodotto di due o più monomi è un monomio avente: per coefficiente, il prodotto dei coefficienti; per parte letterale, tutte le lettere presenti nei vari monomi, ciascuna scritta una sola volta e con esponente uguale alla somma degli esponenti della stessa lettera. 3a 2 b 2 c 2ac 4a 2 b a b 2 1 c a 5 b 3 c 2 Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 97 5

6 5 La divisione di monomi Prima di eseguire la divisione di due monomi è utile ricordare che: PROPRIETÀ. Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. a 5 : a 2 : a a a 2 PROPRIETÀ. Il quoziente di due monomi, di cui il secondo non nullo, è un monomio avente: per coefficiente, il quoziente fra i coefficienti; per parte letterale, tutte le lettere presenti nel dividendo, ciascuna scritta una sola volta e con esponente uguale alla differenza tra gli esponenti della stessa lettera che compaiono nel dividendo e nel divisore. 15a 5 b 4 c : 3a 3 b 2 15 : 3 a 5 3 b 4 2 c 1 0 5a 2 b 2 c Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 98 6

7 6 La potenza di un monomio Prima di eseguire la potenza di un monomio è utile ricordare che: DEFINIZIONE. Si dice potenza di un monomio il prodotto di tanti monomi, tutti uguali al monomio dato, detto base, quanti ne indica l esponente. 2ab 2 2ab 2ab 4a 2 b 2 REGOLA. La potenza di un monomio è un monomio avente: per coefficiente, il coefficiente elevato all esponente della potenza; per parte letterale, tutte le lettere aventi ognuna per esponente il prodotto tra il proprio esponente e quello della potenza. Area 1 - Capitolo 2 - PAG

7 I polinomi DEFINIZIONE. Il polinomio è la somma algebrica di più monomi non simili tra loro. Un polinomio che non contiene termini simili si dice ridotto. 3ab 2b ac DEFINIZIONE.

8 7 I polinomi DEFINIZIONE. Il polinomio è la somma algebrica di più monomi non simili tra loro. Un polinomio che non contiene termini simili si dice ridotto. 3ab 2b ac DEFINIZIONE. Si dice grado relativo di un polinomio rispetto ad una lettera il massimo esponente con cui quella lettera compare nel polinomio. Il maggiore fra i gradi dei monomi che costituiscono un polinomio rappresenta il grado complessivo del polinomio. 4a 2 bc 2 a 3 b 2 c 2 3a 2 bc 3 Il grado relativo rispetto alla lettera a è 3 Il grado relativo rispetto alla lettera b è 2 Il grado relativo rispetto alla lettera c è 3 Il grado complessivo del polinomio è 7 Area 1 - Capitolo 2 - PAG

9 7 I polinomi DEFINIZIONE. Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti (o crescenti) di una lettera, quando gli esponenti della lettera stessa si succedono in modo decrescente (o crescente). 3x 5 y 5x 2 y 3xy 7 Ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera x. DEFINIZIONE. Un polinomio si dice completo rispetto ad una lettera quando essa vi compare con tutte le potenze, da quella con esponente maggiore a quella con esponente di grado zero. 2a a3 b a 2 b ab3 5 4 b4 Completo rispetto alle lettere a e b. DEFINIZIONE. Un polinomio si dice omogeneo quando tutti i suoi termini hanno lo stesso grado. 2a 2 b 2 c 3 4 ab2 c a2 bc a3 b 2 Omogeneo di quinto grado. Area 1 - Capitolo 2 - PAG

8 L addizione algebrica di polinomi Vogliamo risolvere l espressione a 2 1 ab 5b3 2 5 3 a2 4 3

del calcolo dei monomi: a 2 1 2 ab 5b3 5 3 a2 4 3 ab 1 5 b3 3 5 a2 1 ab b3 6 Si esegue la somma

10 8 L addizione algebrica di polinomi Vogliamo risolvere l espressione a 2 1 ab 5b a2 4 3 ab 1 5 b3 3 5 a2 1 ab b3 6 Si tolgono le parentesi utilizzando le regole dei numeri relativi e del calcolo dei monomi: a ab 5b3 5 3 a2 4 3 ab 1 5 b3 3 5 a2 1 ab b3 6 Si esegue la somma algebrica degli eventuali termini simili: 1 15 a ab 3 5 b3 Area 1 - Capitolo 2 - PAG

11 9 La moltiplicazione di un polinomio per un monomio REGOLA. Per moltiplicare un polinomio per un monomio basta moltiplicare ciascun termine del polinomio per il monomio. ab 2 c 3a 2 b 4 5 bc 5ac ab 2 c 5ac 3a 2 b 5ac 4 5 bc 5ac 5a 2 b 2 c 2 15a 3 bc 4abc 2 Area 1 - Capitolo 2 - PAG

12 9 La moltiplicazione di due polinomi REGOLA. Per moltiplicare due polinomi si moltiplica ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo e si esegue quindi la somma algebrica dei prodotti ottenuti. 5 4 a2 b 3 2 ac a2 c 8 5 b2 c a2 b 3 a2 c 8 5 b2 c 3 2 ac a2 c 8 5 b2 c a2 b 3 a2 c 5 4 a2b 8 5 b2c 3 2 ac a2 c 3 2 ac b2c 5 3 a4 bc 2a 2 b 3 c 2a 3 c ab2 c 3 Area 1 - Capitolo 2 - PAG

13 10 La divisione di un polinomio per un monomio REGOLA. Per dividere un polinomio per un monomio non nullo si divide ciascun termine del polinomio per il monomio. 10a 3 b 5 c 15a 2 b 3 c 4 20a 4 b 3 c 5 : 5a 2 b 2 c 10a 3 b 5 c : 5a 2 b 2 c 15a 2 b 3 c 4 : 5a 2 b 2 c 20a 4 b 3 c 5 : 5a 2 b 2 c 2ab 3 3bc 3 4a 2 bc 4 Area 1 - Capitolo 2 - PAG

14 11 I prodotti notevoli Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza 2x 3y 2x 3y 4x 2 6xy 6xy 9y 2 4x 2 9y 2 REGOLA. Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale alla differenza tra il quadrato del primo monomio e il quadrato del secondo monomio. In simboli: a b a b a 2 b 2 Area 1 - Capitolo 2 - PAG

15 11 I prodotti notevoli Il quadrato di un binomio 2a 3b 2 2a 3b 2a 3b 4a 2 6ab 6ab 9b 2 4a 2 12ab 9b 2 REGOLA. Il quadrato di un binomio è uguale alla somma algebrica del quadrato del primo monomio, con il doppio prodotto del primo monomio per il secondo, con il quadrato del secondo monomio. a b 2 a 2 2ab b 2 Area 1 - Capitolo 2 - PAG

16 11 I prodotti notevoli Il cubo di un binomio 2a b 2 2a b 2a b 3 4a 2 4ab b 2 2a b 8a 3 4a 2 b 8a 2 b 4ab 2 2ab 2 b 3 REGOLA. Il cubo di un binomio è uguale alla somma algebrica del cubo del primo monomio, con il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo monomio, con il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo monomio, con il cubo del secondo monomio. 8a 3 12a 2 b 6ab 2 b 3 a b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 Area 1 - Capitolo 2 - PAG

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