Introduzione alla Matematica per le Scienze Sociali - parte II

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1 Introduzione alla Matematica per le Scienze Sociali - parte II Lucrezia Fanti Istituto Nazionale per l Analisi delle Politiche Pubbliche (INAPP) lucrezia.fanti@uniroma1.it Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 1 / 27

2 Sommario 1 Regole algebriche e identità 2 Le equazioni matematiche 3 La sommatoria 4 Alcuni elementi di logica 5 Cenni di teoria degli insiemi; la corrispondenza biunivoca 6 Gli intervalli come sottoinsiemi della retta reale 7 Elementi di teoria degli insiemi 8 Il prodotto cartesiano 9 Il sistema ortogonale di coordinate cartesiane Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 2 / 27

3 I polinomi Si chiama polinomio la somma algebrica di due o monomi (termini del polinomio). Se il polinomio contiene monomi simili, questi si sommano e il polinomio che otteniamo si dice ridotto a forma normale. Il grado di un polinomio rispetto ad una lettera è il maggiore tra tutti gli esponenti con cui la lettera compare nei vari termini del polinomio. Il grado complessivo, o semplicemente il grado di un polinomio ridotto è il maggiore tra i gradi dei monomi che compongono il polinomio. Il termine noto di un polinomio è il termine di grado zero, ossia quello in cui non compare alcuna lettera (non è detto che ci sia). Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 3 / 27

4 I polinomi Un polinomio di dice: ordinato rispetto ad una lettera se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera risultino in ordine crescente o decrescente; omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado; completo rispetto ad una lettera se nei suoi termini compaiono tutte le potenze di tale lettera, da quella di grado massimo a quella di grado zero. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 4 / 27

5 Regole algebriche a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a a + ( a) = 0 ab = ba (ab)c = a(bc) 1 a = a aa 1 = 1 per a 0 ( a)b = a( b) = ab ( a)( b) = ab a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 5 / 27

6 Identità algebriche Un identità è un uguaglianza tra due espressioni letterali, che è verificata sempre a prescindere dal valore attribuito alle lettere che vi compaiono. In un identità l espressione a sinistra dell uguale è chiamata primo membro, mentre quella a destra dell uguale è chiamata secondo membro. Importante ricordare le seguenti identità quadratiche : (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) = a 2 b 2 Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 6 / 27

7 Espressioni algebriche Sono espressioni in cui compaiono, oltre o accanto a dei numeri, delle lettere. In un espressione algebrica i numeri sono detti coefficienti numerici. Se in un espressione algebrica abbia dei termini che differiscono solo per il coefficiente numerico, allora sono detto termini dello stesso tipo e possiamo raggrupparli. Esempio: 3xy 5x 2 y 3 + 2xy + 6y 3 x 2 3x + 5yx + 8 = Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 7 / 27

8 Espressioni algebriche Sono espressioni in cui compaiono, oltre o accanto a dei numeri, delle lettere. In un espressione algebrica i numeri sono detti coefficienti numerici. Se in un espressione algebrica abbia dei termini che differiscono solo per il coefficiente numerico, allora sono detto termini dello stesso tipo e possiamo raggrupparli. Esempio: 3xy 5x 2 y 3 + 2xy + 6y 3 x 2 3x + 5yx + 8 = x 2 y xy 3x + 8 Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 7 / 27

9 Frazioni: alcune regole ac bc = a b a b = ( a) 1 ( b) 1 = a b a b = ( 1) a b = ( 1)a a c + b c = a+b c a b + c d = a d+b c b d a + b c = a c+b c a b c = a b c a b c d = a c b d a b : c d = a b d c = a d b c b = a b Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 8 / 27

10 Le equazioni matematiche Un equazione è una frase aperta, ossia un uguaglianza tra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale (incognita), che risulta verificata solo per particolari valori numerici attribuiti alle incognite. Dunque, risolvere l equazione significa determinare i valori che la trasformano in una proposizione vera, ossia il valore numerico (soluzione) che sostituito all incognita rende vera l uguaglianza. L insieme in cui andiamo a cercare le soluzioni dell equazione si chiama dominio. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 9 / 27

11 Risolvere le equazioni Esempio: 3x + 10 = x + 4 Isoliamo l incognita x con il metodo delle equazioni equivalenti, per ottenere le quali occorre eseguire le seguenti operazioni su entrambi i membri: sommare (o sottrarre) lo stesso numero; moltiplicare (o dividere) per lo stesso numero 0 Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 10 / 27

12 Equazioni parametriche Equazioni lineari in due variabili x e y. y = ax + b con a, b R che sono i parametri dell equazione. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 11 / 27

13 Equazioni lineari in due incognite Esempio: 2x + 3y = 18 3x 4y = 7 Dobbiamo trovare quei valori di x e y che soddisfano entrambe le equazioni del sistema. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 12 / 27

14 Equazioni lineari in due incognite Esempio: 2x + 3y = 18 3x 4y = 7 Dobbiamo trovare quei valori di x e y che soddisfano entrambe le equazioni del sistema. Risolvo una delle due equazioni per una delle due variabili in funzione dell altra; sostituiamo nell altra equazione e troviamo la variabile rimasta incognita. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 12 / 27

15 Il simbolo di sommatoria Il simbolo di sommatoria ci consente di indicare in modo sintetico la somma di più elementi: posso scriverlo come N 1 + N 2 + N N n n i=1 Questa notazione ci dice che stiamo sommando tutti i termini che si ottengono sostituendo i numeri interi in sequenza al posto di i (detto indice di somma) a partire da i = 1 fino a i = n. N i Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 13 / 27

16 Il simbolo di sommatoria Esempio: la numerosità della popolazione in 6 regioni appartenenti ad un determinato Stato: 6 Al posto di i ( variabile muta ) potrei trovare qualsiasi altra lettera. Esempio: n oppure i=1 k=1 n j=1 N i N k N j Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 14 / 27

17 Il simbolo di sommatoria Ad esempio, la media aritmetica (o media) µ x di T numeri x 1, x 2... x T è data dalla loro somma, divisa per il numero dei termini T. Ossia scriviamo µ x = 1 T x i T i=1 Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 15 / 27

18 Regole per la sommatoria Regola di additività: n (a i + b i ) = i=1 n a i + n i=1 i=1 b i Regola di omogeneità: n ca i = c n i=1 i=1 a i Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 16 / 27

19 Alcuni elementi di logica Proposizioni: affermazioni che possono essere vere o false. Implicazioni: per tenere traccia di ogni passo in una sequenza di un ragionamento logico, spesso ci si avvale di frecce di implicazione. Esempio: P Q Questa notazione indica che P e Q sono due proposizioni tali che, ogni volta che P risulta vera, allora Q è necessariamente vera. Quindi si legge se P, allora Q P è condizione sufficiente per Q; Q è condizione necessaria per P. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 17 / 27

20 Alcuni elementi di logica Se P Q e Q P allora possiamo scrivere entrambe le implicazioni insieme in un unica equivalenza logica: P Q Il simbolo indica la freccia di equivalenza e si legge P se e solo se Q. P è condizione necessaria e sufficiente per Q. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 18 / 27

21 Disuguaglianze Come sappiamo, i numeri reali comprendono i numeri negativi, lo zero ed i numeri positivi. Se a è un numero positivo, scriveremo a > 0 (oppure 0 < a). se a > 0 e b > 0 a + b > 0 e a b > 0 In generale: a > b a b > 0 a b a b 0 a > b a + c > b + c, c Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 19 / 27

22 Disuguaglianze a > b e b > c a > c a > b e c > 0 ac > bc a > b e c < 0 ac < bc a > b e c < d a + c < b + d Le stesse proprietà sono valide anche in caso di disuguaglianza debole (ossia con e ). Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 20 / 27

23 Gli intervalli come sottoinsiemi della retta reale Notazione Nome Condizioni sulle x (a, b) intervallo aperto da a a b a < x < b [a, b] intervallo chiuso da a a b a x b (a, b] intervallo semiaperto da a a b a < x b [a, b) intervallo semichiuso da a a b a x < b Possiamo avere anche intervalli che indicano insiemi numerici illimitati: [a, ) = tutti i numeri x, con x a (, b) = tutti i numeri x, con x < b Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 21 / 27

24 Elementi di teoria degli insiemi Insieme: collezione di oggetti definititi elementi, o membri. Rappresentazione: grafica (Eulero-Venn), per elencazione, per caratteristica. Vedi slide parte I. Insiemi finiti e infiniti (impossibile rappresentazione per elencazione). Esempio insieme infinito: insieme di bilancio. B = {(x, y) : px + qy m, x 0, y 0} Dati due insiemi A e B, diciamo che A è sottoinsieme di B, ossia A B, se è vero che ogni elemento di A è anche un elemento di B. Diciamo che A = B se e solo se A B e B A. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 22 / 27

25 Operazioni tra insiemi Notazione Nome L insieme consiste degli elementi che: A B A unione B appartengono ad A o B A B A intersezione B appartengono sia ad A che a B A \ B A differenza B appartengono ad A, ma non a B Dunque abbiamo: A B = {x : x A o x B} A B = {x : x A e x B} A \ B = {x : x A e x / B} Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 23 / 27

26 Il prodotto cartesiano Prodotto cartesiano di due insiemi A e B è un insieme che ha per elementi tutte le possibili coppie ordinate degli elementi di A e di B, ossia (a, b) con a A e b B: A B = {(a, b) : a A e b B} Il primo elemento della coppia, a, si chiama prima coordinata; il secondo elemento della coppia, b, si chiama seconda coordinata. Il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa: A B B A Il prodotto cartesiano di un insieme A per l insieme vuoto è uguale all insieme vuoto. A = A = Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 24 / 27

27 Il prodotto cartesiano e la sua rappresentazione Il prodotto cartesiano tra n copie di un insieme A è chiamato potenza cartesiana e viene indicato con A n. Esempio: A = {1, 2, 3} e B = {a, b} Rappresentazione per elencazione: A B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}; rappresentazione grafica (Eulero-Venn); rappresentazione tramite diagramma cartesiano. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 25 / 27

28 Il sistema ortogonale di coordinate cartesiane Il piano cartesiano è costruito come prodotto cartesiano R R di due copie della retta reale R. Lo spazio tridimensionale è dato dalla potenza cartesiana R 3 ossia dal prodotto cartesiano di tre copie della retta reale. In generale, lo spazio n-dimensionale è dato dalla potenza cartesiana R n, che rappresenta lo spazio delle n-ple di numeri reali come prodotto cartesiano tra n copie di R. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 26 / 27

29 Il sistema ortogonale di coordinate cartesiane Il piano cartesiano è un sistema di riferimento basato sulle coordinate cartesiane, in cui ciascun punto è definito da coppia ordinata di numeri reali: detti ascissa e ordinata. Abbiamo un sistema di coordinate (x, y) nel piano, e possiamo rappresentare un qualsiasi punto del piano cartesiano mediante una coppia ordinata di numeri reali x P, y P R: P = (x P, y P ) chiamate coordinate cartesiane del punto P. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 27 / 27