5, x, y, z, 4 , 0, 1,

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1 APO ANELLO DEI POLINOMI In questa unità didattica saranno introdotti i polinomi sul campo dei numeri razionali. Tuttavia, quello che diremo, si applicherà perfettamente ai polinomi su un qualsiasi campo K di infiniti elementi, come il campo dei numeri reali o il campo dei numeri complessi che studieremo in seguito.. Definizione di polinomio Si suole chiamare espressione atomica ogni espressione formata da un solo numero razionale relativo, oppure da una sola lettera, come:,, 0,,, x, y, z, Le espressioni atomiche e le espressione ottenute da queste mediante addizione, sottrazione, moltiplicazione su ed elevamento a potenza con esponente intero non negativo, si dicono polinomi su. In particolare, 0 si dice polinomio nullo e si dice polinomio unità. Le lettere che figurano in un polinomio prendono il nome di variabili. ESEMPI L'espressione ( xy x ) ( x + y ) Le espressioni x y + è un polinomio su nelle variabili x e y. + x, x + y, x xy, non sono polinomi. Due polinomi si dicono uguali se sono ottenuti l'uno dall'altro mediante l'applicazione, anche ripetuta, degli otto assiomi che definiscono la struttura algebrica di anello commutativo. Detti assiomi, e i teoremi che se ne deducono, vengono chiamati, nell'attuale contesto, proprie tà formali del calcolo letterale. ESEMPI Possiamo scrivere:. (x + y) = (x) + (y) = ( )x + ( )y = 6x + y. abbiamo applicato le proprietà distributiva e associativa della moltiplicazione.. a (x + y) = a (x) + a (y) = ax + ay. qui abbiamo applicato anche la proprietà commutativa della moltiplicazione.. (x y) = (x) (y) = 6x y. qui siamo ricorsi anche alle regole dei segni.. (a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d) = ac + a(d) + (b)c + (b) (d) = = ac + ad + bc + 6bd. qui la proprietà distributiva è stata applicata due volte, e sono state applicate le proprietà associativa e commutativa della moltiplicazione. Come si vede dagli esempi, mediante successive applicazioni delle proprietà formali, un polinomio si può sempre scrivere come somma di prodotti di un elemento di per alcune variabili (eventualmente ripetute e quindi scritte come potenze). Ognuno di questi prodotti si dice un monomio o termine del polinomio. L'elemento di si dice coefficiente del monomio, mentre il prodotto delle variabili ne costituisce la parte let terale.

2 ESEMPI Per il polinomio A = (x + y) (x z) + x, si ha successivamente: A = x (x z) + y(x z) + x = x x z + yx yz + x = x x z + xy yz. I monomi o termini che compongono A sono: x (coefficiente: ; parte letterale: x ); x z (coefficiente: ; parte letterale x z); xy (coefficiente: ; parte letterale: xy ); yz (coefficiente: ; parte letterale: yz ). Due monomi con la stessa parte letterale si dicono simili. Due (o più) monomi simili si possono sommare, ottenendo un solo monomio. Ad esempio, nel calcolo appe na eseguito, abbiamo compiuto il passaggio: x + x = x avvalendoci della proprietà distributiva: x + x = ( + ) x = x. Ogni polinomio si può allora scrivere come somma di monomi tutti dissimili fra loro. Quando si presenta così, si suole dire che il polinomio è ridotto a forma canonica (o forma normale). In particolare, se un polinomio ridotto a forma canonica è la somma di due, tre o quattro monomi non nulli, si parla rispettivamente di binomio, trinomio o quadrinomio. Da ora in avanti supponiamo sempre che il polinomio di cui si tratta sia ridotto a forma canonica. Si dice grado di un monomio, non nullo, la somma degli esponenti con cui compaiono le varia bili; si dice grado di un polinomio il maggiore dei gradi dei monomi che lo compongono. ESEMPI I monomi xy, xy z, 7xyz, Il polinomio xy + xy z + 7xyz + ha grado. hanno grado rispettivamente,,, 0. Un polinomio si dice: omogeneo, se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado; ordinato secondo le potenze decrescenti oppure crescenti di una variabile, a seconda che l'esponente di detta variabile decresca oppure cresca passando da un termine del polinomio al successivo; completo rispetto a una variabile, se detta va riabile presenta tutti gli esponenti, dal massimo a zero. ESEMPI Il trinomio x y x y + xy è omogeneo di grado. Il trinomio x y + 6x y x y è ordinato secondo le potenze decrescenti di x. Il quadrinomio x xy + 7x y y è completo rispetto alla variabile x. Il trinomio x + xy + y è omogeneo, ordinato secondo le potenze decrescenti di x e crescenti di y, completo rispetto ad entrambe le variabili. Nel seguito, indicheremo con [x] l'insieme dei polinomi su nella (sola) variabile x, con [x, y] l'insieme dei polinomi su nelle variabili x, y, ecc. Poiché eseguendo le operazioni di addizione e moltiplicazione su elementi di [x] si ottengono elementi di [x] e valgono gli otto assiomi che definiscono la struttura algebrica di anello commutativo, possiamo affer mare che: [x] è un anello commutativo. Di più, [x] è un dominio d'integrità, perché in, come sappiamo, vale la legge d'annullamento del prodot to. Chiameremo [x] anello dei polinomi su nella variabile x. Analogamente [x, y] sarà l'anello dei polinomi su nelle variabili x, y, ecc.

3 EP APO / Dati i monomi simili A = a bc, B = a bc, C = a bc, calcola: () A + B C () A B + C () (A B C) () A (B + C). Dati i binomi A = ab ac, B = 6 ac ab, C = ab + 9 ac, calcola: () A B () A + C () A + B C () A ( B + C ). Calcola i seguenti prodotti: () () a b 6 a b x yz ( xy z) (6) () ab ( 7 a b ) () x y x () abc ( a b ) x ( xy ) (7) xy ( xy ) () a ( a b) ( ab ). 9 Calcola le seguenti potenze: () (xy ) () ( x y) () ( xy ) () ( a b ) () ( a b c) (6) [( ab ) 0 ] (7) ( a b) () ( a b ). Indica il grado dei seguenti polinomi ridotti a forma canonica: (), () xy, () x + y, () ab c, () x + x x + x, (6) x y + xy, (7) x y 9 xy z 6 x z, () x y x y + y. 6 Riduci i seguenti polinomi a forma canonica: () ( a a + ) + (a + a ) () (7x x 6x) + ( x + 9x + x + ) () (a + b) (a b) + (a b) (a b) () (y x) + (x y + 7) + (x 7) () (ax + by + cz ) + (ax by cz + ) (ax ) (6) (xy + y y) + (x xy y ) + (x + y) (7) (a + ab + b ) + ( a + ab 9b 7ab) 7 Riduci i seguenti polinomi a forma canonica: () (x x + ) (x + x ) + (x x ). () a(a b) () (a + )a () ab(a b ) () (a x)( a ) () x(x ) (6) ( x + y + xy y )( xy) (7) a(a b) b(a b) 6a(a b) Riduci i seguenti polinomi a forma canonica: () ab (a ab b ) ab(a b ab 6b ). () (a + b)(a b) () (a b)( a + b) () (x )(x + ) () (a + )(a ) () ( a )(a + b) (6) ( a + )(b ) (7) (a b)(a b) () (x )( x + ). 9 Riduci i seguenti polinomi a forma canonica: () (x + x )( x) () (x + x + )(x ) () (x )(x + x + ) () (xy )(xy + x ) () (ab b )(a ab + b ) (6) (x + x y y )(y x ) (7) (9x + x )(x + ) () ( a b a )(a b ).

4 0 Riduci i seguenti polinomi a forma canonica e ordina secondo le potenze decrescenti di x. () x(x )(x + ) () (x )(x + )( x) () ( x)(x )(x+) () (x + )(x + )( x) () (x + )( x ) + (x )(x + ) + 6 (6) (x )(x + ) (x )(x + ) (x 9) (7) (x + x + )(x x ) () (x x + )(x + ) (x + )(x x + ) (9) (x x + )(x x + ) (0) (x xy + y )(x xy y ). Calcola i seguenti quadrati di binomi. () (a + b) () (a + ) () (a + b) () ( a ) () (a b) (6) ( x y) (7) ( x) () ( x + y) (9) ( a b) (0) (ab a ) () ( a b + a) () ( xy y). Calcola i seguenti cubi di binomi. () (x + y) () (x y) () ( + x) () (x y) () ( xy ) (6) (x ) (7) ( a + a) () ( a ) (9) (x + ) (0) ( ab) () ( x ) () ( a + b ). Riduci i seguenti polinomi a forma canonica e ordina secondo le potenze decrescenti di x. () ( + x) ( x) + (x ) () (x y) (x y) + (x y)(x + y) () (x + y) xy(x y) () (x ) + (x + ) (x ) (x + ). Dati due monomi A e B qualsiasi, è sempre (A + B ) (A B ) = A B. Tenendo presente questo prodotto notevole, calcola: () (a + b)(a b) () (a + )(a ) () ( x y)( + y) () ( a + b)( a b) () (x x )(x + y ) (6) ( + x y )( x y ). Riduci i seguenti polinomi a forma canonica. () (a ) + (a )(a + ) ( a + )( a ) + a () (x y)(x + y) + (x y) (y x) () (a + b) + ( a + b) b (a + b) () (a )(a + )(a + ) (a ) (a ). In tutti gli esercizi precedenti si è richiesto di ridurre un polinomio assegnato a forma canonica. Si parla allora di sviluppare il polinomio. Spesso però si deve procedere in senso inverso, cioè si deve trasformare un polinomio in un prodotto di polinomi: si dice allora che si vuole fattorizzare il polinomio. Diciamo subito però che, mentre è sempre possibile sviluppare un polinomio, non sem pre è possibile fattorizzarlo in modo significativo. Non esistendo un metodo generale per fattorizzare un polinomio, iniziamo con i metodi basati sul la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, chiamati: raccoglimento totale (a fattore comune), raccoglimento parziale (a fattore comune).

5 Il raccoglimento totale consiste nel raccogliere il polinomio costituito dai fattori comuni, numerici e letterali, con il minimo esponente, chiamato Massimo Comune Divisore (M.C.D.) dei termini del polinomio. Ad esempio, dato il polinomio A = x y 0x y + x y, raccogliendo x y, si ha: A = x y(x y + ). 6 Fattorizza i seguenti polinomi mediante raccoglimento totale. () a x 6ax () x y 6xy + 9x y () a b ab + 0a b () a a b + ab () a + a b ab (6) a x + ax axy (7) x x + 6x () x(a + b) 6(a + b) (9) (x + y) x(x + y) (0) 7a(a + b) a(a + b). A volte, il polinomio dato non ha alcun fattore comune a tutti i suoi termini, cosicché non è possi bile raccogliere totalmente. Può accadere però che, raccogliendo parzialmente, ossia racco gliendo fattori comuni solo ad alcuni termini, si riesca, in un secondo tempo, a raccogliere total mente, e quindi a conseguire lo scopo di fattorizzare il polinomio. Ad esempio, dato il polinomio A = ax + bx + ay + by, poiché non è possibile raccogliere total mente, raccogliamo parzialmente il fattore x, tra i primi due termini, e il fattore y, tra gli ultimi due: A = x(a + b) + y(a + b). Ora possiamo raccogliere totalmente il fattore comune (a + b): A = (a + b)(x + y). 7 Fattorizza i seguenti polinomi mediante raccoglimenti parziali. () a + ax x () ab 6b + a a () 6ax + b x a b () 6ax + xy + ay + 6x () ax + bx + a + b + a + ab (6) ax + a x (7) x + x + x + x () ax xy + ab by (9) 6a x abx + a y aby (0) x + 0x y 60x y 0xy. Ogni polinomio che si possa mettere nella forma A B si dice differenza di due quadrati. In base a un noto prodotto notevole, la differenza di due quadrati è fattorizzabile nel prodotto: (A + B ) (A B ). Fattorizza le seguenti differenze di due quadrati. () a () 6 b () x 9y () x () y 9y (6) x (7) a b ab () a a (9) (a + ) (x ) (0) (x ) y. I polinomi che si possono mettere nelle forme A + B, A B si dicono, rispettivamente, som ma di due cubi e differenza di due cubi. La somma di due cubi è fattorizzabile nel prodotto (A + B) (A AB + B ); la differenza di due cubi è fattorizzabile nel prodotto (A B) (A + AB + B ). 9 Fattorizza le seguenti somme o differenze di due cubi. () 7x + a () a b () x 6 + 7y () x () a b ab (6) a + (7) 6x x () x 6a xy (9) (x ) + y (0) x + x(x + ).

6 6 Ogni trinomio che si possa mettere in una delle forme A + AB + B, A AB + B si dice sviluppo del quadrato di un binomio ed è fattorizzabile ricorrendo alle note formule: A + AB + B = (A + B), A AB + B = (A B). 0 Fattorizza i seguenti trinomi, sviluppi di quadrati di binomi. () a 6ab + 9b () 6x xy + 9y () + a + a () x 0x + () x + ax + 6a (6) 9 a + ab + b (7) a a b + ab () x + a x + ax Vogliamo fattorizzare un trinomio di grado del tipo A = x + sx + p, che non sia lo sviluppo del quadrato di un binomio. A tal fine, si cercano due numeri a e b tali che: a + b = s a b = p. Nell'eventualità che questi numeri esistano e che si riesca a determinarli, si ha successivamente: A = x + sx + p = x + (a + b)x + ab = x + ax + bx + ab = x(x + a) + b(x + a) = (x + a)(x + b). x + sx + p = (x + a)(x + b). Fattorizza i seguenti trinomi di secondo grado. () x + x () x 7x + 0 () x 0x + 6 () x + x () x x 6 (6) x + x + (7) x + x () x x. Ogni quadrinomio che si possa mettere in una delle forme: A + A B + AB + B, A A B + AB B si dice sviluppo del cubo di un binomio ed è fattorizzabile ricorrendo alle note formule: A + A B + AB + B = (A + B), A A B + AB B = (A B). Fattorizza i seguenti quadrinomi, sviluppi di cubi di binomi. () x + 6x y + xy + 7y () a 9 7b 9a 6 b + 7a b () a + 6a a () a + 9a b + 9a b + ab. Fattorizza i seguenti polinomi ricorrendo, a seconda dei casi, ai diversi metodi suggeriti nelle pagine precedenti. () a a b () ab a () (a + b) () a + a () (a + b)a + (a + b) (6) 7x 7 (7) a b () a a + 6 (9) x 0x + (0) x y 0a () y x + x () x 7 6x + x () x (x + y) () x () x(x ) (x ) (6) 0a b + 0ab 0b (7) 6b 7b + () 7x y + 9x y (9) a x + a x (0) a 6 + () ab + + a + b () ab 0ab + b () 7x xy () a x + a x () x x 6 (6) x + x + 9 x y (7) x + x(x ) () (x ) x x (9) x + x 9x 9 (0) x x x + () a a a + () x + x x () ax a + bx + b () (x 9) x 6x 9 () a 6 + 7a (6) ax a bx + b (7) a 7 a + a () 7a a (9) 9a ax 9b + bx (0) a 6 a + a.

7 7. La divisione con resto fra polinomi Vogliamo introdurre nell'anello [x] l'algoritmo della divisione con resto. Vale, a questo proposito, il seguente teorema che ci limitiamo ad enunciare. Siano A, B [x] con B 0, e sia grado A grado B. Allora esistono due e due soli polinomi Q, R [x] tali che: A = B Q + R dove grado R < grado B. I polinomi A, B, Q e R si dicono rispettivamente dividendo, divisore, quoziente e resto della divisione di A per B. Quando R = 0, si dice che A divisibile per B e Q è il loro quoziente esatto. Per determinare i polinomi Q e R utilizziamo un algoritmo simile a quello che si impiega quando si dividono due numeri interi con le regole dell'aritmetica. ESEMPIO Siano A = 6x + x 7 e B = + x + x.. Disponiamo A e B come nella configurazione seguente: 6x + x + 0x 7 x + x A e B devono essere ordinati secondo le potenze decrescenti di x. A va completato dei termini eventual mente mancanti.. Dividiamo il primo termine di A, ossia 6x, per il primo termine di B, ossia x, ottenendo così il primo termine di Q, ossia x: 6x + x + 0x 7 x + x x. Calcoliamo x B e, successivamente, A x B, ottenendo il primo resto parziale, R = x + x 7: 6x + x + 0x 7 x + x 6x + 9x x x + x 7 x. Dividiamo il primo termine di R per il primo termine di B, ottenendo il secondo termine di Q, ossia : 6x + x + 0x 7 x + x 6x + 9x x x + x 7 x + In questo caso, al semplice scopo di far tornare il teorema enunciato, al polinomio nullo possiamo attribuire come grado un qualsiasi intero negativo.

8 . Calcoliamo B e, successivamente, R B, ottenendo il binomio R = essendo di grado minore del grado di B, è il resto della divisione. x + che, 6x + x + 0x 7 x + x 6x + 9x x x + x 7 x + 9 x x + x + L'algoritmo termina quando il grado del resto R è minore di quello del divisore B. Osserviamo che: grado Q = grado A grado B. Q = x +, R = x +. VERIFICA: B Q + R = (x + x )(x + ) + x + = = 6x + x + 9x 9 + x x + x + = 6x + x 7 = A. EP APO / Esegui le seguenti divisioni in [x] e controlla la correttezza dei risultati effettuando la verifica. () (x + x x + ) : (x x + ) () (x x ) : ( x) () (x x 7) : ( x + x ) () (x 6x x + ) : (x x + ) () (x 9x + x ) : (x + x ) (6) (x x + ) : (x x + ) (7) (6x x + x ) : (x ) () (x 6x x + ) : (x x + ). Esegui le seguenti divisioni in [x] considerando la lettera a come una costante. () (x ax + a x 6a ) : ( x ax a ) () (x ax + 7a x a ) : (x a) () (x ax a x + 6a x) : (x ax) () (x 6 a ) : (x + a ).. La regola di Ruffini Un caso molto importante è quello in cui si vuole dividere un polinomio A [x] per un binomio del tipo B = x α, dove α, chiamato binomio lineare monico. «Lineare» significa «di primo grado»; il termine «monico» indica che la variabile x «ha coefficiente». In questo caso, il resto deve avere grado < e perciò non è altro che una costante k, eventualmente nulla: A = (x α) Q + k ESEMPIO Siano A = x x + e B = x (qui α = ). A tal fine, applicando l'algoritmo di divisione studiato nel paragrafo precedente, si trova: Q = x + 0x + 7, R =. A questi stessi risultati si può pervenire utilizzando un nuovo algoritmo, sostanzialmente equivalente a quello generale, ma molto più rapido e schematico, chiamato regola di Ruffini. Questo, come abbiamo premesso, è applicabile solo nel caso in cui il divisore è un binomio lineare monico.

9 9 ESEMPIO Siano A = x x + e B = x (qui α =, vedi esempio precedente).. Disponiamo i coefficienti di A e il numero α (opposto del termine di grado zero di B) come nella configurazione seguente: 0 A deve essere ordinato secondo le po tenze decrescenti di x e completato dei termini eventualmente mancanti.. Abbassiamo il primo coefficiente di A, ossia, al di sotto della linea orizzontale. Tale numero è anche il primo coefficiente di Q. 0. Moltiplichiamo α per questo primo coefficiente, cioè facciamo, e scriviamo il prodotto ottenuto sotto il secondo coefficiente di A, ossia sotto lo zero: 0 0. Addizioniamo il secondo coefficiente di A, lo zero, al prodotto appena calcolato, 0, e scriviamo la somma ottenuta sotto la linea orizzontale. Moltiplichiamo nuovamente α per tale somma, cioè facciamo 0,, ripetendo ciclicamente le istruzioni precedenti sino a completare il prospetto numerico: I numeri, 0, 7 sono i coefficienti di Q; è il resto Poiché il quoziente Q deve avere grado (in quanto si è diviso un polinomio di grado per un binomio di grado ), possiamo concludere che Q = x + 0x + 7, R =. EP APO / Esegui le seguenti divisioni in [x] mediante la regola di Ruffini. () (7x x + ) : (x ) () (x x + x ) : (x ) () ( x + 7x ) : (x + ) () (x 6 x + x 6x + ) : (x + ) () (x x x + x ) : (x + ) (6) (x 6x + x 6):(x ) (7) (0 x + 6x + x ):(x + 6) () ( x + x x + ):(x ). Esegui le seguenti divisioni in [x] mediante la regola di Ruffini (con a costante arbitraria). () (x ax 7a x + 6a ) : (x + a) () (x ax a x + 6a ) : (x a).