Sco c mp m osiz i i z o i ne e d ei e i p oli l n i omi C sa s v uol d ire r e sc s o c mp m orr r e r e un polinomi m o?

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Romeo Pinto
7 anni fa
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1 Scomposizione dei polinomi Cosa vuol dire scomporre un polinomio? Scomporre un polinomio significa trasformare il polinomio dato nel prodotto di più polinomi e/o monomi di grado inferiore al polinomio dato. Scomporre in fattori un polinomio significa determinare opportuni polinomi, diversi da 1, che, moltiplicati tra loro, diano come prodotto il polinomio stesso. 1

2 La scomposizione di un polinomio in fattori è un operazione del tutto simile alla scomposizione in fattori di un numero naturale. Scomporre in fattori un numero significa scriverlo come prodotto di altri numeri. Per esempio: 15 = 5 * 3 fattori 5 * 3 è una scomposizione in fattori di 15 Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo come prodotto di polinomi aventi grado inferiore. Per esempio: x 2 1 = (x 1 )(x + 1) fattori (x 1 )(x + 1) è una scomposizione in fattori di x 2 1 Che cosa significa scomporre un polinomio? Un polinomio si dice riducibile se si può scomporre, si dice irriducibile se la fattorizzazione non è possibile. 2

3 Come si scompone un polinomio? Un polinomio si scompone per tentativi. Il primo tentativo che si cerca sempre di fare è il raccoglimento totale. Il raccoglimento totale Per moltiplicare un monomio per un polinomio, applichiamo la proprietà distributiva e moltiplichiamo il monomio per ciascun termine del polinomio. Se tutti i termini di un polinomio hanno un fattore in comune, possiamo scomporre il polinomio applicando la proprietà distributiva al contrario. 3

4 Il raccoglimento totale Quando si applica questo procedimento, detto raccoglimento totale, si dice che il fattore comune è stato raccolto o messo in evidenza. Esempio : Moltiplicazione 2x(3x+1)= =2x*3x+2x*1= 6x 2 +2x Scomposizione 6x 2 +2x= =2x*3x+2x*1= =2x(3x+1) Cioè si vede se i termini del polinomio contengono un fattore comune (ossia il loro M.C.D.) e quindi lo si raccoglie. Il raccoglimento totale Una tecnica base per scomporre un polinomio è quella di raccogliere il massimo comune divisore fra i termini del polinomio ed utilizzando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione lo mettiamo in evidenza. Per mettere in evidenza il M.C.D. procediamo in questo modo: - lo portiamo fuori dalla parentesi; - dividiamo per esso ogni monomio dell espressione, ottenendo così una nuova espressione in parentesi. 4

5 Scomponiamo in fattori i seguenti polinomi effettuando dei raccoglimenti totali. 18x 2 y+12x = =6x(3xy+2) Il M.C.D. (18x 2 y ; 12x)è 6x ora mettiamo il M.C.D. in evidenza e lo dividiamo per ogni termine del polinomio. 20x 4 +30x 2 y 3-40x 3 y= =10x 2 (2x 2 +3y 3-4xy) 4ab-4a-8ab 3 = =4a(b 1 2b 3 ) Il M.C.D.(20x 4 ;30x 2 y 3-40x 3 y)è 10x 2 ora mettiamo il M.C.D. in evidenza e lo dividiamo per ogni termine del polinomio. Il M.C.D.(4ab ;- 4a ; - 8ab 3 )è 4a ora mettiamo il M.C.D. in evidenza e lo dividiamo per ogni termine del polinomio. Scomponiamo in fattori i seguenti polinomi effettuando dei raccoglimenti totali. Negli esempi precedenti abbiamo raccolto fra i termini del polinomio originario, un monomio; a volte può capitare di raccogliere anche un polinomio. Come per esempio: x(2a-3b)-4y(2a-3b)= (2a-3b)(x-4y) I due termini del polinomio hanno in comune il fattore (2a-3b) raccogliendo (2a-3b) 15xy 2 (4a-3b)-20xz 3 (4a-3b)= 5x(4a-3b)(3y 2-4z 3 ) I due termini del polinomio hanno in comune il fattore 5x(4a-3b) raccogliendolo 5

6 Il raccoglimento parziale Consideriamo ora il polinomio : ax+ay+2x+2y= Non c è un divisore (diverso dall unità) comune a tutti i suoi termini, quindi non è possibile effettuare un raccoglimento totale. Possiamo, però, osservare che i primi due termini hanno in comune il fattore a e gli ultimi due hanno in comune il fattore 2 tra gli ultimi due. Il raccoglimento parziale Possiamo quindi operare un raccoglimento tra i primi due termini e a(x+y)+2(x+y)= Questi raccoglimenti non essendo stati effettuati fra tutti i termini del polinomio ma solo fra alcuni, vengono chiamati raccoglimenti parziali. Nel polinomio ottenuto, tra i due termini c è ancora un fattore in comune (x+y) quindi dobbiamo effettuare un raccoglimento totale : (x+y)(a+2) 6

7 Attenzione! Non ci sono regole precise per scegliere fra quali termini eseguire i raccoglimenti parziali ma bisogna sempre tener presente l obiettivo finale: i raccoglimenti parziali vanno effettuati in modo da consentire, successivamente, un raccoglimento totale. Scomponiamo i seguenti polinomi i effettuando dei raccoglimenti parziali. x 2 -xy+5x-5y= = x(x-y)+5(x-y)= = (x-y)(x+5) I primi due termini hanno in comune il fattore x e gli ultimi due il fattore 5 Dopo aver fatto i raccoglimenti parziali è necessario il raccoglimento totale del fattore (x-y) x 2-2x-x+2= = x(x-2)-1(x-2)= = (x-2)(x-1) I primi due termini hanno in comune il fattore x e gli ultimi due sembrerebbe che a priva vista non abbiano in comune nulla se noi raccogliamo il fattore -1 possiamo fare il raccoglimento totale del fattore (x-2) 7

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