Esercizi e soluzioni relativi al Capitolo 10

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1 Esercizi e soluzioni relativi al Capitolo 1 Esercizio 1.1 Sia (Mat 2 2 (R), +, ) l anello delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali. [ Gli ] elementi unitari sono tutte e sole le matrici del tipo a b con ad bc. c d Gli elementi unitari di un anello sono gli elementi invertibili: poichè nel caso delle matrici quadrate, in particolare per le matrici di Mat 2 2 (R), una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è, segue la tesi. Esercizio 9.2 Dire se sono vere o false le seguenti affermazioni: (mod8); (mod14);. ( 5) 4 7(mod12). 1. Poichè 15 1(mod8), segue che ( 1) 55 1(mod8) e quindi l affermazione è falsa. 2. Poichè φ(14) = φ(2 )φ(1) = 4 12 = 48 e M.C.D(11, 14) = 1, per il Teorema di Eulero-Fermat (1., pag 11), segue che la proprietà è vera.. Poichè ( 5) 2 = 25 1(mod12) si ha che ( 5) 4 ( 5) 42 ( 5) 1 ( 5) 7(mod12), e quindi la relazione è vera. Esercizio Determinare M.C.D.( a(x), b(x)), ove a(x) = x 4 2x + x 2 + x 1 e b(x) = x 5 ( in R[x]). Dall esercizio 1.8 si ha che a(x) = b(x)( 1 x 2 ) + x2 + 8 x 1. Procediamo con le divisioni successive, determinando q 2 (x) ed r 2 (x) tali che : b(x) = (x x 1 )q 2(x) + r 2 (x). 1

2 x 5 x x 1. x 8x 2 +1x x 8 8x 2 +1x 5 8x x 14 1 x 119 Otteniamo q 2 (x) = x 8 e r 2 (x) = 1 x 119, e quindi x 5 = (x x 1 1 )(x 8) + x 119 Effettuiamo ora la successiva divisione: x x 1 = ( 1 x 119 )q (x) + r (x) : x x 1 1 x 119 x x 1 x x x Si ottiene quindi che l ultimo resto non nullo è sono primi fra loro. Esercizio e quindi i due polinomi Determinare un M.C.D.(c(x), d(x)) ove c(x) = x +x 2 +x+1 e d(x) = x 2 2 (in Z 5 [x]). Nell esercizio 1.8 abbiamo trovato quoziente e resto della divisione di c(x) per d(x), cioè x + x 2 + x + 1 = (x 2 2)(x + 1) +. Possiamo quindi concludere che l ultimo resto non nullo è e quindi M.C.D.(c(x), d(x)) = ovvero i due polinomi sono coprimi. Esercizio 1.4. Determinare un M.C.D.(f(x), g(x)) ove f(x) = x 4 + x e g(x) = x 2 (in Z 7 [x]). Ancora, utilizzando i calcoli fatti in 1.8 si ha che Proseguiamo nelle divisioni. x 4 + x = (x 2)(5x) + x 2 + x + 1. x 2 x 2 +x +1 x 9x 2 x x 9 9x 2 x 2 9x 2 +27x x +7 2

3 Otteniamo: x 2 = (x 2 + x + 1)(x 9) + 24x + 7 = (x 2 + x + 1)(x 2) + x (I coefficienti sono in Z 7 ). Poichè il resto è un polinomio di primo grado, dobbiamo effettuare ancora una divisione e precisamente dobbiamo dividere (x 2 + x + 1) per x; otteniamo: x 2 +x +1 x 15x 2 5x +1 x +1 x +1 e quindi x 2 + x + 1 = x(5x + 1) + 1. Poichè l ultimo resto non nullo è un polinomio di grado zero, i due polinomi sono primi fra loro. Esercizio Siano a(x) = x 4 +x 2 +2x+1 e b(x) = x 4 due polinomi di Z 7. Determinare il loro M.C.D. monico ed esprimerlo come combinazione lineare di a(x) e b(x). Operiamo le divisioni: a. x 4 +x 2 +2x +1 x 4 x 4 +4x x +x 2 +6x +1 Si ottiene: x 4 + x 2 + 2x + 1 = (x 4)x + x 2 + 6x + 1. b. x 4 x 2 +6x +1 15x x 2 5x 5x +4 +5x 2 5x 4 12x 2 24x 4 x 1 Si ottiene x 4 = (x 2 + 6x + 1)(5x + 4) x 1. Infine:

4 c. x 2 +6x +1 x 1 -x 2 x x +x +1 x 2 E quindi si ha: x 2 + 6x + 1 = ( x 1)( x ) 2 = (x + 1)(x + ) 2 Quindi i due polinomi sono coprimi. Esprimiamo questo M.C.D. come loro combinazione lineare: dal punto c. si ottiene 2 = x 2 + 6x + 1 (x + )(x + 1) ( ) dal punto b. si ha: x + 1 = (x 2 + 6x + 1)(5x ) (x 4) = (x 2 + 6x + 1)(5x ) b(x); sostituendo nella ( ) si ottiene 2 = x 2 + 6x + 1 (x + ) [ (x 2 + 6x + 1)(5x ) b(x) ] = (x 2 + 6x + 1) [1 (x + )(5x )] + b(x)(x + ); infine, sostituendo da a. si ricava 2 = a(x)(6x 2 + x + ) + b(x)(x x 2 + ). Per ottenere 1 espresso come combinazione di a(x) e di b(x), basta moltiplicare entrambi i membri dell espressione per l inverso dell elemento 2, che, in Z 7 è. 2. In R[x] si considerino i polinomi f(x) = x 4 + x 12x 6 e g(x) = x 2 9. Decomporre f(x) e g(x) nel prodotto di polinomi irriducibili in R[x] e detrrminare un loro M.C.D. Poichè g(x) = x 2 9 = (x )(x + ), cominciamo a verificare se anche f(x) è divisibile per (x ) e/o per (x + ), applicando il teorema di Ruffini. f() = = f( ) = ( ) =. Il polinomio f(x) è quindi divisibile per (x + ). Operando la divisione otteniamo: x 4 +x 12x 6 = (x+)(x 12) = (x+)(x 12)(x x+ (12) 2 ). Poichè il polinomio di secondo grado che compare nella fattorizzazione è irriducibile, segue che M.C.D.(f(x), g(x)) = (x + ). 4

5 . Dati i polinomi f(x) = x x e g(x) = x 7 x in Z 7, determinarne le radici. f(x) = x(x 2 1) = x(x 1)(x + 1), g(x) = x(x 6 1) = x(x 1)(x + 1) = x(x 1)(x 2 + x + 1)(x + 8) = x((x 1)(x 2 + x + 1)(x + 2)(x 2 2x + 4). Ora resta da vedere se h(x) = (x 2 + x + 1) e k(x) = (x 2 2x + 4) sono irriducibili in Z 7. Essendo i polinomi h(x) e k(x) di grado 2, si può osservare che o essi sono irriducibili, oppure devono essere decomponibili nel prodotto di due polinomi di primo grado e quindi, per il teorema di Ruffini, devono ammettere una radice. Poichè il campo Z 7 è finito basta calcolare h(α) e k(α) α Z 7 ; se non ci sono radici, per il discorso precedente sulla riducibilità dei polinomi di grado due, essi saranno irriducibili. h() = 1, h(1) =, h(2) = 7 = (in Z 7 ) (x 2) h(x) e precisamente h(x) = (x 2)(x 4) (infatti h(4) = 21 = in Z 7 ). k() = 4, k(1) =, k(2) = 4, k() = 7 = : quindi anche k(x) è riducibile in Z 7. Cerchiamo l altra radice: k(5) = k( 2), k(6) = k( 1) =. Pertanto si può concludere che: g(x) = x(x 1)(x 2)(x 4)(x + 2)(x + 1)(x ). 4. Sia K un campo e siano f(x) e g(x) due polinomi coprimi in K[x]. Si provi che f(x) e g(x) non hanno radici in comune. Se per assurdo avessero una radice α K in comune, sarebbero entrambi divisibili per (x α) e quindi il loro M.C.D., dovendo essere divisibile per (x α), avrebbe grado almeno 1 e questo contrasta con la definizione di polinomi coprimi (cfr. Definizione 1.1 pag. 12 del testo). 5