NUMERI COMPLESSI ED EQUAZIONI ALGEBRICHE

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1 NUMERI COMPLESSI ED EQUAZIONI ALGEBRICHE. Esercizi Esercizio. Scrivere la forma algebrica, la forma trigonometrica e quella esponenziale dei seguenti numeri complessi: z = + i, z = (cos( π ) + i sin(π )), z = ei π 6, z4 = i, z =, z 6 = 4(cos(π) + i sin(π)), z 7 = e i π, z8 = 4(cos( π 4 ) + i sin(π 4 )), z 9 = e i 7π. Esercizio. Calcolare il valore delle seguenti espressioni: () +i i ( + i)( + i) + ; i +i ( () + i ) ( ) 6 + i +i i ; () i( + i) + ( + i) + ( + i)( + i). Esercizio. Calcolare le radici terze dei seguenti numeri complessi: z = i; z = 8; z = 8; z 4 = i. Esercizio 4. Determinare tutti i numeri complessi che verificano le seguenti condizioni: Re(z 4.)Re(z( + i)) + zz = 0 4.) ) + Im(z( + i)) = arg(z) = π Re(z) = 0 4.) zz = 4 4.4)Im(( i)z) =. Esercizio. Risolvere in C le equazioni P (z) = 0, dove.)p (z) = z iz + i;.)p (z) = z z + z ;.)P (z) = z 4z + z. Esercizio 6. Determinare il valore di a in modo che il polinomio P (z) = z z +z ++a abbia z = i come radice. Per questo valore di a decomporre P (z) in fattori irriducibili sia in R, sia in C. Esercizio 7. Una delle radici quarte di z = 4 è il numero complesso w = + i. () i è una radice quarta di z; () i è una radice quarta di z; () z non ha radici quarte perché negativo; (4) le altre radici sono i vertici di un triangolo equilatero. Esercizio 8. Sia z = a + ib un numero complesso. Allora: () zz è un numero reale negativo; () Re(z + z) = 0; () Im(z z) = 0; (4) Im(z + z) = 0.

2 NUMERI COMPLESSI ED EQUAZIONI ALGEBRICHE Esercizio 9. I numeri complessi che verificano le condizioni zz Re(z( i)) = /4 arg(z) = π/4 sono () di moduli diversi; () ; () ; (4) nessuno. Esercizio 0. Il polinomio P (z) = z + z + () è irriducibile su C; () è irriducibile su R; () ha solo radici reali; (4) ha + i come radice. Esercizio. Il polinomio P (z) = z + z + ha + i come radice. Allora () ha i come radice; () ha + i come radice; () ha i come radice; (4) non ha altre radici complesse. Esercizio. I numeri complessi z che verificano la condizione z = formano una circonferenza di centro l origine e raggio. (V) (F) Esercizio. Dati due numeri complessi qualsiasi z e z, si ha che Re(z + z ) = Re(z ) + Re(z ). (V ) (F ) Im(z z ) = Im(z )Im(z ). (V ) (F ). Soluzioni di alcuni esercizi Soluzione dell Esercizio. Ricordiamo che, se z = a+ib è un numero complesso non nullo in forma algebrica, allora z = a + b ed il suo argomento φ verifica le due equazioni trigonometriche sin φ = b, cos φ = a. Quindi la forma trigonometrica di z è z z z = z (cos φ + i sin φ). L identità di Eulero afferma che e iφ = cos φ + i sin φ e quindi la forma esponenziale di z è z = z e iφ. Viceversa, se z = ρ(cos φ + i sin φ) con ρ > 0 è un numero complesso in forma trigonometrica, ovvero z = ρe iφ è lo stesso numero in forma esponenziale, allora la sua forma algebrica si scrive come z = Re(z) + iim(z) dove Re(z) = ρ cos φ, Im(z) = ρ sin φ. Il modulo di z = + i è z = + =. Il suo argomento si calcola dalle due equazioni trigonometriche sin φ = /, cos φ = /. Abbiamo allora φ = π/4+kπ, k Z. Scelto k = 0, la forma trigonometrica di z abbiamo z = ( cos π + i sin ) π 4 4. La forma esponenziale di z è z = e i π 4. La forma esponenziale di z è z = e i π, mentre la parte reale ed immaginaria di z sono Re(z ) = cos π =, e Im(z ) = sin π =. Quindi, la forma algebrica di z è z = + i. ( La forma trigonometrica di z è z = cos π + i sin ) π 6 6. La parte reale ed immaginaria di z sono rispettivamente Re(z ) = cos π =, e Im(z 6 ) = sin π =. Quindi, la 6 forma algebrica di z è z = + i.

3 Gli altri si trattano analogamente. NUMERI COMPLESSI ED EQUAZIONI ALGEBRICHE Soluzione dell Esercizio. () Calcoliamo la forma algebrica dei vari addendi dell espressione, essendo tale forma la piădatta per effettuare la somma. + i i = + i + i i + i = ( + i) = i = i. ( + i)( + i) = + i + 4i 4 = + 6i. i + i = i i + i i = i i = 4i = i. Quindi, ( l espressione si riscrive come i ( + 6i) + ( i) = 7i. () + i ) = e i π. Quindi, ( ) + i = e i π = cos π + i sin π = i. ( ) Analogamente, i = e i π 4 e quindi ( i ) 6 = e i π = i. + i i = + i i i i = i + = i. L espressione allora diventa i i + i = i. () Abbiamo che i( + i) = i = i. ( + i) = ( i) = 9i + i = 8i. ( + i)( + i) = ( + i)( i) =. L espressione si semplifica allora come i 8i + = 0i. Soluzione dell Esercizio. Le radici n esime del numero complesso z = z e iφ sono i numeri complessi w h = n z e i φ+hπ n, dove h = 0,,..., n. La forma esponenziale di z = i è z = e i π. Le sue radici terze sono allora i numeri complessi w 0 = e i π 6, w = e i π 6, w = e i π che in forma algebrica si scrivono come w 0 = + i, w = + i, w = i. Le radici degli altri numeri complessi si calcolano analogamente. Soluzione dell Esercizio 4. 4.) Sia z = x + iy un numero complesso in forma algebrica. Si ha che: Re((x + iy)( + i)) + zz = Re(x y + i(x + y)) + x + y = x + y + x y.

4 4 NUMERI COMPLESSI ED EQUAZIONI ALGEBRICHE Quindi, i numeri complessi cercati verificano l equazione x + y + x y = 0 che rappresenta una circonferenza di centro (, ) e raggio. 4.) I numeri complessi che hanno argomento π si trovano sul semiasse negativo delle ascisse e quindi sono della forma z = x, con x R, x < 0. Sostituendo nella prima equazione, abbiamo x + x = 0, che ha soluzioni x =, x =. Poiché x < 0, l unica soluzione accettabile è z = x =. 4.) I numeri complessi aventi parte reale nulla sono tutti e soli quelli della forma z = iy. Sostituendo nella seconda equazione, abbiamo y = 4, e quindi le soluzioni sono z = i, z = i. 4.4) Sia z = x + iy un numero complesso in forma algebrica. Abbiamo che Im(( i)(x + iy)) = Im(x + y + i( x + y)) = x + y, e quindi l equazione diventa x + y = che rappresenta la retta per i punti (, 0) e (, ). Soluzione dell Esercizio..) Essendo un equazione di secondo grado, possiamo usare la formula risolutiva. Calcoliamo prima il discriminante, e le sue due radici quadrate. = i 4( + i) = 4i = e iφ dove l angolo φ verifica cos φ = /, sin φ = 4/. Le radici quadrate di sono δ = e i φ e δ = δ. Calcoliamo allora cos φ e sin φ, usando le formule di bisezione ed osservando che l angolo φ/ è un angolo del secondo quadrante, essendo φ un angolo del quarto. cos φ = + cos φ 4 = =, mentre sin φ cos φ = = =. Abbiamo quindi che δ = ( ) + i = + i, e δ = i. Le soluzioni dell equazione sono allora z = i+δ = + i, z = i+δ =..) Si osserva facilmente che P () = = 0, e quindi z = è una soluzione dell equazione. Dividendo per z, abbiamo P (z) = (z )(z + ), ed è facile allora calcolare tutte le soluzioni dell equazione, che risultano z =, z = i, z = i..) Una soluzione dell equazione è z = 0. Mettendo z in evidenza, otteniamo P (z) = z(z 4z + ), e quindi le soluzioni dell equazione P (z) = 0 sono z = 0, z = + i, z = i. Soluzione dell Esercizio 6. z = i è una radice se, e solo se, P ( i) = 0. Sostituendo, otteniamo un equazione di primo grado in a, la cui soluzione è il valore cercato. i + i + + a = 0 da cui a =. Dividendo il polinomio P (z) per z + i otteniamo P (z) = (z + i)(z ( + i)z + i). Risolvendo l equazione di secondo grado, otteniamo le radici z = i, z = i, z =. Una fattorizzazione di P (z) su C è P (z) = (z i)(z + i)(z ), mentre una fattorizzazione in fattori irriducibili di P (z) su R è P (z) = (z )(z + ). Soluzione dell Esercizio 7. Le radici n esime di un numero complesso si dispongono come i vertici di un poligono regolare ad n lati. Quindi, dobbiamo costruire un quadrato avente +i come uno dei vertici. Poiché +i ha modulo, ed argomento π le altre radici 4

5 NUMERI COMPLESSI ED EQUAZIONI ALGEBRICHE avranno lo stesso modulo ed argomenti π, π, 7π. Quindi l affermazione () è vera, la due è falsa perché non ha modulo giusto, la tre è falsa perché ogni numero complesso non nullo ha quattro radici quarte distinte. La (4) è falsa per i motivi esposti in precedenza. Soluzione dell Esercizio 8. zz = a + b e quindi è un numero reale non negativo, ossia l affermazione () è falsa. z + z = a e quindi l affermazione () è falsa, mentre la (4) è vera. z z = ib e quindi risulta falsa anche l affermazione (). Soluzione dell Esercizio 9. Risolviamo il sistema. I numeri complessi aventi argomento π 4 si scrivono come x + ix, con x R, x > 0. Sostituendo nella prima equazione, abbiamo x + x + 4 = 0, ovvero 8x + x + = 0. Il discriminante dell equazione è positivo, quindi ci sono due radici reali e distinte, ma sono entrambe negative. Ne consegue che non ci sono soluzioni, ossia l unica vera è la (4). Soluzione dell Esercizio 0. Ricordiamo che un polinomio è irriducibile sul campo K se non ha radici nel campo K. La prima affermazione è falsa per il Teorema Fondamentale dell Algebra. La seconda è vera perché il discriminante del polinomio dato è 4 < 0, e quindi non ha radici reali. La terza è falsa per lo stesso motivo. P ( + i) = 4 + 4i 0, e quindi + i non è radice del polinomio. Soluzione dell Esercizio. Poiché il polinomio P (z) ha i coefficienti reali, avendo una radice complessa non reale, avrà come radice anche il numero complesso coniugato. Quindi, l unica affermazione vera è la (). Soluzione dell Esercizio. Vero, perché il modulo di un numero complesso rappresenta la lunghezza di un vettore applicato nell origine. Soluzione dell Esercizio. Consideriamo due numeri in forma algebrica z = a+ib, z = x + iy. Abbiamo che z + z = (a + x) + i(b + y), mentre z z = (ax by) + i(ay + bx). Quindi Re(z +z ) = a+x = Re(z )+Re(z ), mentre Im(z z ) = ay +bx Im(z )Im(z ).