Risoluzione di ax 2 +bx+c = 0 quando a, b, c sono numeri complessi.

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1 LeLing14: Ancora numeri complessi e polinomi Ārgomenti svolti: Risoluzione di ax + bx + c = 0 quando a, b, c sono numeri complessi La equazione di Eulero: e i θ = cos(θ) + i sin(θ) La equazione x n = a, le coordinate polari e rotazioni Ēsercizi consigliati: Geoling 15 Risoluzione di ax +bx+c = 0 quando a, b, c sono numeri complessi Se i numeri a, b, c C sono complessi allora per usare la formula b± b 4ac dobbiamo a spiegare cosa significa il simbolo b 4ac quando il numero b 4ac ha parte immaginaria non nulla, cioe dobbiamo imparare a calcolare radici quadrate di numeri complessi Formalmente dobbiamo risolvere: x = a, a C Ad esempio, cosa significa i? Siccome e una radice quadrata, sara una soluzione della equazione z = i 1 Ecco un modo di risolvere l equazione z = i Si propone come soluzione z = x + i y e si ottiene: z = x y + xy i = i che e equivalente al sistema non lineare facilmente x = y = ± 1 Cioe, i = ± 1+i { x y = 0, xy = 1 Siccome x = y, risulta Vediamo come si risolve l equazione x +x+1 i = 0 Usando la formula b± b 4ac a risulta: ± 4 4(1 i) = 1 ± i 1 A volte si usa la lettera z quando l incognita e un numero complesso z = x + y i e x, y sono reali Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing14 1 Geometria

2 Siccome sappiamo che i = ± 1+i, risulta che le radici sono 1 ± { i = 1 ± 1 + i +1 = 1 + i, i Esempio 01 Ecco { un altro esempio: risolviamo z = i Proponendo z = x + y i x risulta il sistema y = 3, Moltiplicando la prima equazione per x xy = 4 e usando la seconda equazione risulta x 4 3x 4 = 0 Dunque x = 3±5 Siccome x e reale otteniamo x = ± e i = ±( + i) Osservare che il metodo ora spiegato conduce a una equazione di grado 4; quindi per risolvere una equazione di secondo grado bisogna risolverne una di quarto, il che non e molto efficiente Formule Come risolvere l equazione x 3 = + 11 i?, cioe come si calcola i? Ecco una soluzione: x = + i, cioe + i = Come si risolve la equazione x 3 = 15x + 4? Esistono formule che permetteno di risolvere le equazioni di terzo grado ma non sono molto utili nella pratica Ecco la soluzione di x 3 = 15x + 4 usando le formule di del Ferro-Tartaglia-Cardano: x = = 4 Dal punto di vista prattico, quando si ha bisogno di calcolare la radice di una equazione algebrica, conviene usare il computer Ma cosa succede dentro al computer? I computer usano metodi numerici studiati nel corso di analisi eg sviluppi in serie, approssimazione succesive, ecc E possibile dimostrare che non esiste una formula per risolvere tutte le equazioni di grado n 5 Questo si chiama Teorema di Abel-Ruffini Scoperte dai gli italiani Scipione del Ferro ( ) e Niccolo Fontana ( ) conosciuto come Tartaglia e pubblicate da Girolamo Cardano ( ) Vedi matematica/matematici/tartagliahtml Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing14 Geometria

3 L equazione x n = a Usando le funzioni trigonometriche sin(θ), cos(θ), l equazione x n = a si risolve abbastanza facilmente 3 Gia nel 1740 Eulero si era accorto che e i θ = cos(θ) + i sin(θ) Quello che e importante da capire in questa formula e la seguente identita : e i(θ 1+θ ) = e i θ 1 e i θ Vediamo che questo si traduce nelle classiche formule di addizione trigonometriche: { cos(θ1 ) cos(θ ) sin(θ 1 ) sin(θ ) = cos(θ 1 + θ ), cos(θ 1 ) sin(θ ) + cos(θ ) sin(θ 1 ) = sin(θ 1 + θ ) Infatti, e i θ 1 e i θ = (cos(θ 1 ) + i sin(θ 1 ))(cos(θ ) + i sin(θ )) = = (cos(θ 1 ) cos(θ ) sin(θ 1 ) sin(θ )) + (cos(θ 1 ) sin(θ ) + cos(θ ) sin(θ 1 )) i = cos(θ 1 + θ ) + sin(θ 1 + θ ) i = e i(θ 1+θ ) Come conseguenza, ecco le formule di de Moivre Proposizione 0 Se n Z allora (e i θ ) n = e i θn, cioe (cos(θ) + i sin(θ)) n = cos(nθ) + i sin(nθ) Ricordiamo che un punto del piano (x, y) si puo individuare tramite le sue coordinate polari, cioe x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ), dove ρ e la distanza dall origine (0, 0) e θ e l angolo con il semiasse x positivo, che di solito si determina nell intervallo 0 θ < π, ma qualsiasi θ +kπ andrebbe ugualmente bene Dunque z = ρe i θ, dove ρ = z e il modulo di z, cioe ρ = x + y Questo ci permette di interpretare il prodotto zw tra due numeri complessi Infatti, se z = ρ 1 e θ e w = ρ 1 e i θ 1 risulta zw = (ρρ 1 )e i(θ+θ 1) ; ossia quando moltiplichiamo due numeri complessi otteniamo un numero complesso il cui modulo e il prodotto dei moduli e il suo angolo e la somma dei angoli 3 Formule di de Moivre, matematico francese ( ) Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing14 3 Geometria

4 Esempio 03 Siccome i = e i π, moltiplicare per i equivale a ruotare di 90 gradi in verso anti-orario 4 Questo permette facilmente di dimostrare che le tre altezze di un triangolo si incontrano in un punto Infatti, a + ba i e c perpendicolare a b c i poiche i(b ci) e un multiplo reale di a + ba i c Allora per risolvere l equazione x n = a basta scrivere il numero a in forma polare, cioe trovare il modulo ρ a e un angolo θ a tale che Ecco le n soluzioni: a = ρ a e i θa x k = n ρ a e i θa+kπ n k = 0, 1,,, n 1 Riassumiamo quanto detto nel seguente teorema Teorema 04 Se a = ρ a e i θa allora l equazione x n = a ha n soluzioni: x k = n ρ a e i θa+kπ n k = 0, 1,,, n 1 Ecco un esempio Esempio 05 Troviamo le soluzioni dell equazione x 3 = i Siccome i = e i π, segue che le tre radici sono: x 0 = e i π +0π 3 = e i π 6 = cos( π) + sin( π) i = 3+i, 6 6 x 1 = e i π +1π 3 = e i 5π 6 = cos( 5π) + sin( 5π) i = 3+i, 6 6 x = e i π +π 3 = e i 9π 6 = cos( 9π) + sin( 9π) i = i Questo e chiaro pensando al fatto che moltiplicare per i due volte equivale a ruotare di 180 gradi Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing14 4 Geometria

5 Un caso importante si ha quando a = 1; si ottengono le radici n-esime della unita : e i π n, e i π n, e i 3π n,, e i (n 1)π n, e i nπ n Osservare che se chiamiamo ξ = e i π n allora tutte le altre radici n-esime sono le potenze ξ k, k = 1,,, n Per questo motivo la radice ξ si chiama radice primitiva della unita Notare che il numero ξ = e i π n si puo pensare come una rotazione d angolo π in verso anti-orario Vale a dire, dato un numero w, il prodotto ξw si trova ruotando n w di un angolo π in verso anti-orario n Infine si osservi che se x e radice di x n = a e ξ e una radice n-esima della unita allora xξ e radice di x n = a Dunque conoscendo una radice particolare x 0 di x n = a si possono trovare tutte le altre eseguendo il prodotto ξ k x 0 dove k = 0, 1,, n 1 e ξ e una radice primitiva della unita Esempio 06 Per construire il pentagono regolare serve risolvere l equazione z 5 = 1 Dunque una radice primitiva e ξ = e i π 5, cioe ξ = e i π 5 π = cos( 5 ) + sin(π 5 ) i = 1 4 ( 1 + 5) + 1 Osservare che usando il numero ξ = 1( 1 + 5) di 7 in verso antiorario Infatti, basta moltiplicare per ξ 1 (5 + 5) i 1 (5 + 5) i e facile ruotare Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing14 5 Geometria