LeLing13: Polinomi e numeri complessi. Divisione di polinomi. L algoritmo di Euclide e le radici multiple. Ēsercizi consigliati: Geoling 15.

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1 LeLing13: Polinomi e numeri complessi. Ārgomenti svolti: Polinomi e non polinomi. Le radice della equazione x + 1 = 0: i numeri complessi. L inverso 1 e il coniugato. z Radici di polinomi. Radici coniugate. La formula b± b 4ac. a L algoritmo di Euclide e la sezione aurea Divisione di polinomi. L algoritmo di Euclide e le radici multiple. Ēsercizi consigliati: Geoling 15. Polinomi Un polinomio p(x) in X e una espressione p(x) = a 0 + a 1 X + + a n X n dove a 1, a,, a n sono numeri. Se a n 0 il numero n si chiama grado del polinomio p(x) e simbolicamente si scrive deg(p(x)) = n. Se tutti i numeri a 1, a,, a n sono numeri reali allora p(x) si dice polinomio reale. Se invece a 1, a,, a n appartengono a un campo numerico K allora si dice che p ha coefficienti in K e simbolicamente si scrive p(x) K[X]. Ovviamente p(x) R[X] significa che p(x) e un polinomio reale. Di solito un polinomio si pensa come una funzione e si scrive P (x) dove la x minuscula significa che abbiamo inserito un numero x al posto di X. I classici esempi sono la retta p(x) = ax + b e la parabola p(x) = ax + bx + c. Ovviamente esistono funzioni f(x) che non si possono ottenere mettendo x al posto di X in un polinomio. Ecco gli esempi classici: cos(x) e sin(x). Infatti, questo e conseguenza del fatto che sin(x) e cos(x) hanno infinite radici e invece un polinomio p(x) ha al massimo deg(p(x)) radici 1. A volte puo servire inserire al posto di X una matrice o qualsiasi altro oggetto che si possa sommare e moltiplicare. ( ) Ad esempio, se p(x) = X 3 + X + 1 mettendo al posto 0 1 di X la matrice J = possiamo calcolare p(j), che sara anche lei una matrice Questo si dimostra usando l algoritmo della divisione (oppure il Teorema di Ruffini). Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing13 1 Geometria

2 . Infatti, da J 3 = ( J risulta ) p(j) = J + J ( + 1 = ) J + 1. Siccome 1 rappresenta X 0 allora J 0 = Id = e dunque p(j) = Osservare dunque che la matrice J e radice della equazione X + 1 = 0. Numeri complessi E ovvio che la equazione x + 1 = 0 non si puo risolvere usando i numeri reali. Dunque i matematici hanno inventato il numero imaginario i. Cioe, si decreta che i = 1 e ovviamente ( i) = 1. Ma una volta nato il numero i, siccome va pensato come un numero, dobbiamo essere capaci di calcolare i, 4 i, 1, i i 5, 4 i + i 3 5, ecc. Insomma, e vero che i matematici inventano il numero i, ma questa invenzione produce automaticamente molti altri numeri, cioe tutti quelli che possiamo escrivere come un quoziente a 0+a 1 i +a i + +a n i n b 0 +b 1 i +b i + +b m i m con a 1,, a n, b 1,, b m numeri reali. Dunque insieme alla nascita di i, nascono i numeri complessi che si raccolgono a nell insieme C di numeri complessi 0 +a 1 i +a i + +a n i n b 0 +b 1 i +b i + +b m con a i m 1,, a n, b 1,, b m. Notare che R e contenuto in C, infatti se a R allora a = a i C, dunque R C. Dunque lo studio di C e lo studio di questo insieme. Ecco un teorema importante. Teorema 0.1. Se z C, cioe z = a 0+a 1 i +a i + +a n i n b 0 +b 1 i +b i + +b m i m z si scrive in modo unico come: z = x + i y dove x, y R. con a 1,, a n, b 1,, b m allora Il numero reale x si chiama la parte reale di z, simbolicamente Re(z) := x mentre il numero reale y si chiama parte immaginaria e si denota Im(z), cioe z = Re(z)+i Im(z). Dimostrazione. Siccome i = 1 segue che z = a 0+a 1 i +a i + +a n i n b 0 +b 1 i +b i + +b m i m A, B, C, D R. Ecco una seconda osservazione: z = ( A+B i C+D i Risulta quindi che z = x + y i, dove x = AC+BD e y = BC AD = A+B i C+D i, dove )( C D i C D i ) = (AC+BD)+(BC AD) i C +D.. Dimostrare l unicita e C +D C +D facilissimo. Infatti, se esistesse un z tale che z = x + y i = x + y i e y y, risulterebbe i = x x y y ma questo implica che i e un numero reale! Assurdo. Dunque y = y e per forza x = x. A volte si usa il simbolo 1 per denotare i, ma si faccia attenzione poiche ( 1)( 1) non e uguale a 1 1. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing13 Geometria

3 Dopo questo Teorema possiamo ripartire pensando ai numeri complessi come le coppie z = x + y i di numeri reali. E dunque naturale pensare che un numero complesso si rappresenta nel piano R come il punto (x, y). L inverso 1 z e il coniugato z La lettera z denota un numero complesso, cioe z = x+i y. La dimostrazione della proposizione precedente contiene l idea di come calcolare l inverso 1 di un numero complesso. z E conveniente introdurre il coniugato z = x y i di z come il numero complesso la cui parte immaginaria e di segno contrario a quello di z. Geometricamente il coniugato del punto z e il simmetrico rispetto all asse x. Ecco due proprieta importanti del coniugato, Proposizione 0.. Se z e w sono numeri complessi allora: zw = zw z + w = z + w Inoltre usando repetutamente la prima proprieta risulta z n = z n. Notare che z = z se e solo se Im(z) = 0, ossia se e solo se z e un numero reale. Allora ecco l osservazione importante: z.z = x + y cioe, il prodotto di un numero e il suo coniugato e uguale alla distanza al quadrato del punto all origine, cioe il quadrato del modulo di z pensato come vettore. Siccome il modulo si denota z allora z.z = z. Questo permette facilmente di calcolare l inverso. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing13 3 Geometria

4 Proposizione 0.3. L inverso 1 z di z 0 e 1 z = z z = x x + y y x + y i Dimostrazione. Eseguendo il prodotto z z definizione. z = zz z = z z = 1, dunque 1 z = z z per Esempio 0.4. Ecco l inverso di i: 1 i = i Il calcolo dell inverso 1, insieme con le operazioni di somma e prodotto ci permette di z pensare a C come un campo numerico 3. Ecco come si moltiplicano due numeri complessi z = x + y i e w = a + b i: z.w = (x + y i)(a + b i) = xa + xb i +ya i +yb i = xa + (xb + ya) i +yb( 1) dunque z.w = (xa yb) + (xb + ya) i. Ed ecco una formula celebre: z w = (x + y )(a + b ) = (xa yb) + (xb + ya) = zw. Questa formula e il punto di partenza della dimostrazione di Eulero del teorema di Fermat 4 che i numeri naturali della forma 4k + 1 sono somma di due quadrati. Infine si osservi che la parte reale e quella immaginaria si ricavano usando il coniugato: Re(z) = z + z Im(z) = z z i Il numero z si dice immaginario puro se Re(z) = 0. Dunque z e immaginario puro se z = y i, y R. Notare che la condizione z = z e necessaria e sufficente affinche z sia immaginario puro. 3 Il primo a notare questo e stato il bolognese Raffaele Bombelli nel di Fermat sulle somme di due quadrati Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing13 4 Geometria

5 Radici di polinomi reali, radici coniugate, ecc. Il polinomio p(x) = x + 1 e reale ma ha due radice complesse, cioe i e i. Osservare che i e (per definizione) il coniugato di i. Questo succede per qualsiasi polinomio reale; cioe se z e un numero complesso radice della equazione reale a 0 +a 1 x+a x + +a n x n = 0 allora il coniugato z e pure lui una radice. Infatti, siccome a 0, a 1,, a n sono numeri reali risulta: dunque risulta: a 0 + a 1 z + a z + + a n z n = 0 = 0 a 0 + a 1 z + a z + + a n z n = 0, a 0 + a 1 z + a z + + a n z n = 0, a 0 + a 1 z + a z + + a n z n = 0 cioe il coniugato z e radice della stessa equazione. Proposizione 0.5. Sia p(x) R[X] un polinomio reale. Se il numero complesso z C soddisfa p(z) = 0, allora anche il coniugato z soddisffa p(z) = 0. Inoltre, se Im(z) 0 allora il polinomio di secondo grado q(x) = (X z)(x z) = X (z + z)x + zz = X Re(z)X + z e reale, cioe q(x) R[X] e q(x) divide a p(z). Quest ultima proposizione si puo pensare come una generalizazione del teorema di Ruffini. Siccome le radici complesse vanno in coppie la proposizione precendente ci induce a credere che un polinomio reale di grado dispari abbia sempre una radice reale. Questo fatto viene dimostrato in analisi osservando che i limiti all infinito hanno segni diversi. La proposizione precedente non dimostra questo fatto poiche non sappiamo (ancora) che tutte le radici di un polinomio sono numeri complessi... Comunque i numeri complessi ci permetteno di risolvere sempre l equazione di secondo grado a coefficienti reali a, b, c: ax + bx + c = 0. Infatti usando la formula b± b 4ac a risultano sempre due numeri: reali se b 4ac 0 o complessi nel caso b 4ac < 0, cioe b±i 4ac b a. Esempio 0.6. Ecco le radici della equazione x + x + 1 = 0: 1 ± 1 4 = 1 ± 3 = 1 ± 3 i Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing13 5 Geometria

6 Algoritmo di Euclide. Euclide 300 anni avanti Cristo calcolava il massimo comune divisore MCD(a, b) 5 tra due numeri a, b facilmente grazie a una osservazione molto semplice. Eccola qui: Assumiamo che a < b: (i) allora possiamo sottrarre a da b un numero intero di volte q e ci avanzara un resto r, cioe b = a.q + r, 0 r < a (ii) Il MCD(a, b) è uguale al MCD(r, a). Dunque per trovare M CD(a, b) basta trovare M CD(r, a) e possiamo ripartire di (i) cercando di calcolare MCD(r, a), che intuitivamente e piu facile, poiche r e piu piccolo di a. Esempio 0.7. Vediamo come usando ripetutamente l osservazione di Euclide si trova facilmente il M CD(5341, 315). Allora, secondo Euclide abbiamo: MCD(5341, 315) = MCD(315, 1801) poichè 1801 è il resto della divisione di 5341 per 315. Allora, possiamo applicare ancora la stessa idea di Euclide, cioè MCD(315, 1801) = MCD(1801, 1414). Ancora una volta, MCD(1414, 387) = MCD(387, 53). A questo punto l idea è chiara e possiamo scrivere: MCD(5341, 315) = MCD(315, 1801) = MCD(1801, 1414) = MCD(1414, 387) = = MCD(387, 53) = MCD(53, 134) = MCD(134, 119) = MCD(119, 15) = MCD(15, 14) = 1 Dunque, il MCD(5341, 314) è 1, cioè 5341 e 314 sono primi tra di loro. I Greci applicavano l idea del calcolo del M CD(a, b) per tutti i numeri a, b non necessariamente interi, cioe dati due numeri a, b cercavano una unita di misura comune d, cioe un numero d tale che a, b siano multipli interi di d. Ma se a, b non sono interi l algoritmo non termina necessariamente, cioe protrebbe accadere di andare sempre 5 Si puo pensare al d = MCD(a, b) come ad una unita di misura comune ad entrambi i numeri a, b, cioe a, b sono multipli interi di d, che e il piu grande numero con questa proprieta. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing13 6 Geometria

7 avanti sottraendo dal divisore il resto, senza mai arrivare ad un resto che divide un divisore. Ecco un tipico esempio. Prendiamo a = 1 e x un numero maggiore di a = 1, che soddisfa x 1 = 1 x 1. Siccome x > 1 allora 0 < x 1 < 1 dunque il resto r della divisione di a = 1 e x e r = 1 x: x 1 = 1 r. cioe il rapporto tra x e 1 e uguale al rapporto tra 1 ed il resto r. Siccome: { b = b, a a b = q.a + r, 0 r < a = { a = a, r r b = q.a + r, 0 r < a allora segue che la divisione continuera per sempre, dando sempre 1 come divisore e x il resto sempre nella stessa proporzione come all inizio: = 1 ; infatti l esempio e stato 1 r costruito appositamente per evitare che l algoritmo termini. Risolvendo l equazione x x 1 = 0 risulta x = 1 + 5, che e la diagonale di un pentagono regolare di lato 1 6. Osservare che il resto r della divisione tra x e 1 e la diagonale del piccolo pentagono (formato dalle diagonali) il cui lato e 1 r. Dunque questo dimostra che la procedura della divisione non termina mai, poiche si trova sempre un pentagono regolare piu piccolo (formato dalle diagonali del piu grande). Siccome l algoritmo di Euclide applicato a 1 ed a un numero razionale p q sempre, abbiamo dimostrato il seguente importante teorema. termina Teorema 0.8. I numeri 1 e 1+ 5 non sono commensurabili, cioe 1+ 5 e irrazionale 7. 6 Il numero x = 1+ 5 si chiama numero d oro o sezione aurea. 7 Questo fu scoperto da Ippaso di Metaponto, un pitagorico, che dicono peri per non aver mantenuto segreta questa scoperta. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing13 7 Geometria

8 0.1 Fattorizzazione Geometria Lingotto. 0.1 Fattorizzazione Quando a, b sono numeri interi, per trovare MCD(a, b) di solito si fattorizzano a e b e si prendono tutti i primi comuni con il minimo esponente. Matematicamente si puo scrivere cosi : Se a = i p a i i e b = i p b i i allora 8 MCD(a, b) = i p min{a i,b i } i dove p i è la successione di numeri primi, cioè p 1 =, p = 3, p 4 = 5, etc. Dunque se entrambi numeri a, b sono facili da fattorizare allora si puo utilizare la formula precedente per calcolare il M CD(a, b). Ma fattorizare un numero è difficile e quindi abbiamo bisogno di un metodo piu efficiente per calcolare il MCD(a, b). Massimo Comune Divisore tra polinomi. L idea di Euclide si puo usare anche per trovare il MCD(P (X), Q(X)) tra due polinomi P (X) e Q(X) 9, cioe assumendo deg(p (x)) deg(q(x)) se R(X) e il resto della divisione di P (X) per Q(X) allora: MCD(P (X), Q(X)) = MCD(Q(X), R(X)). Dunque, siccome il grado del polinomio R(X) e sempre piu piccolo del grado del dividendo P (X), risulta che dopo un numero finito di passi si ricava il MCD(P (X), Q(X)). Esempio 0.9. MCD(X 5 3X + 1, X 3 + X ) = MCD(X 3 + X, X + 4X 3) = = MCD( X + 4X 3, 15X 14) = MCD(15X 14, 31 5 ) = 1 dunque X 5 3X + 1 e X 3 + X sono primi tra di loro, cioe sono coprimi. 8 l esponente 0 indica che il primo non divide il numero, cioe non si trova nella fattorizazione. 9 Questa e una idea del matematico persiano Omar Khayyam ( ). Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing13 8 Geometria

9 0.1 Fattorizzazione Geometria Lingotto. Il MCD(P (X), P (X)) e le radici multiple di P (X). Sia P (X) = a 0 +a 1 X + +a n X n = 0 una equazione algebrica di grado n. Il teorema di Ruffini 10 dice che se sappiamo che λ e una radice della equazione algebrica precedente, cioe P (λ) = 0, allora X λ divide P (X) e viceversa. Dunque supponiamo che per qualche ragione conosciamo in anticipo una radice λ di P (X) e ci serva trovare un altra radice. L utilita del teorema di Ruffini e ridurre il problema a una equazione di grado n 1. Vale a dire, il Teorema di Ruffini ha la seguente morale: se conosciamo una radice λ della equazione algebrica P (X) = 0, possiamo fattorizare P (X) = (X λ)q(x) e continuare la ricerca delle radici della equazione Q(X) = 0. Osservare che Q(X) si trova dividendo P (X) per X λ. Il Teorema di Ruffini dice semplicemente questo. Una radice λ di P (X) = 0 si dice multipla se λ e inoltre radice di Q(X) = 0, cioe il polinomio (X λ) divide P (X). L esponente piu grande r tale che (X λ) r divide P (X) si chiama indice della radice. Una radice non multipla si chiama semplice; si osservi che l indice di una radice semplice e 1. E notevole il fatto che per decidere se P (X) ha delle radici multipli non sia necessario trovarne le radici. Teorema Un polinomio P (X) ha una radice multiple α se e solo se P (α) = P (α) = 0. Piu in generale, P (X) ha una radice multiple se e solo se lui stesso e la sua derivata P (X) non sono coprimi, cioe il MCD(P (X), P (X)) 1. Inoltre le radici multipli di P (X) sono esatamente le radici del MCD(P (X), P (X)). Ecco due esempi per capire l importanza (e come funziona) questo teorema. Esempio Il polinomio P (X) = X 3 + X + 1 ha radici multiple? Risposta: No. Infatti P (X) = 3X + X = X(3X + ) e i numeri 0 e 3 non sono radici di P (X). Esempio 0.1. Il polinomio P (X) = X 5 5X 3 + 4X 1 ha radici multiple? Risposta: No. Infatti basta rimboccarsi le maniche e fare vedere dopo qualche divisione che MCD(X 5 5X 3 + 4X 1, 5X 4 15X + 4) = 1 Invece 10 Molta gente crede, sbagliatamente, che il Teorema di Ruffini serve per trovare una radice della equazione algebrica P (X) = a 0 + a 1 X + + a n X n = 0. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing13 9 Geometria

10 0.1 Fattorizzazione Geometria Lingotto. Esempio Il polinomio P (X) = 4 + 8X + X 5X 3 X 4 + X 5 ha radici multiple? Risposta: Si. Il MCD(P (X), P (X)) e 3X +X 3 dunque P (X) e P (X) non sono coprimi. Inoltre le radici multiple sono 1,, come si verifica facilmente. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing13 10 Geometria