Numeri complessi. Hynek Kovarik. Università di Brescia. Analisi Matematica 1

Transcript

1 Numeri complessi Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 1 / 34

2 Introduzione L introduzione dei numeri complessi è legata alla formula risolutiva per l equazione quadratica x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a (1) ax 2 + bx + c = 0, a 0. Infatti, la formula (??) perde significato quando b 2 4ac < 0, radice quadrata di un numero strettamente negativo! Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 2 / 34

3 Definizione 1 Chiamiamo unità immaginaria i il numero (complesso) tale che i = 0. 2 Chiamiamo numero complesso z un oggetto che si scrive nella forma z = a + ib, con a, b R. Il numero reale a è detto parte reale di z. Scriviamo a = Re(z). Il numero reale b è detto parte immaginaria di z; si scrive b = Im(z). Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 3 / 34

4 Forma algebrica di un numero complesso 1 L espressione z = a + ib è detta forma algebrica del numero complesso z. Si scrive anche z = Re z + i Im z. 2 Denotiamo con C l insieme dei numeri complessi: C = {a + ib : a R, b R}. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 4 / 34

5 Osservazioni 1 Un numero z = a + ib C è reale se e solo se Im z = 0. 2 Dati z 1 = Re z 1 + i Im z 1 e z 2 = Re z 2 + i Im z 2, z 1 = z 2 { Re z1 = Re z 2 Im z 1 = Im z 2. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 5 / 34

6 Identificazione fra C e R 2 Ogni numero complesso z = a + ib si può identificare con la coppia (a, b) R 2 : scriviamo C = R 2. Infatti: 1 C si rappresenta nel piano di Gauss: a ogni complesso z = a + ib si associa il punto P = (a, b) 2 viceversa, a ogni P di coordinate cartesiane a R e b R, si associa il numero complesso z = a + ib. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 6 / 34

7 Operazioni sui numeri complessi - somma: - prodotto: (a + ib) + (c + id) := (a + c) + i(b + d) (a + ib) (c + id) := (ac bd) + i(ad + bc). Infatti, Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 7 / 34

8 - ogni z C \ {0} ha inverso rispetto al prodotto dato da i z 1 = a a 2 + b 2 i b a 2 + b 2. - le operazioni somma e prodotto godono della proprietà commutativa, associativa e vale la proprietà distributiva. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 8 / 34

9 L operazione di coniugio Sia z = x + i y C. Il complesso coniugato di z è il numero complesso z = x i y = Re z i Im z. Geometricamente: è la simmetria rispetto all asse reale. Proprietà del coniugio z + z = 2Re z, z z = 2i Im z, Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 9 / 34

10 Proprietà del coniugio (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2, (z 1 z 2 ) = z 1 z 2, (z 1 z 2 ) = z 1 z 2, (z 1 ) = z 1, z z = (a + i b)(a i b) = (Re z) 2 + (Im z) 2 0, Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 10 / 34

11 Proprietà del coniugio z = (a + i b) = (a i b) = a + i b = z z = z z R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 11 / 34

12 Modulo Dato un numero complesso z = a + i b, il suo modulo è il numero reale z = z z = a 2 + b 2. Osservazione: se z R, allora z coincide con il suo modulo=valore assoluto. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 12 / 34

13 Coordinate polari e forma trigonometrica di un numero complesso Il punto z = P R 2 può essere rappresentato in coordinate polari z = (ρ, θ) con ρ : distanza di z dall origine O: ρ = x 2 + y 2 = z ; θ è l angolo (in radianti,verso antiorario), compreso fra l asse delle x e la retta congiungente O con z: è detto argomento di z, θ = argz. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 13 / 34

14 Coordinate polari e forma trigonometrica di un numero complesso Si ha x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. Si passa dalla forma algebrica z = x + i y alla sua forma trigonometrica z = ρ(cos θ + i sin θ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 14 / 34

15 Date le coordinate (ρ, θ), il numero z = x + i y risulta univocamente determinato dalle formule x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. Viceversa, dato z = x + i y, determino (ρ, θ): - ρ = x 2 + y 2 = z ; - θ è angolo che verifica cos θ = x x 2 + y = x 2 ρ, sin θ = y x 2 + y = y 2 ρ. Queste relazioni NON determinano UNIVOCAMENTE angolo θ (le funzioni cos, sin sono periodiche di periodo 2π, quindi: se θ le verifica, anche θ + 2kπ, k Z, le verifica). Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 15 / 34

16 Formule di De Moivre Dati z 1 = ρ 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ), z 2 = ρ 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) C Si ha z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )] Infatti, [ z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 ] + i (sin θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sin θ 2 ) =... Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 16 / 34

17 Possiamo generalizzare formula per il prodotto a n fattori z 1 z 2... z n ( = ρ 1 ρ 2... ρ n cos(θ1 + θ θ n ) + i sin(θ 1 + θ θ n ) ). In particolare, se tutti i fattori sono uguali: z n = ρ n [cos(nθ) + i sin(nθ)]. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 17 / 34

18 Esempio Scriviamo in forma algebrica (1 + i ) 7. Si ha 1 + i = 2, arg(1 + i ) = π 4. Pertanto (1 + i ) 7 = ( 2) 7 ( cos 7 4 π + i sin 7 4 π ) = 8 8i. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 18 / 34

19 Esponenziale complesso Problema Definire e z C, z C in modo coerente con le proprietà delle potenze. Definizione e z = e Re z [cos(im z) + i sin(im z)] z C. Quindi, se z = x + i y, allora e z = e x (cos y + i sin y). In questo modo è definita la funzione exp : C C. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 19 / 34

20 Esempi e (3 i ) = e 3 [cos( 1) + i sin( 1)] = e 3 (cos 1 i sin 1), e 2iπ = e 0 [cos(2π) + i sin(2π)] = 1, e i π = e 0 (cos(π) + i sin(π)) = 1, quindi e i π + 1 = 0 Formula di Eulero Per ogni θ R vale e i θ = cos θ + i sin θ Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 20 / 34

21 Proprietà dell esponenziale complesso: e z 0 z C e z1 e z 2 = e z 1+z 2 z 1, z 2 C, e z e z = 1 z C, e z = e Re z z C, e i θ = e i θ θ R, e i θ = cos 2 θ + sin 2 θ = 1 θ R Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 21 / 34

22 Forma esponenziale di un numero complesso Dalla forma trigonometrica di z C: z = ρ(cos θ + i sin θ) e dalla formula segue e i θ = cos θ + i sin θ z = ρe i θ forma esponenziale di z C. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 22 / 34

23 La forma esponenziale è molto comoda per i conti, per es., se z 1 = ρ 1 e i θ 1 e z 2 = ρ 2 e i θ 2, allora z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i (θ 1+θ 2 ), z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i (θ 1 θ 2 ) (z 1 ) n = ρ n 1e i nθ 1. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 23 / 34

24 Esercizio: calcolare (1 + i ) 6. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 24 / 34

25 Radice n-esima di un numero complesso Dato z C, chiamiamo radice n-esima (complessa) di z ogni numero w C verificante w n = z. Osservazione: Dato z = ρe i θ, al variare di k = 0,..., n 1, gli n numeri complessi w 0, w 1,..., w n 1 sono radici n-esime di z. w k = re i φ k, r = n ρ, φ k = θ + 2kπ n Infatti [ wk n = n ] n ρ e i (θ+2kπ)/n = ρe i (θ+2kπ) = ρe i θ = z. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 25 / 34

26 Teorema Ogni numero complesso z C, z 0, ha esattamente n radici n-esime distinte w 0, w 1,..., w n 1. Rappresentazione grafica delle radici n-esime: Le n radici w k = re iφ k, r = n ρ, φ k = θ + 2kπ n sono i vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto nel cerchio di centro 0 e raggio r. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 26 / 34

27 Esercizio 1 Determiniamo le tre radici cubiche di 1. Si ha Quindi e w k = 3 1 e i φ k, w 3 = 1 w 3 = 1 e i π. φ k = π + 2kπ, k = 0, 1, 2, 3 w 0 = 1 2 (1 + i 3), w 1 = 1, w 2 = 1 2 (1 i 3). Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 27 / 34

28 Esercizio 2 Determiniamo le sei radici seste di i. Si ha Quindi w 6 = i w 6 = e i π 2. w k = 6 1 e i φ k, φ k = π 2 + 2kπ 6 = π 12 + k π 3, con k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 28 / 34

29 Polinomi in campo complesso Chiamiamo polinomio in una variabile complessa la funzione P : C C P(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 z C, (2) con a 0, a 1,..., a n numeri complessi assegnati, detti coefficienti del polinomio. Se a n 0, si dice che il polinomio è di grado n. Si chiama radice di P ogni numero complesso w tale che P(w) = 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 29 / 34

30 Principio di identità dei polinomi Siano P e Q due polinomi: essi sono uguali se e solo se sono uguali i coefficienti delle potenze omologhe dei due. Fattorizzazione di polinomi Sia w una radice del polinomio P, di grado n. Allora esiste un unico polinomio Q di grado n 1 tale che P(z) = (z w)q(z), z C. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 30 / 34

31 Teorema Sia P un polinomio in C di grado n. Allora P ha esattamente n radici w 1, w 2,, w n e si può fattorizzare come prodotto P(z) = a n (z w 1 )(z w 2 )... (z w n ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 31 / 34

32 Molteplicità Le radici possono non essere tutte distinte. Chiamiamo molteplicità di una radice w j (e la denotiamo con m j ) il numero di radici uguali a w j. Quindi, se w 1, w 2,..., w k sono le radici distinte di P di grado n, si ha m m k = n = grado(p). Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 32 / 34

33 Esempi 1 Consideriamo z Le sue radici: z 1 = i, z 2 = i. 2 z 5 + z 3 = z 3 (z 2 + 1) = z z z(z i )(z + i ). Radici: z 1 = z 2 = z 3 = 0, z 4 = i, z 5 = i. La radice 0 ha molteplicità 3. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 33 / 34

34 Proposizione Sia P un polinomio a coefficienti reali: 1 Se w è una radice (non reale), anche w è una radice, con la stessa molteplicità. 2 In particolare, se il grado del polinomio è dispari, vi è almeno una radice reale. Dimostrazione: Punto (1): Se il polinomio P ha coefficienti reali, si verifica facilmente che P(z) = P(z), per ogni z C. Se w è una radice, allora 0 = P(w) = P(w) = P(w), dunque anche w è una radice. Punto (2): poiché le radici non reali devono viaggiare in coppia, e il totale delle radici (contate con la loro molteplicità) deve dare il grado del polinomio, se vi sono solo radici non reali, allora il grado è pari. Hynek Kovarik (Università di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 34 / 34