Numeri complessi. Esercizi.

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1 Numeri complessi. Esercizi. Mauro Saita Versione provvisoria. Marzo 014. Indice 1 Numeri complessi 1.1 Test di autovalutazione Test di autovalutazione Test di autovalutazione. Vero o Falso? Test di autovalutazione Circuiti elettrici in regime sinusoidale Test di autovalutazione Soluzioni Nome file.tex: esercizi-complessi-014.tex 1

2 1 Numeri complessi 1.1 Test di autovalutazione. Test n.1 Rispondere a ciascun quesito per iscritto su questo foglio. 1. Sia z = + i e z = 5(cos π 3 + i sin π 3 ). Scrivere i numeri complessi z + z e zz in forma algebrica.. Si consideri il numero complesso z = i. Scrivere z 1 (inverso di z) in forma algebrica. 3. Sia z = algebrica. + i. Verificare che z = 1 e poi scrivere il numero complesso z7 in forma 4. Si considerino i numeri complessi z = (cos π 3 + i sin π 3 ) e w = 5(cos π 6 + i sin π 6 ). Scrivere in forma trigonometrica il numero complesso zw. 5. Risolvere nel campo complesso la seguente equazione x + x + 5 = 0 6. Scrivere il numero complesso z = 4 + i 1 3i 7. Sia z = 1 + i. Scrivere il numero complesso in forma algebrica. zz in forma algebrica. (z i) 8. Scrivere in forma trigonometrica l inverso del numero complesso z = (cos π 10 + i sin π 10 ) 9. Sia z = 3 3i. Scrivere in forma trigonometrica z. 10. Si consideri il seguente insieme di numeri complessi Descrivere nel piano di Gauss l insieme E. E = {z C 1 Re(z) }

3 1. Test di autovalutazione. Test n. Rispondere a ciascun quesito per iscritto su questo foglio. 1. Scrivere la definizione di unità immaginaria i e disegnare nel piano complesso i Se z = 3i scrivere z (complesso coniugato di z). Disegnare i due numeri nel piano di Gauss. 3. Se z 1 = + 3i e z = 1 + i determinare z 1 + z e z 1 z 4. Scrivere il numero complesso z = x + iy in forma trigonometrica. Dare una spiegazione dettagliata. 5. Scrivere z = 1 + 3i in forma trigonometrica. 6. Il numero complesso z = i è un numero complesso unitario? Spiegare. 7. Moltiplicando tra loro due numeri complessi unitari cosa si ottiene? Spiegare 8. Sia z = + 3i. Determinare il numero complesso zi in forma algebrica. Interpretare geometricamente il risultato. 9. Sia z = + 5i. Trovare z + z. Di quale numero si tratta? Se z = x + iy determinare z + z 10. Sia z = + 5i. Trovare z z. Di quale numero si tratta? Se z = x + iy determinare z z 3

4 1.3 Test di autovalutazione. Vero o Falso? Test n.3 Motivare per iscritto le risposte su questo foglio. 1. V F Se z = i allora z 1 = 3 + i. V F Se z = + 3i e w = 1 i allora z + w = V F Se z = 3 4i allora zz z + 5i = 15 5 i. 4. V F Se z = i allora arg z = π V F L equazione x x + 3 = 0 ammette, nel campo dei numeri complessi, le soluzioni x 1 = i e x = i. 6. V F Se u C, u = 1 allora u = cos α + i sin α. 7. V F Se u = cos α + i sin α allora la corrispondenza z (cos α + i sin α)z è una rotazione attorno all origine di angolo α. 8. V F Per ogni α, β R si ha cos(α + β) + i sin(α + β) = (cos α cos β sin α sin β) + i(cos α sin β + sin α cos β) 9. V F Se z = (cos π 4 + i sin π 4 ) allora z3 = 4(cos 3 4 π + i sin 3 4 π). 10. V F La corrispondenza z 4z è un omotetia di centro l origine e costante 4. 4

5 1.4 Test di autovalutazione. Test n.4 Rispondere a ciascun quesito per iscritto su questo foglio. 1. Scrivere in forma esponenziale il numero z = i.. Siano z = 3(cos π 8 + i sin π 8 ) e w = (cos π 1 + i sin π 1 ). Scrivere in forma esponenziale il numero z w. 3. Siano z e w due numeri complessi. Dimostrare che il coniugato della somma di z e w è uguale alla somma dei coniugati di z e di w. In altri termini, dimostrare che z + w = z + w 4. Siano z e w due numeri complessi. Dimostrare che il coniugato del prodotto di z e w è uguale al prodotto dei coniugati di z e di w. In altri termini, dimostrare che zw = z w 5. Dimostrare che se z C è una radice del polinomio p(x) = ax + bx + c dove a, b, c R allora anche z è radice di p(x). Dimostrare che questo risultato vale per un qualsiasi polinomio di grado n cioè dimostrare che se z C è una radice del polinomio p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a i R allora anche z è radice di p(x). 5

6 1.5 Circuiti elettrici in regime sinusoidale Esercizio 1.1 In un circuito elettrico in regime sinusoidale la tensione è descritta dalla funzione V (t) = V M cos(ωt + φ) a) Interpretare da un punto di vista fisico i parametri V M, ω e φ. b) La tensione V (t) viene spesso rappresentata mediante un numero complesso (funzione del tempo). Quale? Spiegare. Esercizio 1. Si consideri il circuito a regime sinusoidale rappresentato in figura R E 0 C L Fig. 1 - Circuito elettrico RLC. Sapendo che R = 10 kω, L = 50 mh, C = 0 nf, V s = 10V e f = 10 khz a) determinare l impedenza totale; b) determinare l intensità di corrente che attraversa il circuito. Soluzione. L impedenza totale Z del circuito è data da Z = Z R + Z L + Z C (1.1) Si ricordi che ω = πf, Z R = R, Z L = ωlj e Z C = 1 jωc = 1 j (spiegare l ultima ωc uguaglianza). Sostituendo in (1.1) si ottiene: (Fare i calcoli). Z = R + ωlj 1 ωc j (1.) Esercizio 1.3 Scrivere Z L = ωlj e Z C = 1 j in forma esponenziale ωc 6

7 1.6 Test di autovalutazione Test n.5 Rispondere a ciascun quesito per iscritto su questo foglio. 1. Sia C R C la rotazione attorno all origine di angolo 3 4π. Scrivere in forma algebrica R(1 + i).. Si denoti con C Rθ o C la rotazione piana attorno all origine di angolo θ definita da R θ o(z) = e iθ z per ogni z in C. Si denoti con C Tv C la traslazione individuata dal vettore v in C definita da T v (z) = z + v per ogni z in C. Dimostrare che ogni roto-traslazione T v R θ o con θ 0 + kπ ha esattamente un punto fisso. 3. Scrivere in forma algebrica il punto fisso della rototraslazione F (z) = e i π z + ( i). 4. Scrivere in forma esponenziale le radici terze di 1 i. 5. Sia C R C la rotazione attorno all origine di angolo π 4 e C T C la traslazione del numero v = + 3 i. Scrivere in forma algebrica (T R)(i). 6. Dimostrare che la funzione C S C, S(z) = e i π 3 z (1.3) è una simmetria assiale avente per asse la retta r che passa per l origine e formante con l asse delle x un angolo pari a π 6 (Suggerimento: verificare che i punti fissi di S sono tutti e soli i punti della retta r). In generale vale il seguente teorema: la funzione C S C, S(z) = e iθ z (1.4) è una simmetria assiale avente per asse la retta per l origine formante con l asse delle x un angolo pari a θ. 7. Rappresentare nel piano complesso i seguenti insiemi: a) E = {z C 1 < z <, π arg z π} b) F = {w C w = z, con z E} 8. Vero o Falso? Siano S r e S t due simmetrie assiali rispettivamente di assi r e t. Se r t = P (cioè, se le rette r e t sono incidenti nell unico punto P ) allora l isometria S r S t è una rotazione attorno al punto P. 7

8 1.7 Soluzioni Test n.1 1. z + z = 9 + ( + 5 3)i, zz = (5 5 3) + ( )i. z 1 = 1 3 i 3. z 7 = i 4. zw = 10(cos π + i sin π ) 5. x 1 = 1 i, x 1 = 1 + i i 7. 5 i 8. z 1 = 1 (cos π 10 i sin π 10 ) 9. z = 3 (cos π 4 + i sin π 4 ) 10. Se z = x+iy E allora 1 x, l insieme E è formato dai numeri complessi che si trovano nella striscia (verticale) delimitata dalle rette x = 1 e x =. Test n. 1. i 345 = i. z = + 3i, z e z sono simmetrici rispetto all asse delle ascisse. 3. z 1 + z = 1 + 4i, z 1 z = 5 i 4. z = z z z e z z è un numero complesso unitario, quindi si può scrivere nel seguente modo z = (cos π 3 + i sin π3) 6. z è unitario, infatti z = 1 7. Se u = cos α + i sin α e v = cos β + i sin β uv = cos(α + β) + i sin(α + β). Pertanto uv è un numero complesso unitario di argomento α + β. 8. zi = 3 + i, zi è il numero complesso che si ottiene ruotando z attorno all origine di un angolo pari a π. 9. z + z = 4 è un numero reale. Se z = x + iy allora z + z = x. 10. z z = 9 è un numero reale. Se z = x + iy allora z z = x + y = z. Test n Falso, z 1 = 1 i. Falso, z + w = 3 + i e z + w = Vero, zz z + 5i = 5 (3 + i) = 5 (3 i) 5(3 i) = = 15 (3 + i) (3 i) 10 5 i. 4. Falso, argz = π 3 5. Falso, le radici dell equazione devono essere due numeri complessi coniugati. Si ha: x 1 = i e x = i 6. Vero, cos α + i sin α è un numero complesso unitario. 7. Vero, la moltiplicazione per un numero complesso unitario è una rotazione attorno all origine. 8. Vero, eguagliando le parti reali dei due numeri complessi si ottiene la formula di addizione del coseno mentre eguagliando le parti immaginarie si ottiene la formula di addizione del seno 9. Falso, z 3 = 8(cos 3 4 π + i sin 3 4π) 10.Vero, la trasformazione complessa z 4z dilata ogni vettore z del fattore 4. Test n.4 1. z = e i 7 4 π. z w = 6 e i 5 4 π 3. Se z = a + ib e w = c + id abbiamo z + w = (a + c) + i(b + d) (ricorda come è stata definita l addizione di due numeri complessi). Quindi, Inoltre z = a ib e w = c id e z + w = (a + c) i(b + d) (1.5) z + w = (a ib) + (c id) = (a + c) i(b + d) (1.6) Dalle uguaglianze (1.5) e (1.6) segue la tesi, cioè z + w = z + w. 4. Se z = a + ib e w = c + id abbiamo zw = (ac bd) + i(bc + ad). Quindi, zw = (ac bd) i(bc + ad) (1.7) Inoltre z = a ib e w = c id e quindi 8

9 z w = (a ib)(c id) = (ac bd) i(bc + ad) (1.8) Dalle uguaglianze (1.7) e (1.8) segue la tesi, cioè zw = z w. Test n.5 1. R(1 + i) =. Si veda la dimostrazione riportata nel file complessi-010.pdf reperibile nel sito della scuola. 3. Il punto fisso è z = i 4. 9