Funzioni Esercizi e complementi

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1 Funzioni Esercizi e complementi maurosaita@tiscalinet.it Novembre 05. Indice Esercizi Insiemi ininiti 6 Suggerimenti e risposte 9 Esercizi. Scrivere la deinizione di unzione e ornire almeno un esempio.. Si consideri la unzione R R, (x) = x. (a) Trovare (0), (). (b) Disegnare il graico qualitativo di. (c) Determinare l immagine Im della unzione.. Sia [n] un insieme con n elementi e [] un insieme con un solo elemento. Quante sono le unzioni [n] []? Quante sono le unzioni [] [n]? 4. Sia A = {a, b, c}. Rappresentare con un diagramma a recce la unzione A (unzione identità su A) 5. Scrivere la deinizione di unzione iniettiva e ornire almeno un esempio di unzione (iniettiva) da R a R. 6. Scrivere la deinizione di unzione suriettiva e ornire almeno un esempio di unzione (suriettiva) da R a R. 7. Si considerino le unzioni [] (a) Trovare, se esiste, una unzione iniettiva [] (b) Trovare, se esiste, una unzione suriettiva [] Nome ile: esercizi unzioni terza 0.tex [] con dominio e codominio di esattamente elementi. [] che non sia suriettiva. [] che non sia iniettiva.

2 8. Scrivere la deinizione di unzione biunivoca. Trovare un esmpio di unzione biunivoca da R a R.. 9. Siano A e B due insiemi. Quando si dice che A e B sono isomori (cioè hanno la stessa cardinalità. Fornire tre esempi di insiemi numerabili, trovare cioè tre insiemi isomori all insieme N dei numeri naturali. 0. In che cosa consiste il paradosso di Galileo dei numeri quadrati? Spiegare.. Quali sono le proprietà ondamentali della composizione di unzioni? Rappresentarle usando i diagrammi esterni delle unzioni.. Trovare due unzioni e g per le quali risulta g g.. Si considerino le unzioni R R, (t) = t + e R un espressione analitica per, g g, g, g. g R, g(t) = t. Trovare 4. Siano A = {a, b, c} e X = {x, y}. Si consideri la unzione X k A per la quale k(x) = a e k(y) = c. (a) Trovare, se possibile, una unzione A X per la quale r k = X. (b) Trovare, se possibile, una unzione A s X per la quale k s = A. 5. Si considerino le seguenti unzioni r (a) (b) [0, + ) [0, + ) h R, h(x) = x + h R, h(x) = x + Si tratta di unzioni composte? In caso aermativo, trovare una coppia di unzioni e g in modo tale che risulti h = g 6. Scrivere la deinizione di graico G() della unzione A B. Disegnare il graico della unzione R R, (x) = x x. 7. Scrivere la deinizione di unzione invertibile. La unzione R \ {0} R \ {0}, (x) = x è invertibile? In caso aermativo trovare l inversa di. 8. La unzione R 0 R 0, (x) = x è invertibile? In caso aermativo determinare l inversa di. 9. Siano A = {a, b, c} a Y = {x, y}. Trovare unzioni A Y che abbiano inverse sinistre e unzioni che non ne abbiano. 0. Siano A = {a, b} a Y = {x, y, z}. Trovare unzioni A Y che abbiano inverse destre e unzioni che non ne abbiano.

3 . Si consideri la unzione A B. Dimostrare la seguente proposizione: se è invertibile allora la sua inversa è unica.. Si consideri la unzione A B. Una inversa sinistra g di è una unzione B g A per la quale risulta g = A Dimostrare che se A allora le due condizioni seguenti sono equivalenti: α) è iniettiva; β) esite (almeno) una inversa sinistra g di.. Si consideri una unzione A B. Una inversa destra s di è una unzione B g A per la quale g = B Dimostrare che le due seguenti condizioni sono equivalenti. α) è suriettiva; β) esite (almeno) una inversa destra g di. 4. Dimostrare che se A B e B g C sono unzioni invertibili (A,B,C insiemi), allora la unzione composta A g C è invertibile e (g ) = g (In inglese questa uguaglianza si chiama socks rule, regola dei calzini). 5. Sia R R una qualunque unzione da R a R. Dare la deinizione di punto isso di e quella di zero di. Dare un interpretazione geometrica delle due deinizioni. 6. Trovare, se esistono, i punti issi delle unzioni (a) R (b) R R, (x) = x + x 7 R, (x) = x + x + 7. Quando la unzione R R si dice pari? quando si dice dispari? I graici di unzioni pari (dispari) presentano simmetrie? Spiegare. x + 8. La unzione R R, (x) = è pari? è dispari? x + x (Rispondere in due modi: usando le deinizioni di unzioni pari e dispari oppure utilizzando opportune proprietà ). 9. Dimostrare che il prodotto di una unzione pari per una unzione dispari è una unzione dispari. 0. Dare la deinizione di unzione crescente, (decrescente).. (Vero/Falso?) (a) V F Se la unzione R R è crescente (decrescente) allora è iniettiva.

4 (b) V F Se la unzione R R è iniettiva allora è crescente (decrescente).. Si considerino le unzioni R (a) Calcolare (), (), g (5). (b) Determinare Im e Im g. R, (x) = 9 x R g R, g(x) = x + (c) Determinare, se esistono, zeri e punti issi di e g.. Si consideri la unzione R R, (x) = x 6x + 8. Determinare (, 0). 4. Si consideri la unzione R R, (t) = 5. Disegnare il graico delle seguenti unzioni a] R R, (x) = 7 x b] R R, (x) = + x 6. In che modo la unzione 7t t + t +. Determinare (0, + ). R h R, h(t) = 7 + t si può interpretare come unzione composta? Trovare una coppia di unzioni e g per le quali risulta h = g 7. Dire se la unzione R 0 [ 9, + ), (x) = x 9 è invertibile e, in caso aermativo, trovare l inversa. 8. Dimostrare che se la unzione R R è sia pari che dispari allora (x) = 0, per ogni x R. 9. Determinare il dominio massimale D R della unzione D R (x) = 40. Trovare, se esistono, gli zeri della unzione 4. Siano A = { x R Determinare A B. 4. Veriicare che le unzioni R x + x R, (x) = x + x } x { x + > 0, B = x R x + > } x. 4

5 [, + ) [ 4, + ), (x) = x x + [ 4, + ) g [, + ), g(x) = x + 4 sono una l inversa dell altra. Disegnare i graici qualitativi di e g. 4. Siano A( ), B, C insiemi e A B, B proposizioni g C unzioni. Dimostrare le seguenti (a), g iniettive g iniettiva. (b), g suriettive g suriettiva. 44. Determinare le soluzioni delle seguenti disequazioni nel campo R dei numeri reali (a) x + + x x 9 + x 9x > 0 (b) (c) x + x + x x 5x x 4 x + 0 x + x + 6 > Vero o Falso? Siano R R, R g R. (a) V F Se è pari allora non è invertibile. (b) V F Se è dispari allora è invertibile. (c) V F Se e g sono crescenti allora g è crescente. (d) V F Se è decrescente e g è crescente allora g è decrescente. (e) V F Se è invertibile allora è crescente o decrescente. 46. Delle seguenti unzioni D R trovare il dominio massimale D R, l immagine Im di e inine disegnare il graico di (a) (x) = sin(x π ) (b) (x) = x (c) (x) = log x (logaritmo in base 0) (d) (x) = log x (logaritmo in base 0) (e) (x) = ( ) x + () (x) = arctan x (g) (x) = cos(x) 47. Siano R h R, h(x) = x + x e R R, (x) = x 5

6 (a) Trovare la unzione R (b) Determinare Im h. g R in modo tale che h = g. 48. L insieme dei numeri pari è numerabile? Spiegare. 49. L insieme Z è numerabile? Spiegare. 50. Disegnare il graico della unzione R R x + x (x) = x + x < x < log x x 5. Siano R R e R g R due unzioni positive, cioè (x) > 0 e g(x) > 0 per ogni x in R. Dimostrare che se e g sono crescenti allora la unzione prodotto g è crescente. Insiemi ininiti Deinizione.. Diciamo che un insieme X è inito se ogni endounzione X X iniettiva è anche suriettiva. Un insieme X è ininito se esiste una endounzione X X iniettiva e non suriettiva. Esercizio.. Veriicare che gli insiemi numerici N, Z, Q, R sono insiemi ininiti. Deinizione.. Due insiemi X, Y hanno la stessa cardinalità (sono isomori) se esiste una unzione biunivoca (un isomorismo) X Y. Un insieme A si dice numerabile se ha la stessa cardinalità di N = {0,,,, 4, 5... }, cioè se esiste una unzione biunivoca N A. Esercizio.4. Dimostrare che i seguenti insiemi sono numerabili.. L insieme A = {0,, 4, 6,... } dei numeri pari.. L insieme B = {,, 5, 7,... } dei numeri dispari.. L insieme P = {0,, 4, 9,... } dei quadrati peretti. 4. L insieme Z = {0, ±, ±, ±,... } dei numeri interi. Teorema.5 (G Cantor, 87). L insieme Q dei numeri razionali è numerabile. Dimostrazione. Occorre dimostrare che l insieme Q >0 dei razionali positivi è numerabile. Si deve cioè trovare una unzione biunivoca N Q >0 dall insieme dei naturali all insieme dei razionali positivi Inatti, se i razionali positivi si possono ordinare nella successione r, r, r,.., allora tutti i razionali si possono elencare come 0, r, r, r, r, r, r,... 6

7 (si deve trovare un modo per mettere in ila tutti i numeri di Q >0 ). Si consideri la seguente tabella la prima riga è costituita da tutte le razioni con numeratore uguale a uno, la seconda riga da tutte le razioni con numeratore uguale a due e così via. L elemento a mn che si trova nell intersezione della riga m con la colonna n è la razione m n. L insieme costituito da tutti gli elementi a mn di tale tabella è numerabile perchè si possono ordinare nella seguente successione:,,,,,, 4,,, 4,... (gli elementi a mn sono stati messi in ila scrivendo prima quello con m + n =, poi quelli con m + n =, poi quelli con m + n = 4 eccetera.) L insieme Q >0 dei razionali positivi è un sottoinsieme dell insieme degli elementi che igurano nella tabella. Quindi anche Q >0 è numerabile. Teorema.6. L insieme R dei numeri reali non è numerabile. Dimostrazione. (Georg Cantor, 87; argomentazione diagonale ). Si consideri l insieme T dei numeri reali, compresi tra 0 e e si pensi a tali numeri nella loro rappresentazione binaria. Allora il numero reale x T è un allineamento decimale (inito o no, periodico o no) del tipo x = 0, γ γ γ...γ n dove le cire γ γ γ...γ n... sono 0 o. Ad esempio: 0, , oppure 0,... (periodo ) eccetera. Si tratta di dimostrare che l insieme T non è numerabile. Ne seguirà che anche R non è numerabile. Si supponga allora, per assurdo, che T sia numerabile, cioè che esista una 7

8 unzione biunivoca N T. Allora ordina in successione tutti gli elementi di T : a 0 = 0, a 0 0 a0 a0 a0 a a = 0, a 0 a a a a 4... a = 0, a 0 a a a a 4... a = 0, a 0 a a a a a n = 0, a n 0 an an an an (si ricordi che tutte le cire a j i sono 0 oppure ). Si costruisca ora un numero b che appartiene a T, ma è diverso da ogni numero dell elenco scritto sopra; si arriva così all assurdo che non è suriettiva. Si deinisca b = 0, b 0 b b b... come segue: per ogni n, { se a n n = 0 b n = 0 se a n n = Evidentemente, il numero b dierisce da tutti i numeri a n. Inatti, per ogni n, b dierisce da a n almeno per la n-esima cira decimale, in quanto b n a n n. Questi altri due atti, proposti sotto orma di esercizi, sono di per sè poco intuitivi e, per certi versi, straordinari. Esercizio.7. L insieme R costituito da tutti i punti del piano ha la stessa cardinalità di R. Esercizio.8. L insieme R costituito da tutti i punti dello spazio tridimensionale ha la stessa cardinalità di R. Teorema.9 (Cantor). Sia X un insieme qualsiasi. L insieme P(X) delle parti di X ha cardinalità maggiore rispetto a quella di X. Cioè, non esistono unzioni suriettive X P(X) È pertanto possibile costruire una successione di insiemi ininiti di cardinalità sempre più grandi. 8

9 Suggerimenti e risposte Il ile Funzioni, a cui si a rierimento in questa sezione si trova in rete all indirizzo Si veda il ile Funzioni.. (a) (0) =. (b) () = {±} (c) Im = [, + ). Esiste un unica unzione [n] 4. Si veda il ile Funzioni. 5. Si veda il ile Funzioni. 6. Si veda il ile Funzioni. [], mentre sono n quelle [] [n]. 7. Non esistono unzioni iniettive [] [] che non sono suriettive. Non esistono unzioni suriettive [] [] che non sono iniettive. Nel caso di unzioni [n] [n]: è iniettiva se e solo se è suriettiva. Quindi, nel caso di endounzioni con dominio (e codominio) inito, le unzioni iniettive coincidono con quelle suriettive. 8. Si veda il ile Funzioni. 9. Si veda il ile Funzioni. 0. Si veda il ile Funzioni.. Leggi d identità : se A B, allora A = e B = Legge associativa: se A B g C Fare i diagrammi esterni delle due leggi. h D allora (h g) = h (g ). Nel caso di unzioni [] [], utilizzando i diagrammi a recce, è acile trovare una coppia di unzioni, g per le quali risulta g g. Oppure si può pensare al caso R R: per le unzioni (x) = x +, g(x) = x + non vale la proprietà commutativa (veriicare).. (t) = 4t + 9, g g(t) = t, g(t) = t +, g (t) = t (a) [0, ) [0, ), (x) = x g + e [0, ) R, g(x) = x. (b) [0, ) [0, ), (x) = x g e [0, ) R, g(x) = x +. Veriicare che in entrambi i casi si ha: (g )(x) = h(x) per ogni x [0, ). 9

10 6. Si disegni il graico della parabola R R, (x) = x x. Per la sola parte di graico che si trova nel terzo e quarto quadrante, si realizzi la simmetria assiale rispetto all asse x delle ascisse La unzione R \ {0} R \ {0}, (x) = x è iniettiva e suriettiva, quindi è invertibile. La sua inversa coincide con, cioè R \ {0} R \ {0}, (x) = x. 8. La unzione R 0 R 0, (x) = x è iniettiva e suriettiva, quindi è invertibile. L inversa di è R 0 R 0, (x) = x. 9. Utilizzare i diagrammi a recce. 0. Utilizzare i diagrammi a recce.. Si veda il ile Funzioni.. Si veda il ile Funzioni.. Si veda il ile Funzioni. 4. Si veda il ile Funzioni. 5. Si veda il ile Funzioni. 6. (a) x = ±. (b) non ha punti issi. 7. Per le deinizioni di unzioni pari e dispari si veda il ile Funzioni. Il graico di una unzione pari è simmetrico rispetto all asse x, mentre quello di una unzione dispari è simmetrico rispetto all origine O degli assi cartesiani. x + x + x denominatore è dispari, quindi La unzione R R, (x) = è dispari, inatti il numeratore è pari e il 9. Ipotesi: R R pari, R g R dispari. Tesi: R g R dispari. Dimostrazione. Per ogni x R si ha: g(x) = (x)g(x) = ( x)g( x) = g( x). Quindi g è dispari. 0. Si veda il ile Funzioni.. (a) Vero, una unzione R R crescente (decrescente) è iniettiva. (b) Falso. La unzione R \ {0} R, (x) = x è iniettiva ma non è crescente (nè decrescente).. (a) () =, () = {± }, g (5) = {}. 0

11 (b) Im = [+9, ); Im g = R. (c) Zeri di : x = ± ; punti issi di : x = ± Zeri di g: x = ; punti issi di g: x =. (, 0) = {x R < x < 4} 4. (0, + ) = {t R t < 7 } R R, (t) = 7 + t; R g R, g(t) = t. Per ogni t R, (g )(t) = h(t). 7. R 0 [ 9, + ), (x) = x 9 è invertibile perchè iniettiva e suriettiva. L inversa di è [ 9, + ) R 0, (x) = x Per ipotesi valgono entrambe le uguaglianze ( x) = (x) (.) ( x) = (x) (.) per ogni x in R. Sostituendo (.) in (.) si ottiene (x) = 0. Segue che (x) = 0 per ogni x R. 9. Si devono trovare le soluzioni della disequazione + x x. { D = 4 x } Occorre trovare le soluzioni dell equazione x = x. Gli zeri di sono: {x R 0 x }. 4. A B = (, + ) Si veda il ile Funzioni. 44. Risposte. (a) x + + x > 0 S = {x 0 x > 9} x 9 + x 9x (b) x + x + x x 5x x 4 x + 0 S = {5 < x 4} (c) x + x + 6 > 0 S = { 5 8 < x < x 6}

12 45. (a) Vero, una unzione pari non è iniettiva. (b) Falso, la unzione R R, (x) = sin x è dispari ma non è invertibile. (c) Vero, dimostrarlo. (d) Vero, dimostrarlo; (e) Falso, la unzione R \ {0} R \ {0}, (x) = x è invertibile ma non è crescente nè decrescente (a) R g R, g(x) = x + x (b) Im = (0, + ); Im h = g(0, + ) = (, + ) 48. L insieme dei numeri pari è numerabile. 49. L insieme Z degli interi è numerabile