5. Concetto di funzione. Dominio e codominio.

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1 5. Concetto di unzione. Dominio e codominio. Intro (concetto intuitivo) Che cosa e una unzione? Esempi di unzioni?

2 Concetto di unzione Il concetto di unzione è legato all esistenza di una relazione tra due insiemi di elementi in cui gli elementi del secondo insieme dipendono da quelli del primo insieme Concetto di unzione (insiemi) B a c b d

3 Le unzioni reali Studieremo unzioni tra insiemi di numeri reali e cioè i cui elementi sono numeri reali studieremo le unzioni reali Deinizione di unzione reale, B R,, B De. Siano. Si deinisce unzione reale da a B di variabile reale una corrispondenza che ad ogni elemento associa uno ed un solo elemento indica col simbolo: y B e si : B

4 ad ogni elemento associa uno ed un solo elemento y B a c b d ad ogni elemento associa uno ed un solo elemento y B a c b d

5 ad ogni elemento associa uno ed un solo elemento y B a c b d Deinizione di unzione reale Si può pensare ad una unzione come ad una scatola che ad ogni ingresso associa un unica uscita y y () Il simbolo ( ) indica il complesso di operazioni che si eettuano sulla per ottenere la y corrispondente

6 De: variabile indipendente/dipendente, dominio La rappresenta il generico valore in ingresso e viene detta variabile indipendente La y rappresenta l unico valore corrispondente al generico in entrata e viene detta variabile dipendente L insieme dei valori che può assumere la (cioè l insieme dei valori in entrata) è detto dominio di o insieme di deinizione di L insieme B che contiene i valori y in uscita è detto insieme di arrivo De: codominio Il valore in uscita y corrispondente ad un issato valore di si indica con () ed è detto immagine di mediante L insieme di tutti gli elementi di B che sono immagine mediante di almeno un elemento del dominio viene detto Immagine di o Codominio { y B : : y ( ) } Im ( )

7 Deinizione di unzione reale De. Siano, B R,, B. Si deinisce unzione reale da (dominio) a B (codominio) di variabile reale una corrispondenza che ad ogni elemento (variabile indipendente) associa uno ed un solo elemento y (variabile dipendente) e si indica col simbolo: : B : y B "associa" Deinizione di unzione reale Una unzione viene assegnata ornendo la sua espressione analitica e, cioè, ornendo un insieme di operazioni matematiche ben deinite che, applicate in un certo ordine, permettono di trovare, per ogni assegnato valore di, il corrispondente valore y () Esempi: y y... + se + se, y ; se, y, y ; se, y ;... ;...

8 Esempi di unzioni Esempio. Sia data la legge: : R R ( ) () / / Si tratta di una unzione Esempi di unzioni Esempio. Sia data la legge: ( + ) R : R ( ) + () / 5 Si tratta di una unzione

9 Esempi di unzioni Esempio. Sia data la legge: : R R ( ) () - 0 / Si tratta di una unzione costante Esempi di unzioni Esempio. Sia data la legge: : R R ( ) () / /4 4 Si tratta di una unzione

10 Esempi di unzioni Esempio. Sia data la legge: () / : R se se 0 < 0 Si tratta di una unzione deinita a tratti deinita da unzioni dierenti su intervalli dierenti Graico di unzioni In particolare, assegnata una unzione : D R, con D R è possibile visualizzare anche graicamente la dipendenza di () dal generico di D

11 Graico di unzioni Il graico di una unzione : D R non è altro che l insieme dei punti del piano cartesiano Oy di coordinate (,y) che hanno per ascissa il generico elemento del dominio D e per ordinata il corrispondente valore y () {(, y) : D, y ( ) } G Per le unzioni più comuni, il graico è una curva Esempi di unzioni Esempio 6. Sia data la unzione: : R R ( ) () / / Il graico è la retta passante per i punti individuati

12 Esempi di unzioni Esempio 7. Sia data la unzione: ( + ) R : R ( ) + () / Il graico è la retta passante per i punti individuati Esempi di unzioni Esempio 9. Sia data la unzione: : R R () 4 () / / Il graico è la curva passante per i punti individuati

13 Esempi di unzioni Esempio 0. Sia data la unzione deinita a tratti: : R se se 0 < 0 () / Graico di unzioni La proprietà ondamentale di una unzione secondo cui ad ogni ingresso di D corrisponde uno ed un solo valore in uscita () ha un signiicato geometrico preciso: ogni parallela all asse delle ordinate che taglia l asse delle ascisse in un punto del dominio D, interseca il graico di in uno ed un solo punto partire dal graico di una curva è possibile stabilire se si tratta del graico di una unzione oppure no

14 Graico di unzioni y Non è il graico di una unzione! u () () O () Graico di unzioni il dominio di una unzione è un sottoinsieme dell asse delle ascisse l immagine (D) è un sottoinsieme dell asse delle ordinate u y d () D [ a, b] ( D) [ c, d ] b a O c

15 O y u a b c d il dominio di una unzione è un sottoinsieme dell asse delle ascisse l immagine () è un sottoinsieme dell asse delle ordinate [ ] ], [ ) (, d c b a Il graico di unzione